组合数公式在数列求和中的应用

查道庆

摘要：组合数不仅是概率中重要的计数工具，还可以表现为某一数列的通项公式。组合数中有很多完美的结论和公式，本文探讨了常用的组合数公式在数列求和中的应用，深刻地体现了高中数学各章节之间的巧妙联系。

关键词：组合数 通项公式 数列求和

在高中数学选修2-1的定积分的运算中，我们经常使用如下的两个数列的求和公式：

12+22+32+…+n2=■n（n+1）（2n+1）（1）

13+23+33+…+n3=■n2（n+1）2（2）

对这两个公式，课本在高中数学选修2-2中利用数学归纳法给出了证明。那么，这两个公式是如何求得的呢？有一般的规律可循吗？本文拟就这一问题做些深入地探讨。

一、组合数公式的延伸

利用组合数的性质和数学归纳法可证明如下公式：

C■■+C■■+C■■+…+C■■=C■■（n，m∈N*）（3）

该公式可简记为■C■■=C■■

事实上，C■■+C■■=C■■（n，m∈N*，n≥m）

故有C■■+C■■+…+C■■=C■■+C■■+…+C■■=C■■+C■■+…+C■■=C■■+C■■+…+C■■=C■■

因此（3）式对任意正整数n都成立。

由于（3）式的左端是n项的和，而右端是一个组合数，因此我们可以认为（3）式也是一个数列的前n项和公式。利用它，我们可以求一类特殊数列{nm}（n，m∈N*）前n项的和。

二、利用公式（3）求数列{nm}（n，m∈N*）前n项的和

引例：对任意的k，m（k，m∈N*），总存在常数Ai（i=1，2，3，…，m-1），使得

km=m！C■■+A1（m-1）！C■■+A2（m-2）！C■■+…+Am-1C■■（4）成立。

证明 （4）式等价于

km=k（k-1）（k-2）…（k-m+1）+A1k（k-1）（k-2）…（k-m+2）+A2k（k-1）（k-2）…（k-m+3）+…+Am-1k（5）

（5）式的右端展开整理等价于

km=km+f1（A1）km-1+f2（A1，A2）km-2+f3（A1，A2，A3）km-3+…+fm-1（A1，A2，…，Am-1）k（6）

其中，fi（i=1，2，3，…，m-1）为整函数。

比较（6）式的两端可得：

f1（A1）=0f2（A1，A2）=0f3（A1，A2，A3）=0…fm-1（A1，A2，…Am-1）=0（7）

显然（6）与（7）等价，且（7）有且只有唯一解。根据“等价”的传递和可逆性，（7）与（5）也等价。因此，对（7）的唯一解fm-1（A1，A2，…Am-1）=0，（5）总成立。

该引理实际上给出了求数列{nm}（n，m∈N*）的前n项和的方法，下面我们举例来探讨它的应用。

例1：求数列{n2}的前n项和。

解：因为当k≥2时，k2=k（k-1）+k=2！C■■+C■■所以有

12+22+32+…+n2=■k2

=1+■（2！C■■+C■■）

=2！■C■■+■C■■+

=2C■■+C■■

=■（n+1）n（n-1）+■（n+1）n

=■n（n+1）（2n+1）

例2：求数列{n3}的前n项和。

解：当k≥3时，

k3=k（k-1）（k-2）+A1k（k-1）+A2k

=k3+（A1-3）k2+（A2-A1+2）k

比较两端同次项的系数可得，A1=3，A2=1。

故当k≥3时，k3=k（k-1）（k-2）+3k（k-1）+k=3！C■■+3·2！C■■+C■■，

13+23+…+n3=■k3=13+23+■（3！C■■+3×2！C■■+C■■）

=3！■C■■+3×2！■C■■+■C■■

=3！C■■+3×2！C■■+C■■

=■n2（n+1）2

例3：求数列{n4}的前n项和。

解：我们可以仿照上述两个例子，利用待定系数法求得

14+24+……+n4=■（n+1）n（2n+1）（3n2+3n-1）

计算过程略。

通过由上述3个例题的演算我们可以发现，利用组合数公式求解形如{nm}（m∈N*）的数列前n项和，有其一般规律，都可用待定系数法。

三、公式（3）的应用推广

公式（3）的意义不仅仅在于可求形如{nm}（m∈N*）的数列前n项和，也可以求其他一些更为复杂的数列的前n项的和。

例4：在n个连续奇数1，3，5，…，（2n-1）中，求任意相异两数的积的和。

解：我们有，■ak2=■a■■+2■aiaj

因此，上式可变形为■aiaj=■■ak2-■a■■

从而，所求的和为■1+3+…+（2n-1）2-12+32+…+（2n-1）2

=■■2-■（2k-1）2

=■（n2）2-■（4k2-4k+1）

=■n4-4■k2+4■k-n

=■n4-4·■n（n+1）（2n+1）+4·■n（n+1）-n

=■n（n-1）（3n2-n-1）

四、教学启示

组合数和数列是高中数学中的两个重要的知识内容。它们表面上看似乎相互独立，其实他们之间有着密切的联系，我们不能让学生一味地搞题海战术，而是要让学生勤于思考，善于总结，努力发现问题的一般规律。只有这样才能让学生学会分析问题、研究问题，领悟数学思想，最大限度地提高学生的思维品质，激发学生探索数学的热情。

参考文献：

[1]胡岩火.组合数公式的变形与组合数数列求和[J]. 数学通报，1995（3）.

[2]沈元春.特殊数列初等求和方法例谈[J].新疆石油教育学院学报，2000（1）.

[3]虞涛.求数列通项的若干技巧[J].数学教学研究，2001（10）.

（责编 赵建荣）