二次函数的对称美

姚晓娟

摘 要： 二次函数的图像抛物线是轴对称图形，解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法，化难为易，形象直观.

关键词： 二次函数 抛物线 轴对称性

数学美，美在哪里？一种美是因为她的对称和谐，对称美，是指组成某种事物或对象的两个部分的对等性，是统一性的特殊表现.数学的对称美绝不单单体现在一些因对称而美的图形，更体现在应用轴对称性简单地解决一些问题.二次函数y=ax■+bx+c（a≠0）的图像为抛物线，她具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等.本文主要研究二次函数的轴对称性，解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法，化难为易，形象直观.

一、美在形

（一）作图

研究函数都要先研究函数的图像，列表、描点、连线，用光滑的曲线连接，会发现二次函数的图像是轴对称图形，可以让学生自己尝试画图，感受一下，也可以用软件精准地展示出二次函数的图形.由于二次函数的图像是轴对称图形，因此列表时我们可以在对称轴两侧找，简化作图步骤，即“五点作图法”.

（二）二次函数的对称点式

二次函数y=ax■+bx+c（a≠0）的图像与x轴相交于点A（x■，0）和B（x■，0），也就是一元二次方程ax■+bx+c=0的解为x■，x■，则根据韦达定理有x■+x■=-■，x■x■=■.所以

y=ax■+bx+c=a（x■+■x+■）=a[x■-（-■）x+■]=a[x■-（x■+x■）x+x■x■]=a（x-x■）（x-x■）.

点A和点B是抛物线上的一组特殊的对称点，于是我们得到了二次函数的交点式y=a（x-x■）（x-x■），但这种形式仅仅适用于与x轴有交点的二次函数，使用时有其局限性.但是由此我们可以得到二次函数的对称点式，相当于把二次函数与x轴的交点上下平移，也就是把函数图像上下平移，这样A、B两点的坐标就变为（x■，k），（x■，k），即y=a（x-x■）（x-x■）+k，这就是二次函数的对称点式.有了它，我们只要知道抛物线上的一组对称点就可以使用对称点式求出函数解析式.反过来，如果我们有条件：（x■，k），（x■，k）是抛物线y=ax■+bx+c（a≠0）上的一组对称点，也就可以得出此抛物线的对称轴是直线x=■.

二、美在隐

在求二次函数解析式的问题时，要挖掘题中的隐含的条件，利用二次函数的对称性解题.例：已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x■+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x■+4x+6的值等于？摇 ？摇.

本题可以引入一个变量，设多项式为y=x■+4x+6=（x+2）■+2.

当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x■+4x+6的值相等，y值相等，且m-n+2≠0，意味着2m+n+2≠m+2n，那么x=2m+n+2和x=m+2n这两点是抛物线上的一组对称点，所以2m+n+2+m+2n=-4，即m+n=-2.所以当x=3（m+n+1）时，多项式y=x■+4x+6=（x+2）■+2=（3m+3n+5）■+2=[3×（-2）+5]■+2=3.

三、美在简

二次函数图像是一条具有对称性的抛物线，如果能合理利用二次函数的对称性解决相关问题，就会大大简化解题，达到事半功倍的效果.

例1.初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax■+bx+c的图像时，列了如下表格：

根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax■+bx+c在x=3时，y=？摇 ？摇.

本题乍一看需要带入三个点的坐标，求出a、b、c的值，得到二次函数关系式，然后再代入当x=3时求y的值.但是仔细观察一下，当x分别取0和2时，对应的y值都是-2■，根据二次函数的轴对称性可以确定二次函数的对称轴为x=1，再来看要求x=3时求y的值，根据二次函数的轴对称性应该等于x=-1时的y值，从而可以很快得到y=-4.巧妙运用二次函数的轴对称性可以大大简化解题，从而节省解题时间.

例2.已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.

（1）试直接写出点D的坐标；

（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP.

①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大.

本题最后一问要用二次函数的对称性解决，存在点T，使得|TO-TB|的值最大.由前面可得抛物线y=■x■-■x的对称轴为直线x=■，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点E（■，0），∵点O、点E关于直线x=■对称∴TO=TE要使得|TO-TB|的值最大，即使得|TE-TB|的值最大.根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，|TE-TB|的值最大.设过B、E两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），∴3k+b=2■k+b=0，解得：k=■b=-2，∴直线BE的解析式为y=■x-2.当x=■时，y=■×■-2=-1，∴存在一点T（■，-1）使得|TO-TB|最大.

本题借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点变换到了同一侧，使得问题转化为三角形的边之间的关系，使得解题思路简单清晰.

古代哲学家普洛克拉斯说过：哪里有数学，哪里就有美.作为科学语言的数学，具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，即数学美.就二次函数而言，由于抛物线是轴对称图形，因此对称性在学习二次函数的过程中发挥了非常重要的作用.对于有关二次函数的一些题目，如果用其他方法解决可能就会绕很长的弯路，但若利用二次函数的对称性，数形结合地解决问题，就会事半功倍.