判断常见函数单调性的几种方法

梁义

摘 要： 函数的单调性应用十分广泛，是函数性质中最重要的性质.本文主要介绍求单调性的几种常见方法，尤其是列出了顺序，即不仅给出了方法，而且提出了求解思路.

关键词： 函数 单调性 判断方法

函数的单调性是函数性质中最重要、运用范围最广泛的性质，也是求值域、最值等问题必备的知识，同时在比较大小、解不等式、作函数的草图、确立代数式的取值范围等方面有着广泛的应用.因此首先确定函数的单调性是解代数问题的重要基础，由此确定函数单调性的方法就成了很重要的方法.下面我们介绍四种常见方法。

由于单调性的确定方法多样，是一个系统的复杂工程，为降低难度，经我多年研究，确定函数的单调性可以有顺序地选择以下方法.

方法一：判断函数是否是已知的8个初等函数然后按其性质直接得出单调性；

方法二：判断函数是否为已知的8个初等函数的复合函数，可用“同则增、异则减”的方法确定函数的单调性；

方法三：求导数，由导数的正负确定函数的单调性；

方法四：利用定义进行证明，确定单调性.

因为以上四种方法我们是有顺序地选择的，所以在研究函数的单调性方面，方向明确，思路清晰，效果显著.

下面我以2013年全国高考（山东）卷真题为例说明单调性的确定方法过程.

例1.【2013年山东理8题】

函数y=xcosx+sinx的图像大致为（ ）

（A） （B） （C） （D）

分析：直接作图显然不可能，所以只有通过“性质”排除.“性质”中我们首先分析单调性.因为不属于方法一、二两类故选用方法三.

∵y′=2cosx-xsinx，当x∈（0，■）时，y是增函数，结合f（π）=-π<0函数的奇偶性，故选D.

点评：1.研究函数的性质是作“草图”的重要手段，所以图像问题也是性质问题，进而考查了单调性、奇偶性知图像；2.单调性的确定有顺序，方法固定，因此成了解决问题的切入点，降低了本题的难度.

例2.【2013年山东理12题】

设正实数x，y，z满足x■-3xy+4y■-z=0，则当■取得最大值时，■+■-■是的最大值为（ ）

（A）0 （B）1 （C）■ （D）3

分析：由■=■=■

令u=■，∴■=■

构造函数f（u）=■ u∈（0，+∞），

由方法二可知f（u）的单调性，且当u=2时，f（u）取得最大值.即：■=2？圯x=2y，并由z=x■-3xy+4y■知：■+■-■=■+■-■=-■+■.又构造函数g（y）=-■+■=-（■-1）■+1，由方法一知g（y）■=1，故选B.

点评：1.最值问题就是函数的单调性问题，我们连续使用方法一、方法二确定函数的单调性，问题得解；2.为使用“方法”将代数式作合理简化、变形，达到使用“方法”的目的.

例3.【2013年山东理21题】

设函数f（x）=■+c（e=2.71828…是自然对数的底数，c∈R）.

（1）求f（x）的单调区间，最大值；

（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数.

分析：（Ⅰ）∵f（x）=■+c？圯f′（x）=■（x∈R）

令1-2x=0？圯x=■

∴f（x）在（-∞，■）内是增函数，f（x）在（■，+∞）内是减函数，且f（x）■=f（■）=■+c.

（Ⅱ）构造g（x）=|mx|，f（x）=■+c，由g（x）和f（x）的单调性（方法一和方法二可分别求得）分别作出图像，因为方程的解就是图像的交点，考虑到关键点g（1）=0，f（1）=■+c.

显然：当g（1）>f（1），即c<-■时，无交点；

当g（1）=f（1），即c=-■时，有唯一交点；

当g（1）-■时，有两个交点.

点评：1.对于“复杂”函数的单调性，很自然、合理地使用方法三（因为方法一二无法解决）；2.图像问题、最值问题、零点问题等，几乎都是单调性问题.

以上，我仅举三例说明函数单调性的基本确定方法，可以看出很多数学问题（尤其是函数问题）几乎都能转化成函数单调性的问题，说明了函数单调性确定方法的重要性.