空间向量在高考解题中的作用

张亚菲

摘要：纵观近几年及2013年高考数学试题，不论是全国卷还是北京市、天津市、浙江省、山东省等其他15个省市的试卷，立体几何解答题是必考题，一般一题两问，第一问一般是证明线线、线面、面面位置关系，对此，我们可以利用综合法，通过“作、证、求”三步求解。第二问是求线面角、面面角、距离等问题，而对于第二题，利用传统方法，要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理，否则不易找出线面的垂直关系，从而造成考试时时间的浪费，甚至丢分。而空间向量法能较好地避开这一难点。直接通过平面的法向量，根据向量数量积的坐标运算就可以达到事半功倍的效果。

关键词：空间向量；坐标运算；作用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）03-0121

采用空间向量进行解题，第一要正确建立空间直角坐标系，写（设）出相关点的坐标，及面内线段（向量）的坐标，然后就是一个面或两个面的法向量的确定。第二是利用平面向量中两个非零向量的内积公式 ■·■= ■·■cos ■·■ ，即cos ■·■ =■，求出法向量和面内一线段（向量）或两法向量所成的角的三角函数值，最后根据题设条件，转化为所求的量。另外，对动态的找点问题也可以通过设点的坐标，利用线线垂直化归为向量的数量积等于零来求解。下面是几道例题。

例1. 2013年新课标全国卷I理科数学第18题

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中 ，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°，

证明：（1）AB⊥A1C

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。

证明：（I）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，∵CA=CB，∴OC⊥AB，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，

∴ △AA1B为等边三角形 。∴OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OA1C，又A1C 平面OA1C，∴AB⊥A1C。

（2） 由（I）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线AB，∴OC⊥平面AA1B1B，∴OA、OA1、OC两两相互垂直。以O为坐标原点，■的方向为X轴的正方向 ，■为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-XYZ。由题设知：

例2. 北京卷第17题

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5，

（1）求证：AA1⊥ 平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求■的值。

解：改（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC。平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC， ∴AA1⊥平面ABC。

例3. 浙江卷第20题

如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2■，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC。

（1）证明：PQ∥平面BCD。

（2）若二面角C-BM-D的大小为60°，求∠BDC的大小。

第一小题既可以用传统方法解，也可以用空间向量的方法解。第二小题，需要通过作辅助线，再证明，就不难找出这个二面角，但相比较而言，存在三线两两互相垂直，用建标设点利用两向量垂直的代数公式和两向量的内积公式求角比较方便。，综上所述，笔者认为在以后的教学中，我们应在引导学生对基本概念、基本公式完全掌握的前提下，锻炼我们解决问题的能力，将立体几何与解析几何很好地结合起来，掌握通法，以不变应万变，以“不动”（方法）应“动”（题目），从而提高解题的稳定性和准确性。所以，掌握空间向量的解题方法至关重要。

（作者单位：浙江省宁波市宁海县正学中学 315600）