数列思想在一类证明题中的应用

2014-04-29 19:37祁玉海
数学学习与研究 2014年9期
关键词:数列

祁玉海

【摘要】本文通过比较两个数列通项的大小,来比较其前n项和的大小.据此证明形如“a1+a2+…+an≤f(n)”等类型的问题,操作方便,见解新颖.

【关键词】数列;数列的通项;数列的通项公式

引言

一、 简单背景

二、主要概念

通常,我们将按照一定次序排列的一列数叫数列.数列中的一个数叫作这个数列的项;而数列的第n项,叫作数列的通项;若一个数列的第n项an与n之间的函数关系可以用一个公式来表示,就把这个公式叫作这个数列的通项公式.在一个数列中,我们用an来表示数列的通项,用sn来表示此数列的前n项和.

三、主要内容

引理

在某两个正项数列中,若其中一个数列的通项小于另一个数列的通项的充要条件是其前n项和必小于另一个数列的前n项和.

证明设两数列的通项分别为an,bn.

此类型题目关键在于推测其前n项和的公式,这往往可根据题目隐含条件推出,验证时就采用前面所说方法,推出通项公式后,只需验证第一项符合与否,便可得出结论.

二、已知一个数列,对其不等式的证明

这类题目其实和前面证明等式的题目相似,区别在于这类题目的中间承接符号为不等号,所以在证明时,要根据需要扩大或缩小式子,得出an>或s′n即可.

三、总结

以上几种类型的题目便是数列思想在这类证明题中应用的实际体现,从上述题目的解法可看出,数列思想的应用,简化了原本复杂的证明,使得原本很难的题目变得容易,而且此种方法有助于活跃思维,当积累了一定的证题经验之后,特别是后面的构造法,使得思维目标广阔,灵活多变.

【参考文献】

[1]娄桐城.中学数学词典.知识出版社出版,1984.

[2]刘文.数列与极限.上海教育出版社出版,1979.

[3]多洛费也夫.初等数学问题选析.上海教育出版社,1983.

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