巧列不等式解答应用题

田英东

〔关键词〕 数学教学；不等式；应用题

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2014）06—0091—01

对于列不等式，很多学生感到困惑，觉得无从下手。那么，如何摆脱这种困境呢？笔者认为，从限定的条件入手，挖掘题目所蕴含的条件，就可以达到较好的教学效果。

一、从题目中直接列不等式

这种题目明确地给出了某件事情的限定条件，例如，有大于、小于、不超过、高于等等表示不等关系的词语。对于这类题目，要紧紧抓住这些词语前面的量，也就是关键词。对于这种题型，一般分析题意后，设出未知数，列代数式来表达出这个量，然后根据限定的条件直接或作一下转化来列出不等式。

例如，甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2小时后，乙骑车从同地点出发沿同一条路追赶甲。根据他们两人的约定，乙最快不早于1小时追上甲，最慢不晚于1小时15分追上甲。问乙骑车的速度应该满足什么条件？

分析题意：不难发现“不早于、不晚于”是限定的条件，这是对时间的限定。不妨设乙骑车的速度为xkm/h，用含x的代数式来表示时间即可。根据路程、速度、时间的关系：有时间为（5×2+5×1）/x；（5×2+1×■）/ x，然后根据“不早于，不晚于”来列出不等式（5×2+5×1）/x>1；（5×2+1×■）/x<■。当然也可以进行转化，“不早于”就是1h后，乙不追上甲，即在1h后甲的路程要大与乙的路程，从而得到5×2+5×1>x，同理5×2+1×■<■x，根据题目的意思列出限定的量，最后根据题目的意思列出不等式。

二、挖掘题意，深入分析，列不等式

这类的题目没有明确给出某个事情的限定条件，要靠学生认真读题，抓住每个术语进行分析，或者要联系生活实际分析，寻找隐含的各种限定条件，然后根据找到的条件来列不等式。

例如，某工厂有甲种原料360㎏，乙种原料290㎏，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件。已知生产一件A种产品需要甲种原料9㎏、乙种原料3㎏；生产一件B产品需要甲种原料4㎏、乙种原料10㎏。求：（1）设生产A种产品x件，写出x应满足的不等式（组）；（2）写出所有的生产方案。

分析题意：逐步展开，不难得出生产B种产品（50-x）件，而生产一件A种产品需要甲种原料9㎏、乙种原料3㎏。现在生产x件，需要甲种原料9x㎏、乙种原料3x㎏。同理，现在生产B种产品（50-x）件，需要甲种原料4（50-x）㎏、乙种原料10（50-x）㎏，而题目给出工厂共有甲种原料360㎏，乙种原料290㎏。由生活、生产实际出发，生产A，B两种产品所需要的原料数目，不能超出甲种原料和乙种原料现有量。即这就是分析题目找出的限定条件，所以有9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290。解出这个不等式组，根据实际，可回答后面的问题。

三、结合方程、函数，分析实际情况，列不等式

这类题目有些先给出题目的结论，问题是寻找结论成立的条件。我们可以先假设结论成立，然后由结论的性质去推理得到所需要的条件。要解决这样的实际问题，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，寻找最佳的方案。

例如，某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务。已知运输路程均为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时。两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：

■

注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费。

（1）设该批发商待运的海产品有x吨，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1元和y2元，试求y1和y2与x的函数关系式；

（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？

分析题意：列出 （1）y1=120x×2+■×5x+200，y2=1.8×120x+■×5x+1600，化简后得y1=250x+200，y2=222x+1600。对于第二个问题，由若y1= y2，即250x+200=222x+1600，解得x=50。当海产品是50吨时，汽车货运公司和铁路货运公司运输的费用一样多，再由y1>y2，250x+200>222x+1600，解得x>50。同样若y1

编辑：谢颖丽

〔关键词〕 数学教学；不等式；应用题

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2014）06—0091—01

对于列不等式，很多学生感到困惑，觉得无从下手。那么，如何摆脱这种困境呢？笔者认为，从限定的条件入手，挖掘题目所蕴含的条件，就可以达到较好的教学效果。

一、从题目中直接列不等式

这种题目明确地给出了某件事情的限定条件，例如，有大于、小于、不超过、高于等等表示不等关系的词语。对于这类题目，要紧紧抓住这些词语前面的量，也就是关键词。对于这种题型，一般分析题意后，设出未知数，列代数式来表达出这个量，然后根据限定的条件直接或作一下转化来列出不等式。

例如，甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2小时后，乙骑车从同地点出发沿同一条路追赶甲。根据他们两人的约定，乙最快不早于1小时追上甲，最慢不晚于1小时15分追上甲。问乙骑车的速度应该满足什么条件？

分析题意：不难发现“不早于、不晚于”是限定的条件，这是对时间的限定。不妨设乙骑车的速度为xkm/h，用含x的代数式来表示时间即可。根据路程、速度、时间的关系：有时间为（5×2+5×1）/x；（5×2+1×■）/ x，然后根据“不早于，不晚于”来列出不等式（5×2+5×1）/x>1；（5×2+1×■）/x<■。当然也可以进行转化，“不早于”就是1h后，乙不追上甲，即在1h后甲的路程要大与乙的路程，从而得到5×2+5×1>x，同理5×2+1×■<■x，根据题目的意思列出限定的量，最后根据题目的意思列出不等式。

二、挖掘题意，深入分析，列不等式

这类的题目没有明确给出某个事情的限定条件，要靠学生认真读题，抓住每个术语进行分析，或者要联系生活实际分析，寻找隐含的各种限定条件，然后根据找到的条件来列不等式。

例如，某工厂有甲种原料360㎏，乙种原料290㎏，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件。已知生产一件A种产品需要甲种原料9㎏、乙种原料3㎏；生产一件B产品需要甲种原料4㎏、乙种原料10㎏。求：（1）设生产A种产品x件，写出x应满足的不等式（组）；（2）写出所有的生产方案。

分析题意：逐步展开，不难得出生产B种产品（50-x）件，而生产一件A种产品需要甲种原料9㎏、乙种原料3㎏。现在生产x件，需要甲种原料9x㎏、乙种原料3x㎏。同理，现在生产B种产品（50-x）件，需要甲种原料4（50-x）㎏、乙种原料10（50-x）㎏，而题目给出工厂共有甲种原料360㎏，乙种原料290㎏。由生活、生产实际出发，生产A，B两种产品所需要的原料数目，不能超出甲种原料和乙种原料现有量。即这就是分析题目找出的限定条件，所以有9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290。解出这个不等式组，根据实际，可回答后面的问题。

三、结合方程、函数，分析实际情况，列不等式

这类题目有些先给出题目的结论，问题是寻找结论成立的条件。我们可以先假设结论成立，然后由结论的性质去推理得到所需要的条件。要解决这样的实际问题，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，寻找最佳的方案。

例如，某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务。已知运输路程均为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时。两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：

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注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费。

（1）设该批发商待运的海产品有x吨，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1元和y2元，试求y1和y2与x的函数关系式；

（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？

分析题意：列出 （1）y1=120x×2+■×5x+200，y2=1.8×120x+■×5x+1600，化简后得y1=250x+200，y2=222x+1600。对于第二个问题，由若y1= y2，即250x+200=222x+1600，解得x=50。当海产品是50吨时，汽车货运公司和铁路货运公司运输的费用一样多，再由y1>y2，250x+200>222x+1600，解得x>50。同样若y1

编辑：谢颖丽

〔关键词〕 数学教学；不等式；应用题

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2014）06—0091—01

对于列不等式，很多学生感到困惑，觉得无从下手。那么，如何摆脱这种困境呢？笔者认为，从限定的条件入手，挖掘题目所蕴含的条件，就可以达到较好的教学效果。

一、从题目中直接列不等式

这种题目明确地给出了某件事情的限定条件，例如，有大于、小于、不超过、高于等等表示不等关系的词语。对于这类题目，要紧紧抓住这些词语前面的量，也就是关键词。对于这种题型，一般分析题意后，设出未知数，列代数式来表达出这个量，然后根据限定的条件直接或作一下转化来列出不等式。

例如，甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2小时后，乙骑车从同地点出发沿同一条路追赶甲。根据他们两人的约定，乙最快不早于1小时追上甲，最慢不晚于1小时15分追上甲。问乙骑车的速度应该满足什么条件？

分析题意：不难发现“不早于、不晚于”是限定的条件，这是对时间的限定。不妨设乙骑车的速度为xkm/h，用含x的代数式来表示时间即可。根据路程、速度、时间的关系：有时间为（5×2+5×1）/x；（5×2+1×■）/ x，然后根据“不早于，不晚于”来列出不等式（5×2+5×1）/x>1；（5×2+1×■）/x<■。当然也可以进行转化，“不早于”就是1h后，乙不追上甲，即在1h后甲的路程要大与乙的路程，从而得到5×2+5×1>x，同理5×2+1×■<■x，根据题目的意思列出限定的量，最后根据题目的意思列出不等式。

二、挖掘题意，深入分析，列不等式

这类的题目没有明确给出某个事情的限定条件，要靠学生认真读题，抓住每个术语进行分析，或者要联系生活实际分析，寻找隐含的各种限定条件，然后根据找到的条件来列不等式。

例如，某工厂有甲种原料360㎏，乙种原料290㎏，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件。已知生产一件A种产品需要甲种原料9㎏、乙种原料3㎏；生产一件B产品需要甲种原料4㎏、乙种原料10㎏。求：（1）设生产A种产品x件，写出x应满足的不等式（组）；（2）写出所有的生产方案。

分析题意：逐步展开，不难得出生产B种产品（50-x）件，而生产一件A种产品需要甲种原料9㎏、乙种原料3㎏。现在生产x件，需要甲种原料9x㎏、乙种原料3x㎏。同理，现在生产B种产品（50-x）件，需要甲种原料4（50-x）㎏、乙种原料10（50-x）㎏，而题目给出工厂共有甲种原料360㎏，乙种原料290㎏。由生活、生产实际出发，生产A，B两种产品所需要的原料数目，不能超出甲种原料和乙种原料现有量。即这就是分析题目找出的限定条件，所以有9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290。解出这个不等式组，根据实际，可回答后面的问题。

三、结合方程、函数，分析实际情况，列不等式

这类题目有些先给出题目的结论，问题是寻找结论成立的条件。我们可以先假设结论成立，然后由结论的性质去推理得到所需要的条件。要解决这样的实际问题，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，寻找最佳的方案。

例如，某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务。已知运输路程均为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时。两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：

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注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费。

（1）设该批发商待运的海产品有x吨，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1元和y2元，试求y1和y2与x的函数关系式；

（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？

分析题意：列出 （1）y1=120x×2+■×5x+200，y2=1.8×120x+■×5x+1600，化简后得y1=250x+200，y2=222x+1600。对于第二个问题，由若y1= y2，即250x+200=222x+1600，解得x=50。当海产品是50吨时，汽车货运公司和铁路货运公司运输的费用一样多，再由y1>y2，250x+200>222x+1600，解得x>50。同样若y1

编辑：谢颖丽