解决函数问题——定义域优先

王海春

摘要：函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终，函数的定义域是函数三要素（定义域、值域、对应关系）的关键要素，是解决所有函数问题必须考虑的先决条件。也就是说，求解函数问题必须树立“定义域”优先的原则。在解决任何函数问题中，若不加以注意，学生常常误入“歧途”。在解函数问题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维能力也是十分有益的。

关键词：定义域；解析式；值域；单调性；奇偶性；周期

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）03-0119

通过定义域对函数解析式、值域、单调性、奇偶性、周期的影响来提高学生对函数定义域的重视程度，学生不但加深了对函数概念的理解，提高了解题能力，还拓宽了他们的思维空间，培养了他们的思维能力。

一、定义域对函数解析式的影响，

分析：在已知f [g（x）]的解析式，求f（x）的解析式，一种常见的解法是将f [g（x）]解析式中拼凑出g（x）的整体。再将g（x）换成x从而求f（x）得的解析式。但容易忽略f（x）的定义域，从而导致错误。

注：正解中采用换元的办法，换元法是高中处理数学问题的常用方法。换元学生就能注意到新元的取值范围，而不易丢掉定义域。

二、定义域对函数值域的影响

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函数，所以当t=0时，ymin=1。故所求的函数值域是[1， +∞）。

注：变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

三、定义域对函数单调性的影响

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

例3. 判断函数f（x）=log3（x-2x-3）的单调性。

错解：函数f（x）=log3（x-2x-3）是由u=x2-2x-3y=log3u复合而成，由复合函数的单调性遵循同增异减的原则，二次函数u=x2-2x-3的单调减区间（-∞，1），单调增区间（1，+∞）；在y=log3u定义域上单调增，所以原函数的单调减区间为（-∞，1），单调增区间为（1，+∞）。

正解：先求定义域x2-2x-3>0得x<-1或x>3

所以函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞）

u=x2-2x-3知在（-∞，-1），u单调减；在（3，+∞）单调增

又y=log3u在（0，+∞）单调增

所以，原函数f（x）=log3（x2-2x-3）的减区间为（-∞，-1），增区间为（3，+∞）。

注：如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

四、定义域对函数奇偶性的影响

函数的奇偶性是函数的整体特征是对整个函数定义域而言的，所以考查函数的奇偶性一定是函数的定义域优先。

正解：由函数f（x）=■有意义得1-x2≥0x-2≠2得函数的定义域{x -1≤x≤1且x≠0}所以f（x）=■，则f（-x）=■=-f（x），所以函数f（x）=■为奇函数

五、函数的定义域对函数周期的影响

分析：由题 f（0）有意义，而f（π）不存在，所以 f（0+π）≠f（0）。由周期函数的定义，若定义域中存在x0使f（x0+T）≠f（x0）则T不是函数 f（x）周期，所以π不是函数的周期。原因是化简前后函数的定义域发生变化，在函数的定义域下画出函数 f（x）=tanx图像，知函数f（x）周期为2π。

通过以上的论述，在求解函数解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性等问题中，函数的定义域都有举足轻重的作用。在解题中能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免错误的发生。这也为高中数学学习奠定了坚实的基础。

（作者单位：黑龙江省鸡西实验中学 158100）