逆向思维 顺水行舟

马建松

摘 要：逆向思维是数学中的一种重要思维方法，在教学中有着广泛的应用. 可通过概念法则逆用，改变角度训练学生思维，转换对象灵活变换中培养学生的能力.

关键词：逆向思维；作用；应用

逆向思维又称反向思维，它是人们在研究过程中有意识地去做与习惯性思维方向完全相反的探索，即：若把A→B的连续思维看做正向联结，并称这个心理过程为正向思维，那么就把相反的连续B→A看做为逆向联结，并称这一心理过程为逆向思维. 逆向思维有利于防止思维僵化和摆脱思维定式，有利于拓宽思路、深化知识，它是开拓型人才必备的思维品质. 在数学教学中充分认识逆向思维的作用，结合教材内容，不仅能进一步完善知识结构、开阔思路，更好地实现教学目标，还能达到激发学生创造精神、提升学习能力的目的.

概念法则逆用，帮助学生透彻掌握理论知识

数学是思维的体操，思维是智力的核心.逆向思维是数学的一个重要法则，其特点表现在：善于从不同的立场、不同的角度、不同的侧面去进行探索，当某一思路出现阻碍时，能够迅速地转移到另一种思路上去，从而使问题得到顺利解决. 当学生经过努力从正向理解了某个概念、定理、公式、法则后，若能适当引导学生进行逆向思考，往往会跨进新的知识领域. 下面就职中数学中比较常遇到地要用逆定理、逆公式、逆法则来解题的情况做一个简要介绍.

1. 逆用定理

重视定义和定理的逆用，加深对概念内涵的认识. 许多数学问题实质上是要求学生能对定义和定理进行再认或逆用.在教学实践中，有的学生能把书上的定义背得滚瓜烂熟，但当改变一下定义的叙述方式或通过一个具体的问题来表述时，学生就不知所措了. 作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的. 因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯. 如在几何的教学中，对每一个定义，都要引导学生分清其正逆方向的关系，对今后推理论证的教学很有裨益. 在讲定义时，如不强调它一定具有可逆性，将会引起学生对定义的逆用产生怀疑. 如：直线与平面平行的判定定理，简单地可记作“若线线平行，则线面平行”. 反向可设问“若线面平行”，能否得到“线线平行”呢？又如：

例1 解方程：（5-2 ）x2-5x+2 =0.

分析：此题容易想到用求根公式来解，但计算烦琐，如注意到方程中各项系数之和“a+b+c=0”的特点，就可以逆用方程根的定义，可知“x=1”是方程的一个根，再根据韦达定理求出另一个根.

解：因为（5-2 ）-5+2 =0，

所以x=1是原方程的一个根，设另一个根为x2，由韦达定理，得：x2= ，即：x2=24+10 .

所以x1=1，x2=24+10 .

例2 已知 + -1=0，n4+n2-1=0，且 ≠n2，求： 的值.

分析：由已知可得： 2+ -1=0，（n2）2+n2-1=0，且 ≠n2，逆向思维，联想到方程x2+x-1=0， ，n2恰好是此方程的两个不相等的实数根，从而可根据韦达定理得： +n2=-1，

即：原式=-1.

2. 逆用公式

数学中的公式总是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不习惯. 事实上，若能够灵活地逆用公式，在解题时就能得心应手，左右逢源.在此应特别注意两点：第一、强调公式的顺用和逆用、“聚合”和“展开”. 第二、逆用公式是求代数式的值、化简、计算的常用手段.

例3 计算sin12°cos33°+cos12°·sin33°.

分析：运用加法定理的逆定理sinx cosy+cosxsiny=sin（x+y），得sin12°cos33°+cos12°sin33°=sin（12°+33°）=sin45°.

3. 逆用法则

数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如：加法和减法、乘法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系. 而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念减法可以转化为加法，利用倒数的概念可以转化为乘法.

例4 已知：xm=3，xn=7，求：x3m-2n的值.

分析：该题将同底数幂除法法则逆用后得到结果.

解：原式=x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72= .

例5 已知：a=355，b=444，c=533，试比较a，b，c的大小.

解：因为a=（35）11=24311，b=（44）11=25611，c=（53）11=12511. 又因为125﹤243﹤256，所以c﹤a﹤b.

改变角度，训练学生思维能力

在学数学的过程中，经常会遇到这样一些问题，当从正面考虑时会出现很多障碍，或者根本解决不了，而从反面着手，往往可以使问题迎刃而解，再或者证明问题的不可能性等等都需要有非常规思路去解决. 非常规地实施逆向思维的训练常采用以下三种策略：

1. “正”难则“反”

反证法是一种逆向思维的方法，被誉为“数学家最精良的武器之一”，是解数学题常用的方法. 当题目出现有“至少”或“至多”字样，或以否定形式给出时，一般采用反证法.通常，反证的基本程序是：（1）反设——根据原命题提出与它对立的反命题；（2）归谬——从假设的反命题出发，运用已知条件、数学规律进行分析推理，论证反命题不成立（不正确）；（3）结论——肯定原命题成立（或正确）.

例6 已知：A，B，C，D是空间四个点，AB，CD是异面直线，求证：AC与BD，AD与BC也都是异面直线.

证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一个平面内，因此，A，B，C，D四点在同一个平面内. 这样AB和CD就分别有两个点在这个平面内，所以AB和CD在这个平面内，即AB和CD不是异面直线，这与已知条件矛盾，所以AC和BD是异面直线. 同理可证AD和BC也是异面直线.

2. 以“退”求“进”

逆向思维是一种突破常规定型模式和超越传统理论框架，把思路指向新的领域和新的客体的思维方式. 它也是一种启发智力的方式，有悖于通常人们的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正常思维不能或是难于解决的问题迎刃而解. 一些正常思维虽能解决的问题，但在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高.

例7 解方程：x4+x3-6x2-2x+4=0.

分析：解分式方程的基本思路是把分式方程去分母转化为整式方程，然而将整式方程逆向转化为分式方程来解，有时也会令人耳目一新.此题要在方程的两边同除以x2，“退”到分式方程再来解，采取以“退”求“进”策略.

解：显然x≠0，方程的两边同除以x2，得：

x2+x-6- + =0，x2+ +x- -6=0，x- 2+x- -2=0.

所以x1=-1+ ，x2=-1- ，x3=2，x4=-1.

3. 反“客”为“主”

例8 已知：关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0，有且只有一个实数根，求：实数a的取值范围.

分析：按常规思路，把x当成主元，求出x，再对a进行讨论，解题过程相当复杂，如果启发学生运用逆向思维，把a当做主元，这种反客为主的技巧很新颖别致.

解：原方程可变为：a2-（x2+2x）a+x3-1=0，

[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0，解得：

x=a+1或x2+x+1-a=0，

因为原方程有且只有一个实数根，所以方程x2+x+1-a=0无实数根.

所以Δ=1-4（1-a）<0，解得：a< .