一类p（x）-Lap lacian问题解的存在性

高娟娟，贾小尧，马继佳

（河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471023）

0 引言

近年来，具有变指数增长条件的偏微分方程理论在弹性力学、电子流变流体学以及图像处理等方面变得越来越重要。变指数空间问题最早由波兰数学家W.Orlicz提出，而后由捷克数学家O.Kovácˇik和J.Rákosn′ik系统地建立［1］。从此以后，变指数空间的基本理论研究［2－4］以及具有变指数增长条件的偏微分方程的研究［5－13］吸引了国内外广大学者的关注，其中，文献［5－9］研究了具有Dirichlet边界条件的变指数问题，文献［10－13］讨论了具有Neumann边界条件的变指数问题。但是，这些文献都是关于次临界或者临界情形的研究，对于具有超临界增长指数的变指数问题的研究则较少［14－15］。本文讨论一类具p（x）-Lap lacian算子且带有超临界非线性项的Dirichlet问题：

其中，Ω⊂RN是一个具有柱对称性的有界正则区域；p（x）∈C（），1＜p（x）＜N，∀x∈，且λ＞0。本文利用一个新的紧嵌入定理以及经典的变分方法得到了问题（P）弱解的存在性。

1 预备知识

本节将介绍有关变指数空间Lp（x）（Ω）和W1，p（x）（Ω）的相关结论，详细内容见文献［1－4］。

令Ω＝Ω1×Ω2⊂RN，其中Ω1⊂Rm（m≥1）是有界正则区域，Ω2⊂Rk（k≥2）是中心在原点半径为R的球。定义：

假设h（x）满足以下条件：（h1）：h（x）是上的非负Hölder连续函数，关于x2∈Ω2径向对称且满足h（x1，0）＝0；（h2）：lh＞0，lh＝sup｛λ＞0：＜∞，x∈Ω｝。

定义：

命题3 假设h（x）满足条件（h1），（h2），且p（x），q（x）∈C＋（）∩S（Ω），p（x）＜N，则存在一个常数τ＞0，使得当p（x）＜q（x）＜p*（x）＋τ时（p*（x）＝为临界指数），嵌入W（Ω）→（Ω）是紧的。

且有以下结论：

（1）L是连续有界且严格单调的算子；

（2）L是（S＋）型映射，即若在W1，p（x）（Ω）中有unu，且p（L（un）－L（u），un－u）≤0，则un→u。

命题5 记Φ＝∫ΩλF（x，u）d x，则若unu就有Φ（un）→Φ（u）和Φ′（un）→Φ′（u）。

2 主要结果

下面，给出f（x，t）的假设条件：

（f1） f：Ω×R→R满足Caratheodory条件，且存在两个常数C1，C2＞0使得≤C1＋C2q（x）－1，∀（x，t）∈Ω×R，其中，q（x）∈C＋（Ω），q（x）＜p*（x）＋τ（τ＞0是命题3中得到的常数）。

（f2） ∃M＞0，θ＞p＋，使得0＜θF（x，t）＜f（x，t）t对于≥M，∀x∈Ω成立，其中F（x，t）＝（x，s）d s。

（f3） f（x，t）＝o（p＋－1），t→0对于x∈Ω是一致的。

定理1 若f（x，t）满足条件（f1）且q＋＜p－，则问题（P）有一个弱解。

证明 根据条件f1有≤C（1＋q（x）），∀（x，t）∈Ω×R。令＞1，可得：

因为q＋＜p－，所以当→∞时有I（u）→∞，即I是强制的。由命题3可知，I是弱下半连续泛函。从而，I在W（Ω）中有一个极小值点u，即为问题（P）的一个弱解。

定义2 （（PS）条件）称一个C1的泛函Φ：Χ→R满足（PS）条件，如果任意一个在X中使得有界且Φ′（vk）→0的序列｛vk｝（称为（PS）序列）都有收敛子列。

定理2 假设f（x，t）满足条件（f1）、（f2），并且条件（h1）、（h2）成立，则I满足（PS）条件。

证明 设｛un｝⊂W（Ω）是（PS）序列，即｛I（un）｝有界且当n→∞时有→0。接下来需要证明｛un｝有收敛子列。

由θ＞p＋可知｛un｝是有界的。因为W（Ω）是自反的Banach空间，所以可以找到一个弱收敛子列｛uni｝⊂W（Ω）。由于uniu且I′（uni）→0，应用命题4和命题5可知uni→u。选择｛unj｝⊂｛uni｝使unj∈S（Ω），因此｛unj｝⊂W（Ω）且仍有unj→u。从而，I满足（PS）条件。

定理3 若f（x，t）满足条件（f1）～（f3），h（x）满足条件（h1）和（h2），且q－＞p＋，则问题（P）有一个非平凡的弱解。

证明 下面利用山路引理证明。由定理2可知I满足（PS）条件。因为p＋＜q－≤q（x）＜p*（x）＋τ，∀x∈Ω，有以下紧嵌入结果：

从而，存在常数C0，C1，

根据条件（f1）和（f3）可知，存在任意常数0＜ε＜1和常数C（ε）＞0，使得

令ε＞0足够小，使得0＜λεC0＜，从而有

因为q－＞p＋，所以必存在r＞0和δ＞0，使对每个u∈W（Ω）且＝r都有I（u）≥δ＞0成立。

于是，当t→＋∞时，有I（tv）→－∞。又因I（0）＝0，从而I满足了山路引理的条件。因此泛函I至少有一个非平凡的临界点。

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