数学教学应培养学生概念认知能力

孙靖

在传统的数学教学中，对概念认知能力的把握是一个弱项. 特别是在应试教育的大背景中，对学生进行抽象的概念指导与深入阐述被认为是浪费时间的事情. 其次在考试中也很少直接对概念认知能力进行考查，这是造成对概念认知能力不受重视的直接原因. 在新课改理念推进下，培养学生的概念认知能力显得非常有必要.

一、抓住概念内涵与外延，以此升华认知能力

学习数学一般从学习概念学起，在学生认知概念能力的初步形成的同时，对概念的内涵与外延的把握是认知能力形成的高级阶段. 这也是对数学概念由表及里思维扩展的认知时期. 在这个过程中，学生对数学概念的准确性、严谨性认知能力是十分重要的. 数学概念的内涵与外延还存在着“反向”的相依关系，概念的内涵越小，外延就越大；内涵越丰富，外延就越狭小. 例如：自然数是人类认识“数”中最早接触的数学概念，随着人类生活的不断发展，逐渐地引入了有理数、无理数、实数等概念. 实数包括自然数、有理数、无理数，实数的范围当然比自然数的范围要大得多. 在四边形的“边、角”中可学习特殊四边形概念的结构：唯一一组对边平行的四边形是梯形，两组对边平行的四边形是平行四边形. 继续对四边形进行抽象可知：另一组对边相等的梯形是等腰梯形，有一个直角的梯形是直角梯形，有一个直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边形是菱形，有一个直角并且邻边相等的平行四边形是正方形. 所以，从构建数与四边形的结构图中可以重现数学基本概念的形成、变化与发展的过程. 这样，让概念更加系统化，并富有层次性. 这也有利于帮助学生架起概念与认知之间的桥梁，从而促进学生对概念的迁移，进一步提高学生对概念的认知能力.

二、培养概念认知能力，课堂教学中的应用

对学生数学概念认知能力的培养，其实就是对学生数学概念语言相互之间转化能力的培养. 有研究表明：数学认知能力的发展会更加依赖于数学表征能力的发展，而概念语言认知能力在数学认知能力发展中的作用会进一步减弱. 所以，对数学概念语言相互之间转化，主要是指数学概念中的单纯的文字语言向符号语言、图形语言来转化. 数学概念单纯的文字语言向符号语言转化的关键是怎样把概念表面的文字信息转化成符号信息. 例如：圆是初中学生非常熟悉的一种概念，但对圆的应用并不十分明确. 圆概念是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 对于“定点、定长”这两个定义就需要老师利用图形给学生讲解帮助学生理解. “所有点”也需要老师用图形的形式展现给学生看. 这样才能理解透圆的定义. 学习概念的目的是为了应用. 所以，要让学生在探究过程中掌握概念、升华概念. 概念的获得规律通常是由个别到一般，概念的应用则相反，是一般到个别. 学生对概念的掌握不是静止不动的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能让已有的知识再一次形象化、具体化，而且能让学生对概念的理解更加全面、更加深刻.

三、合理利用知识与经验，寻找理解概念的捷径

数学与人们的生活紧密相联. 人们在日常生活中，每天都在自觉或不自觉地与数学知识发生一定的联系，并在发生的过程中不断获取并积累一些与数学知识有关的生活经验. 学习数学过程中，在大脑中留下的深刻记忆一旦被问题情境激活，并利用这些经验，就会对新知识的学习、新概念的理解产生浓厚的兴趣. 例如：在教学“点与圆的位置关系”时，就创设了这样的问题情境：在人们的日常生活中，我们看见的汽车、摩托车、自行车等交通工具的车轮是什么形状？为什么所有的车轮都要做成这种形状呢？如果改成其他形状会发生什么情况？学生就会回忆乘汽车、骑自行车时的情境，结合多媒体图片能看到每根钢丝都等于车轮的半径. 这说明车轮上每一个点到轴承的距离都是相等的. 从而理解了车轮做成圆形，车子就不会因为车轮而颠簸，走起来省力，人坐在车上也感到很平稳. 进而抽象出只要比较点到圆心的距离与半径的数量关系，就能判定点与直线的三种位置关系. 这样，通过合理地利用学生已有的知识与生活经验，让新概念与之建立起联系，并发生作用，就给学习带来事半功倍的效果.

四、开展生活化教学，寻找数学教学的本质

初中时期的学生正处在“自我概念”形成的阶段. 学生对于一味地说教与命令有反感，他们总是试图根据自己的生活经验来获得知识. 所以，我们要注意链接数学教学与生活的联系. 在具体操作中，首先教师要做生活的有心人，细致观察生活，适时地发掘数学教学资源，提炼问题，促使生活向数学转化，实现“生活数学化”. 如超市促销、银行利率等问题转化为方程，把地板瓷砖装修问题转化为平面几何问题. 其次，教师要注重创设生活化的教学情境，从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历把实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用，引导数学走向生活，实现“数学生活化”. 例如，给学生这样的作业：

学校为了鼓励大家节约用水，对自来水费按以下的方式收取. 用水不超过10吨的，每吨按0.9元收费，如果超过10吨，超出部分每吨按1.6元收费.

① 张老师6月份用了7吨水，应缴水费多少元？

② 金老师6月份用了11吨水，应缴水费多少元？

③ 刘老师6月份平均水费为每吨1.2元，则刘老师6月份用了多少吨水？应缴水费多少元？

这道题的设置较好地把数学与生活融合到了一起，枯燥的数学练习充满了生活的气息，这可使学生既解决了生活中的问题，又巩固了已学过的知识，调动了学生学习数学的兴趣，实现了“数学生活化”教学目的.

总之，在数学教学中培养学生的概念认知能力，我们应该从概念认知能力的培养方式做起，了解概念的内涵与外延，在课堂教学中巩固概念的应用，把看起来隐性的概念显性化，从而优化学生的认知结构. 为学生建立起整个初中数学概念的结构体系，从而把抽象的概念学好、学透.