二次函数在高中阶段的应用

张学雷

二次函数作为一种重要的基本初等函数在初高中数学教学中都有很重要的地位.对二次函数进行详细研究，对于初高中数学教学都有重要的意义.在初中，因为学生对函数知识的理解还不够深入，所以这部分内容的学习多是机械性和记忆性的.进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对二次函数的知识灵活应用，就必须对它的基本概念和基本性质（定义域、值域、图像、单调性、奇偶性、有界性）进行深入研究.

一、引导学生在掌握了函数定义的基础上进一步深入理解二次函数的概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例以更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax■+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）=ax■+bx+c（a≠0）.这里ax■+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理以下问题.

类型I：已知f（x）=2x■+x+2，求f（x+1）.

这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x■-4x+1，求f（x）.

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x■-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则.

一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+1的多项式.f（x+1）=x■-4x+1=（x+1）■-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x■-6x+6.（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都适用.令t=x+1，则x=t-1，∴f（t）=（t-1）■-4（t-1）+1=t■-6t+6，从而f（x）=x■-6x+6.

二、结合二次函数的图像深化学生对于单调性、最值、对称性等基本性质的理解

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax■+bx+c在区间（-∞，-■]及[-■，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性.

（1）y=x■+2|x-1|-1

（2）y=|x■-1|

（3）y=x■+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：设f（x）=x■-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）.

求：g（t）并画出y=g（t）的图像

解：f（x）=x■-2x-1=（x-1）■-2，在x=1时取最小值-2

当1∈[t，t+1]，即0≤t≤1，g（t）=-2

当t>1时，g（t）=f（t）=t■-2t-1

当t<0时，g（t）=f（t+1）=t■-2

g（t）=t■-2，（t<0）-2，（0≤t≤1）t■-2t-1，（t>1）

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大值或最小值的情况随之变化，为了巩固和熟悉这方面的知识，可以再给学生补充一些练习.

如：y=3x■-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域.

三、强化学生对二次函数的知识的综合理解，提升学生的数学思维水平

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=ax■+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的两个根x■，x■满足0

（Ⅰ）当x∈（0，x■）时，证明x

（Ⅱ）设函数f（x）的图像关于直线x=x■对称，证明：x■<■.

解题思路：

本题要证明的是x

因为00，又a>0，所以f（x）>0，即f（x）-x>0.至此，證得x

根据韦达定理，有x■x■=■，∵0f（0），所以当x∈（0，x■）时f（x）

（Ⅱ）∵f（x）=ax■+bx+c=a（x+■）■+（c-■） （a>0）

函数f（x）的图像的对称轴为直线x=-■，且是唯一的对称轴，因此，依题意，得x■=-■，因为x■，x■是二次方程ax■+（b-1）x+c=0的根，根据韦达定理得，x■+x■=-■，∵x■-■<0，∴x■=-■=■（x■+x■-■）<■，即x■=■.

总之，二次函数作为最基本的初等函数之一，它有着丰富的内涵和外延.以它为代表研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力.