解决初中应用题中列方程的思考方法

杨沙九

【摘要】 用图示法、列表法、图示列表法找出应用题中的等量关系，是列方程解决实际问题最关键的一个步骤，本文就初中应用题中列方程的思考方法做了探讨与归纳.

【关键词】 列方程；等量关系；图示法；列表法；图示列表法

列方程解应用题的基本步骤是：审题，设元，组成代数式，找等量关系，建立方程，解方程和检验并作答，其中最为关键的就是找出等量关系列方程. 因此，列方程解应用题的思考方法，主要也就围绕怎样找出等量关系这一中心展开. 如何恰当地使用图示法、列表法、图示列表法等思维方法来对实际问题加以分析，成为解决问题的关键. 下面就自己的教学实际，结合实例介绍几种列方程的思考方法.

一、图示分析方法

例1 甲、乙两人同向而行，甲在前300米，已知甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，经过几分钟乙可以追上甲？

分析 按照题意画出图形：

从图中可以看到，乙从出发点到追上甲的地方所走的路程 = 甲从出发点到被乙追上的地方所走的路程与300米的和.

根据这个等量关系就可以列方程.

解 设经过x分钟乙追上甲. 在这时间内乙走100x米，甲走80x米. 根据等量关系“乙走的路程 = 甲走的路程 + 300米”，可以列出方程：

100x = 80x + 300.

解得：x = 15（分钟）.

答：经过15分钟乙可以追上甲.

这种分析方法通过示意图直观形象地分析了数量关系，相等关系一目了然，抓住了问题的关键，从而使列出方程变得容易掌握，使问题得到顺利解决. [1]

二、列表分析方法

例2 一个农场的两个实验小队收割小麦，甲队收小麦56000公斤，乙队收小麦43200公斤，已知乙队的麦田比甲队少40亩，但平均产量比甲队每亩多收100公斤，求每队的麦田的亩数和每亩的平均收获量.

分析 基本数量关系：

总收获量 = 每亩平均产量 × 亩数.

总收获量：

甲队：56000公斤——已知量，

乙队：43200公斤——已知量，

每亩平均产量：

甲队：未知量，

乙队：未知量，比甲队多100公斤.

亩数：

甲队：未知量，

乙队：未知量，比甲队少40亩.

如果设甲队有亩，甲队每亩平均产量为y公斤，那么乙队的每亩平均产量及亩数都可以用x，y的代数式表示出来，把它们列成下表：

根据基本关系式，即可列出方程组.

解 设甲队有麦田x亩，每亩麦收麦y公斤，那么乙队的麦亩有（x - 40）亩，每亩收麦为（y + 100）公斤. 根据题意，列出下面方程组：xy = 56000，（x - 40）（y + 100） = 43200.

整理后，得xy = 56000，xy + 100x - 40y = 47200.

以（3）代入（1），化简得x2 + 88x - 22400 = 0.（4）

由（4）、（3）得原方程组的解是：x1 = 112，y1 = 500. x2 = -200（不合题意舍去）.

当x = 112时，x - 40 = 72；当y = 500时，y + 100 = 600.

答：甲队有麦田112亩，乙队有麦田72亩；甲队每亩平均收小麦500公斤，乙队每亩平均收小麦600公斤.

可见列表分析法的特点是用列表的形式表示数量关系，找出应用题中等量关系的思考方法，就显得简明快捷，是一种特殊分析法.

三、图示列表综和分析方法

例3 甲、乙两站间的路程为360 km. 一列慢车从甲站开出，每小时行驶48 km；一列快车从乙站开出，每小时行驶72 km.

（1）两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？

（2）快车先开25分，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？（见原通用教材）[2]

分析 基本数量关系：

慢车行程 + 快车行程 = 两站路程 ③

（1）设两车行驶了x小时相遇，再分析相等关系③的左边和右边，便可得到下表：

这个表可以用图4-3（1）这样的示意图表示出来.

解 （1）设两车行驶了x小时相遇，那么慢车行驶了48 km，快车行驶了72 km. 根据题意，得48x + 72x = 360.

解这个方程：120x = 360，x = 3.

答：两车行驶了3小时相遇.

答：慢车行驶了2小时45分两车相遇.

这种分析法的特点是通过示意图及列表直观形象地分析了数量关系，找出应用题中的等量关系，分析过程连贯、完整，层次清晰，贴近学生的理解力.

总而言之，列方程解应用题的方法很多，这里主要介绍的是图示法、列表法以及图示列表分析法等三种分析手段让学生掌握列方程解应用题的一般规律. 用以上的思考方法使得应用题中比较复杂的列方程形象化，直观化，简单化，使题意中等量关系较模糊不清的列方程明确化、清新化. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”. 在运用“图形结合数量”关系列方程解应用题时，让学生从题意中画“形”理解知识，更重要的是让学生从题意中通过“形”总结归纳出“数”量关系，然后再将“数”运用于“形”中，只有将两者有机结合，学生才能对知识理解得更深入.