曾春涛
一、高考题引入
例题:(2012年广东省理科第20题)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(a>b>0)的离心率e= ,且椭圆C1上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C1的方程。
(2)在椭圆C1上,是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由。
分析:线性规划的应用之一是求最值,这里采用线性规划的方向去解决。题目中椭圆C1: + =1(a>b>0)及其围住的区域为可行域,区域内的点P(x,y)到点Q(0,2)的距离为目标函数z= ,即x2+(y-2)2=z2,表示以(0,2)为圆心,z为半径的圆。要使得目标函数z最大,即使圆的半径最大。如图1、图2所示,必須是圆与椭圆外切(图2)的时候,才能满足题目的要求。
于是有如下解法:
解:由e= 得: = ,又因为c2=a2-b2
得a2=3b2,椭圆方程化为x2+3y2=3b2
以(0,2)为圆心,z为半径的圆方程为:x2+(y-2)2=z2,要使得z最大,必须是圆与椭圆相切的时候,即Δ=0时。联立椭圆方程和圆方程得:x2+(y-2)2=z2x2+3y2=3b2即为:2y2+4y-3b2-4+z2=0,Δ=24b2-8z2+48
由Δ=0,解得:b2= 。由题可知:z=3,所以b2=1,a2=3,椭圆的方程为: +y2=1
点评:从线性规划出发,将椭圆上动点到定点距离的最大值问题,转换为圆与椭圆相切的问题,动中求静,变中求定,距离最大值点即为椭圆与目标圆的切点。
二、问题的拓展与探究
在数学学习的过程中,对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始,通过总结归纳得出来的,经过证明后,成为一般性结论,又使用它们来解决相关的数学问题。
上面的例题具有一定的特殊性,目标函数所对的圆心Q点固定为(0,2),目标函数所对的最大值固定为3,椭圆的离心率也固定为 。从解得的结果分析:椭圆与目标函数所对的圆的交点恰好是椭圆的下顶点。依据上面的三个条件,是否能求出交点不是椭圆的下顶点的椭圆方程,即:是否可以推广到如下更一般的形式呢?
推广1:在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(a>b>0)的离心率e,且椭圆C1上的点到Q(0,m)的距离的最大值为r(r>|m|),求椭圆C1的方程。
命题1:如果有上面推广的条件,那么c2=e2r2-m2。
推广2:在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(a>b>0)的离心率e,且椭圆C1上的点到Q(0,m)的距离的最小值为r(0 命题2:如果有上面推广的条件,那么c2= r2+m2。 命题1的证明如下,命题2的证明从略。 证明:以(0,m)为圆心,r为半径的圆方程为:x2+(y-m)2=r2,要使得r最大,必须是圆与椭圆相切的时候,即Δ=0时。联立椭圆方程和圆方程得: x2+(y-m)2=r2b2x2+a2y2=a2b2 即为:c2y2+2b2my-b2m2-a2b2+b2r2=0,Δ=4b2m2-4c2(-b2m2-a2b2+b2r2) 由Δ=0,解得:c2=e2r2-m2 点评:得到椭圆的e、c与圆心纵坐标m、圆半径r四者之间的一个关系式,可以解决一个动点与椭圆距离相关的最值、取值范围的问题。 三、掌握规律,破解一类题 练习1:在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(a>b>0)的离心率e= ,且椭圆C1上的点到Q(0,3)的距离的最大值为5,求椭圆C1的方程。 分析:本题是完全仿照2012年广东省理科第20题改编的一个题目,由上面命题的结论知c2=6,结合e= ,求得a2=10,b2=4,椭圆方程为 + =1。 椭圆的最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题,也是教学中的一个难点。最值问题中的点点距离最值时,除利用通常的函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法外,我们不妨从线性规划的角度,建立目标函数,化动为静,转换为椭圆与圆相切的问题,甚至可以得到通性通法,解决椭圆中点点距离最值问题的一类题目。 (作者单位 广东省东莞市塘厦中学) 编辑 代敏丽