无几何不数学

刘军

【摘要】立体几何是高中数学的重要内容之一，但近年来，该部分的高考得分一直不高，结合教学实践，本文提出了高中数学立体几何的有关教学策略。

【关键词】高中数学立体几何策略

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）07-0151-02 立体几何是高中数学的重要内容之一，也是高中生数学学习的难点之一。我发现，很多学生由于空间想象能力差等原因，看不懂立体几何的图形，或不能灵活的运用数学语言进行相关的推理证明，从而导致在历年的高考数学试卷中，立体几何部分的得分率较低。如何调整立体几何的教学策略，帮助学生在立体几何的学习中取得好成绩，是目前亟待解决的问题。

一、克服恐惧，培养学生学习立体几何的兴趣、毅力和信心

立体几何对培养学生的逻辑思维和空间观念有重要的基础作用，但在日常教学中发现，很多学生对立体几何的学习缺乏信心，久而久之，对学习丧失兴趣。因此，在立体几何教学中，我们首先要做的不是传授知识，而是要激发学生对学习的内在动机，即让学生明白立体几何学习的意义，从而爱上学习，心理学研究表明，内部动机比外部动机引发的学习更加持久，更具备克服困难的毅力。为此，我经常给他们讲一些关于学习的小故事，例如，少年牛顿因不喜欢几何学而无缘剑桥大学奖学金，在导师的点拨下刻苦学习几何，为以后的科研打下坚实的数学基础的故事等等，既能激发学生的兴趣，又可以增强他们的信心。

二、立体几何教学中要注重培养学生的数学语言能力

很多学生表示学了一段时间的立体几何依然看不懂用图形表示的点、线、面关系及几何特征，看不懂用文字、符号表达的题目内容，不能根据题意描述正确作图，这往往与学生掌握不好数学语言有关。

数学语言分为文字语言、符号语言和图形语言，三种语言特点不同，数学语言具体精确、符号语言抽象简单，图形语言直观形象，三者在本质上是一致的，且可以互译。

例如，学习“平面与平面平行的判定中的定理”时，我就注意指导学生用三种语言来表达它。

文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

符号语言：a?奂β，b?奂β，a∩b=p，a‖α，b‖α?圯β‖α;

图形语言：

图1

教学中，要注意引导学生注意三种数学语言对在表述同一定理时的本质联系，发现规律，这样有助于学生对定理、概念等的理解与记忆。同时，训练学生进行数学语言的互译还有助于提高学生对数学的理解能力，发展数学思维，提高数学素养。

三、立体几何教学中多媒体的应用策略

传统“黑板+粉笔”的教学方式限制了学生的想象，而现代多媒体技术可以提供直观、多彩、生动的立体图形，强烈的立体效果和视觉反差，能有效引起学生的注意，提高学生的认知水平。

例如，在讲圆锥的结构特征时，我利用几何画板制作一个三角板给学生演示，以三角板的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体，让学生充分体会圆锥的形成过程，在创设教学情境的同时，也激发了学生的想象力，一举双得。

同时，多媒体技术也为一些抽象问题的解决提供了一条“捷径”。例如，二面角和平面角一直是学生辨析上的难点，利用多媒体技术很容易就解决了这个难题。

四、立体几何教学中向量法的应用策略

向量法是沟通代数与几何的工具，它通过建系、设点、设法向量，将立体几何问题转化为代数问题，使问题简单化。向量法几乎可以解决所有的立体几何计算和一些证明问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，向量法有其独有的优势。

1.求角的问题

利用向量分别求角，在教学中我们可以按照求线线角，求线面角，求二面角三个层次，由浅入深的一点点指导学生。其中二面角的求解一直是学生头疼的问题，不妨在练习中指导学生梳理出其中的解题规律：设■■，■■分别为平面α，β的法向量，二面角α-1-β的大小为θ，向量 ■■，■■的夹角为φ，则有θ+φ=π（图2）或θ=φ （图3）

图2 图3

而后，指导学生总结出结论：构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角。

2.距离问题

向量法可用于求点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面的距离。下面以点到面的距离为例。

求点P到平面的距离时（图4），要先确定平面的法向量■，再求点P与平面中任意点Q构成的向量■，则点P到平面的距离d=■·cos＜■·■＞=■。

五、立体几何教学中渗透数学思想的策略

解决立体几何问题的过程中，包涵有多种数学思想，教师在教学中要有意识的将这些数学思想渗透给学生，对提升学生的数学素养有积极的意义。

1.化归思想

化归思想是一种重要的数学思想，应该贯穿于立体几何教学的始终。通过转化，一些抽象的空间问题可以转化为直观的平面问题来解决，如在二面角平面角的计算中，通常可以化归为平面问题（在三角形中）计算。见下题：

例1 （2012年 重庆(文) 20题）如图5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB中点。

Ⅰ.求异面直线CC1和AB的距离

Ⅱ.求AB1⊥A1C，求二面角A1—CD—B1的平面角的余弦值。

分析：该题的两问均可用到化归思想。（Ⅰ）求异面直线间的距离可化归为求平面内一直角三角形的一条边；（Ⅱ）求二面角平面角的余弦值可化归为求一平面三角形角的余弦值，而在三角形中已知三边长，只需用余弦定理即可。

2.分类讨论思想

由于立体几何的点、线、面间的位置多样，且图形位置不确定，当我们对图形位置进行讨论时，经常要用到分类讨论的思想。

例如：不共面的4个定点到平面α距离相等，问这样的平面有多少？

分析：平面α位置不确定，因此就需要讨论平面α的位置。为避免，讨论中出现重复或遗漏，有必要进行分类讨论。本题可将4个定点视作四面体四个顶点，可针对四个点在平面α两侧的个数进行讨论。

（情况1）4个顶点在平面α两侧，一侧1个，一侧3个，满足条件的平面α有4个；

（情况2）4个顶点在平面α两侧，每侧均有2个，满足条件的平面α有3个。

“无几何不数学”，立体几何作为高中数学的重要内容之一，教师在教学中要注意因材施教，帮助学生克服学习恐惧，采用合理的教学策略和教学模式，引导学生的自主学习，提高学生的数学素养。

参考文献：

[1] 孙利文.高中数学立体几何教学研究[D].东北师范大学，2012.

[2] 姚宗贵 立体几何教学中渗透数学思想方法的研究与实践[D].河南大学，2013.