分类讨论思想在高中数学解题中的应用

汉桂英

普通高中新课程标准的实施要求我们教师在教学中将培养学生的能力放在首要地位. 数学思想的渗透在数学教学中也尤为显得重要. 分类讨论是我们在解决某些数学问题时常用的一种逻辑方法，分类讨论也是一种数学思想，运用这种思想在解题时可以分解题目研究对象，进而达到简化题目难度，可以帮助发展学生的思维能力. 因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中始终占有重要地位.

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答. 实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的一种数学策略.

下面，举例说明分类讨论思想在高中数学解题中的应用. 一、选定适当的分类标准对所研究的问题进行分类

进行分类讨论时，首要解决的是：对谁分类，即分类对象是什么？其标准是什么？对于一道数学题目，首先认真审题，研究要分类讨论的对象，分类的对错好坏确定题目解法的最终结果，直接影响解题的成败. 分类时尤其要注意不能有重复，更不能有遗漏，分类标准也应当一致.

例1 一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ）.

A. x + y - 7 = 0 B. 2x - 5y = 0

C. x + y - 7 = 0或2x - 5y = 0

D. x + y - 7 = 0或2x + 5y = 0

分析 此题需要确定直线方程的形式可否写成截距式，所以需要分类讨论截距是否为0，否则会漏解.

二、讨论时应注意每个分类的前提条件，综合作答时，也要注意每个分类讨论的条件

分类的目的是为了化繁为简，再逐一讨论解答每一类问题，而讨论时应紧扣分类这个前提，此时，相当于给问题增设了题设条件，因而，使问题得到解决. 较复杂的题目会出现多级分类，讨论时应逐级进行，不能越级，书写时条理要清晰.

例2 已知集合A = {x|x2 = 1}，B = {x|ax = 1}，若B？哿A，求实数a 的取值集合.

分析 由于A = {-1，1}，所以分两种情况讨论.

解 （1）B = ？准，此时a = 0；

三、分类讨论思想是一种解题策略

分类讨论是一种重要的数学思想，也是解决数学问题常常用到的一方法，但对于大多数学生来说是觉得很繁琐又是很难掌握的，这需要教师在教学过程中有耐心，循序渐进地养成良好的分类讨论意识，从而达到培养学生思维的严密性和灵活性的最终目的. 但是高中数学中的数学思想不是只有这一种，在实际解题过程中如果能结合利用数形结合的思想、函数与方程思想、化归的思想等解题思想方法就可以避免麻烦的分类讨论，或者简化分类讨论的对象，从而更加准确、快速地解决问题. 所以在教学中一定避免让学生机械记忆，盲目套用，在解题过程中要引导学生选择正确的解题思路，向学生介绍一些探索问题的方向和方法.

例3 实数k为何值时，方程kx2 + 2|x| + k = 0有实数解？

对于数学题目何时需要分类讨论，则要根据题中所给条件而定，并没有硬性的规定，更没有直接可以套用的公式和规律. 我们只有在教学时不断积累经验，不断改进方法，才能使学生正确合理地应用分类讨论. 在解题时，应注意挖掘题目中的极个别情形进行分类讨论. 例如：“方程ax2 + bx + c = 0有实数解”转化为Δ = b2 - 4ac时忽略了个别情形：当a = 0时，方程虽然有解但不能转化为Δ ≥ 0；又如：设直线方程时，不能直接设直线的斜率为k，当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑，这样直线方程要分有斜率和没有斜率两类情形讨论；再如：等比数列{an}的前n项和公式也是分为q = 1和q ≠ 1两类情形给出的，等等类似问题都需要分类考虑.

在解数学题中强化数学思想，对于发展学生的数学思维是很有益的. 在数学解题教学中，还要注意发展学生的个性心理，培养学生灵活运用知识，敢于创新勇于探索的精神. 要将分类讨论思想灵活运用于数学解题过程中，不是一朝一夕就能做到的. 这需要把这种思想渗透在自己的教学中，也就是要长期不间断地引导学生用数学思维的观点去观察、分析各类具体问题. 在解题教学过程中为学生留下思维的时间和空间，才能将数学思想真正融会在解题过程中.