中国数学史中的正负数及其运算法则

边孟颖　郑茹　傅海伦

在中小学数学教学、培训以及研修学习中，不少教师都提到中国数学史的正负数的问题，笔者对此很有兴趣，也感到此内容十分重要，但有关这方面的介绍也不尽相同，这给我们的数学教学与研究带有一定的不便。因此，本文在查阅相关文献的基础上，给出一些数学史料，使大家对此有一个更清楚、更准确的认识。同时，也提出一点自己的认识和理解，希望与同行作更进一步的交流，也权当对数学史学习与应用的一点体会。

1关于中国数学史中的正负数

中国是世界上最早引入负数并给出正负数运算法则的国家。可是究竟应当怎样认识正负数，却需要搞清楚。实事上，在我国最早的数学经典——《九章算术》中“方程”章已用到正负术。《九章算术》确定了中国古代数学的框架、内容、形式、风格和思想方法的特点。全书共分九章，有90余条抽象性算法、公式，246道例题及其解法，基本上采取算法统率应用问题的形式[1]，包括丰富的算术、代数和几何内容。《九章算术》是以计算为中心以解决实际问题为目的的算法体系，在结构上总体可分为：“问”、“答”、“术”。如果几个相连的题的解法完全相同，就把“术”放在这一类题目的最后一题解答之后，作为一般性的算法。因此，《九章算术》并不是所谓的“问题集”，而是注重计算的方法和过程，以“术”文统率应用问题的算法体系。这一点非常重要，是理解包括正负术在内的我国传统数学构造性与机械化思想特点的基础和前提。

中国数学家在方程章里提出了正、负数的不同表示法和正负数的加减法则，这在中国数学史上是一个无比的伟大成就。[2]在解“方程”进行消元过程中，要进行两行间的对减相消，不可避免地会出现“以少减多”（注意不是“以多减少”）不够减的情形，要保证这种机械化的算法畅通无阻，就必须引进负数和建立正负数的运算法则，然后根据法则计算出结果。

“方程”章第1问[3]：

今有上禾三秉、中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉、中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉、中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

“方程术”，可以分为10个程序步骤：

①置上禾三秉、中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方。

②以右行上禾遍乘中行而以直除。

③又乘其次，亦以直除。

④然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。

⑤左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。

⑥求中禾，以法乘中行下实。而除下禾之实。

⑦余，如中禾秉数而一，即中禾之实。

⑧求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。

⑨余，如上禾秉数而一，即上禾之实。

⑩实皆如法，各得一斗。

程序（1）即按分离系数法将前后三次试验所得的十二个数据布列成右、中、左三行排列成现代矩阵形式如图1：

本例实际是相当于现代解下面的线性方程组：3x+2y+z=39，（1）

2x+3y+z=34，（2）

x+2y+3z=26。（3）

图1由于“方程”模型及其解之特殊构造性，决定了可以对它施行种种行的消元变换的过程，因而构造性就与算法的机械化特色联系在一起。“方程术”程序步骤②～⑩深刻体现了中国传统数学的这两个方面的特点。从现代观点来说，“方程”的演算程序类似于矩阵的“初等变换”算法，即相当于利用线性方程组的系数增广矩阵进行初等变换来求解。《九章算术》首先采取在算板上布列“方程”，然后反复对“方程”施行基本的运算即“遍乘”，“直除”的行变换。这里的“直除”，就是作减法运算。这里就自然需要引进负数的运算法则，而并不在乎负数的意义和概念是什么。因此，正负术的引入是“方程”算法机械化的结果。这在世界上是非常独特的。

到了魏晋时期，我国伟大的数学家刘徽在《九章算术注》中给出了正负数的意义和概念，第一次深刻阐述了自己的观点。刘徽为《九章算术》“正负术”作注时说：

“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以邪正为异”。[4]

正负是什么意思呢？刘徽注文中说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”“算”当时是指算筹，如果计算时用算筹代表“得”、“失”两种量，那就要用正负数来定义。这个看法是很正确的，用筹进行代数运算时如何区别正负数，以前不见记载。刘徽提出：“正算赤，负算黑，否则以邪正为异。”这就是说刘徽用红、黑两种颜色的算筹区别正负，否则当用一种颜色的算筹时可以在摆法上以“正”、“邪”（斜）区别正负数。这两种方法，对后来的数学都有深远的影响。刘徽还认为：“言负者未必负于少，言正者未必正于多”。前一句话是指负数的绝对值未必小，后一句话是指正数的绝对值也不定很大，因此这两句话说的是关于正负数的绝对值。

2关于正负数的运算法则

刘徽不仅在工具上规定了正负数的区别，而且还规定了正负数的运算法则：

同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。

异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。[5]

前四句是指正负数的减法法则，用现代记号就是：当a≥b>0时，

（±a）-（±b））=±（a-b）（同名相除），

（±a）-（b）=±（a+b）（异名相益）。

0-（±a）=a（正无入负之，负无入正之）

“无入”，刘徽注释为“为无对也，无所得减也……”，可见“无入”就是“没有与之对减的数，即是零。

后四句讲的是正负数的加法法则：

（1）如果两数异号，则其和的绝对值是其绝对值之差，其符号由绝对值较大的数的符号决定：

（±a）+（b）=±（a-b），这里a≥b>0，

（±a）+（b）=（b-a），这里b≥a>0。endprint

（2）如果两数同号，则其和的绝对值是两数绝对值之和：

（±a）+（±b）=±（a+b）

正数没有与之相加的数，仍得正数，负数没有与之相加的数，仍得负数：

0+（±a）=±aa>0。

现在在中小学数学教育中，经常被拿来作为正负数及其运算例子的是《九章算术》章的第8问[6]：

今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？

答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。

其解法为：

术曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊九负，豕三正；次，五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负。以正负术入之。

这里所说的意思就是：若每头牛、羊、豕的价格分别用x、y、z表示，则可列出现代如下的方程（组）：2x+5y-13z=1000，

3x-9y+3z=0，

-5x+6y+8z=-600。

在这里“方程”的各项系数及常数项中都出现了负数，利用正负数的运算法则计算结果是自然的，水到渠成的。

关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算，可惜书中并未论及，直到元代朱世杰在《算学启蒙》（1299）中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此最迟于13世纪末，我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。此外，损益术是建立方程要用到的一种方法，“损益”即增减的意思，损益术相当于现今由关系式的一端向另一端移项，移项后由加变减，由减变加，相当于改变符号，这是常数项移项的情况[7]。而现今的移项就是变形，即把方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，可见，中国古代的损益术就是移项变号的方法。总之，从正负数概念的引入，到正负数加减运算法则的形成，我国这些方面的成就都是遥遥领先的。

参考文献：

[1]郭书春。中国古代数学。北京：商务印书馆。1997：8。

[2]钱宝琮。中国数学史。北京：科学出版社。1964：35。

[3][4][5][6]九章算术。郭书春汇校。沈阳：辽宁教育出版社。1990：385，388，389。

[7]郭书春。古代世界数学泰斗刘徽。济南：山东科技出版社。1992∶49。endprint

（2）如果两数同号，则其和的绝对值是两数绝对值之和：

（±a）+（±b）=±（a+b）

正数没有与之相加的数，仍得正数，负数没有与之相加的数，仍得负数：

0+（±a）=±aa>0。

现在在中小学数学教育中，经常被拿来作为正负数及其运算例子的是《九章算术》章的第8问[6]：

今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？

答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。

其解法为：

术曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊九负，豕三正；次，五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负。以正负术入之。

这里所说的意思就是：若每头牛、羊、豕的价格分别用x、y、z表示，则可列出现代如下的方程（组）：2x+5y-13z=1000，

3x-9y+3z=0，

-5x+6y+8z=-600。

在这里“方程”的各项系数及常数项中都出现了负数，利用正负数的运算法则计算结果是自然的，水到渠成的。

关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算，可惜书中并未论及，直到元代朱世杰在《算学启蒙》（1299）中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此最迟于13世纪末，我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。此外，损益术是建立方程要用到的一种方法，“损益”即增减的意思，损益术相当于现今由关系式的一端向另一端移项，移项后由加变减，由减变加，相当于改变符号，这是常数项移项的情况[7]。而现今的移项就是变形，即把方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，可见，中国古代的损益术就是移项变号的方法。总之，从正负数概念的引入，到正负数加减运算法则的形成，我国这些方面的成就都是遥遥领先的。

参考文献：

[1]郭书春。中国古代数学。北京：商务印书馆。1997：8。

[2]钱宝琮。中国数学史。北京：科学出版社。1964：35。

[3][4][5][6]九章算术。郭书春汇校。沈阳：辽宁教育出版社。1990：385，388，389。

[7]郭书春。古代世界数学泰斗刘徽。济南：山东科技出版社。1992∶49。endprint

（2）如果两数同号，则其和的绝对值是两数绝对值之和：

（±a）+（±b）=±（a+b）

正数没有与之相加的数，仍得正数，负数没有与之相加的数，仍得负数：

0+（±a）=±aa>0。

现在在中小学数学教育中，经常被拿来作为正负数及其运算例子的是《九章算术》章的第8问[6]：

今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？

答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。

其解法为：

术曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊九负，豕三正；次，五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负。以正负术入之。

这里所说的意思就是：若每头牛、羊、豕的价格分别用x、y、z表示，则可列出现代如下的方程（组）：2x+5y-13z=1000，

3x-9y+3z=0，

-5x+6y+8z=-600。

在这里“方程”的各项系数及常数项中都出现了负数，利用正负数的运算法则计算结果是自然的，水到渠成的。

关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算，可惜书中并未论及，直到元代朱世杰在《算学启蒙》（1299）中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此最迟于13世纪末，我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。此外，损益术是建立方程要用到的一种方法，“损益”即增减的意思，损益术相当于现今由关系式的一端向另一端移项，移项后由加变减，由减变加，相当于改变符号，这是常数项移项的情况[7]。而现今的移项就是变形，即把方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，可见，中国古代的损益术就是移项变号的方法。总之，从正负数概念的引入，到正负数加减运算法则的形成，我国这些方面的成就都是遥遥领先的。

参考文献：

[1]郭书春。中国古代数学。北京：商务印书馆。1997：8。

[2]钱宝琮。中国数学史。北京：科学出版社。1964：35。

[3][4][5][6]九章算术。郭书春汇校。沈阳：辽宁教育出版社。1990：385，388，389。

[7]郭书春。古代世界数学泰斗刘徽。济南：山东科技出版社。1992∶49。endprint