关于不定方程x2+4n=y7

邢 静 静

(西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715)

关于不定方程x2+4n=y7已经有了不少研究工作[1-7]，其中n=0时，潘承洞、潘承彪[1]在《代数数论》一书中对方程x2+1=y7的整数解问题做了详细的证明，整数解是 (x，y)=(0，1)；2011年李娜[2]证明了x2+4=y7无整数解；2008年高丽、马永刚[3]证明了x2+42=y7无整数解；2012年张杰[4]证明了x2+43=y7仅有整数解(x，y)=(±8，2)；冉银燕[5，6]证明了x2+44=y7，x2+46=y7均无整数解.而当n=5时，至今仍无人证明.故此处先证明x2+45=y7无整数解，之后在前人证明的基础上总结归纳不定方程x2+4n=y7，x≡0(mod2)，x，y，n∈Z的整数解为(x，y，n)=(0，4m，7m)，(±8×27m，2×4m，7m+3)(m∈N).

引理1[1]不定方程x2+1=y7，x，y∈Z整数解仅有(x，y)=(0，1).

引理2[2]不定方程x2+4=y7，x，y∈Z无整数解.

引理3[3]不定方程 x2+42=y7，x，y∈Z无整数解.

引理4[4]不定方程x2+43=y7，x，y∈Z仅有整数解(x，y)=(±8，2).

引理5[5]不定方程x2+44=y7，x，y∈Z无整数解.

引理6[6]不定方程x2+46=y7，x，y∈Z无整数解.

引理1-引理6均已被前人证明，此处证明n=5时不定方程x2+4n=y7无整数解.

引理7 不定方程

x2+45=y7，x，y∈Z

(1)

无整数解.

证明分x≡1(mod2)，x≡0(mod2)两种情况讨论.

(1) 先假设 x≡1(mod2)，在Z[i]中，原方程可以写为

(x+25i)(x-25i)=y7，x，y∈Z

(2)

设δ=(x+25i，x-25i)，由δ|(2x，26i)=2，知道δ只能是1，1+i，2.由x≡1(mod2)知道x+25i≡1(mod2)，所以δ≠2；如果δ=1+i，则N(1+i)|N(x+25i)，即2|x2+45，与x≡1(mod2)产生矛盾，因此δ=1.由此知x+25i=(a+bi)7，x，a，b∈Z，因而有

x=a7-21a5b2+35a3b4-7ab6

(3)

25=b(7a6-35a4b2+21a2b4-b6)

(4)

因此b=±1，±2t(1≤t≤4)，±25.

当b=±1时，7(a6-5a4+3a2)=1±25，此式要成立需满足7|1±25，但这是不可能的.

当b=±2t(1≤t≤4)时， ±25-t=7a6-35a4b2+21a2b4-b6，则a必为偶数，再由x=a7-21a5b2+35a3b4-7ab6知x也为偶数，这与假设x≡1(mod2)矛盾.

当b=25时，7a6-35a4b2+21a2b4=230+1，等式两边同取模7得0≡2(mod7)，这是不可能的.

当b=-25时，a2(7a4-35a2b2+21b4)=230-1=32×7×11×31×499 81，因为a∈Z，所以a2=1或9，代入验证7a6-35a4b2+21a2b4-b6=-1，均不成立.

综上所述，当x≡1(mod2)时，方程(1)无整数解.

(2) 再讨论x≡0(mod2)的情况，易知y也是偶数，令x=2x1，y=2y1，x1，y1∈Z.

此时方程(1)可变为(2x1)2+45=(2y1)7，即x12+44=25y17(x1，y1∈Z)，易知x1仍为偶数，令x1=4x2，得x22+42=2y17，此时x2也为偶数，再令x2=2x3，y1=2y2，x3，y2∈Z得x32+4=26y27，仍有x3为偶数，令x3=2x4，得x42+1=16y27，由于x4是奇数，取mod8.

可知该方程无整数解，故当x≡0(mod2)时式无整数解.

综上讨论，不定方程x2+45=y7无整数解.

定理1 不定方程

x2+4n=y7，x≡0(mod 2)

(5)

仅有整数解(x，y，n)=(0，4m，7m)，(±8·27m，2·4m，7m+3)(m∈N).

证明当x ≡0(mod2)时，y为偶数，下面对n进行分类讨论.

当n=7m时，令x=27mx1，y=4my1，方程(5)变为x12+1=y17，从而由引理1知式(5)整数解仅有(x1，y1)=(0，1)，由x=27mx1，y=4my1，可得方程(5)的整数解仅有(x，y，n)=(0，4m，7m).

当n=7m+1时，令x=27mx1，y=4my1，则方程(5)变为x12+4=y17，由引理2知式(5)无整数解，故方程(5)也无整数解.

当n=7m+2时，令x=27mx1，y=4my1，则方程(5)变为x12+16=y17，由引理3知式(5)无整数解，故方程(5)无整数解.

当n=7m+3时，令x=27mx1，y=4my1，则方程变为x12+64=y17，由引理4知仅有整数解(x1，y1)=(±8，2)，故方程(5)的整数解为(x，y，n)=(±8·27m，2·4m，7m+3).

当n=7m+4时，同样令x=27mx1，y=4my1，则方程变为x12+44=y17，由引理5知无整数解，故方程(5)也无整数解.

当n=7m+5时，令x=27mx1，y=4my1，则方程变为x12+45=y17，由引理7知无整数解，故方程(5)也无整数解.

当n=7m+6时，令x=27mx1，y=4my1，则方程变为x12+46=y17，由引理6知无整数解，故方程(5)也无整数解.

综上讨论知，不定方程x2+4n=y7，x≡0(mod2)仅有整数解

(x，y，n)=(0，4m，7m)，(±27m+3，2·4m，7m+3)(m∈N)

参考文献：

[1] 潘承洞，潘承彪.代数数论[M].济南：山东大学出版社，2003

[2] 李娜.关于不定方程x2+4=y7的解[J].科学技术与工程，2011，11(23)：13-14

[3] 高丽，马永刚.关于不定方程x2+42=y7[J].西南民族大学学报，2008，34(1)：27-29

[4] 张杰.关于不定方程x2+43=y7的解[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2012，29(3)：27-28

[5] 冉银霞.关于不定方程x2+44=y7[J].延安大学学报：自然科学版，2012，31(4)：14-15

[6] 冉银霞.关于不定方程x2+46=y7[J].高师理科学刊，2013，33(4)：25-26