一个新构造混沌纠缠系统的动力学分析

杨 敏, 俞建宁, 张建刚, 安新磊, 杜文举, 李耀伟

(兰州交通大学 数理学院, 甘肃 兰州 730070)

近年来,人们不仅力求深入分析非线性对系统动力学的影响,而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类,对创建新的混沌系统的需求明显增加.目前,设计和建造新的人工混沌系统已经成为一个活跃的话题[1-5].文献[6]提出一个新的名词混沌纠缠,它是一种新的产生混沌的方法，基本原理是通过纠缠函数纠缠两个或多个稳定的线性子系统来产生一个人造的混沌系统.混沌纠缠提供了一个更简单的方法来设计和构建新的混沌吸引子.在实际中混沌纠缠可以被用来作为一个指导原则,以有效地构造人工混沌系统.

本文利用混沌纠缠的方法构造出一个新的超混沌系统,通过一系列动力学分析[7-9],验证了这个系统是混沌的.

1 新混沌系统的构造

通过一些非线性函数进行纠缠时,如果两个或多个线性子系统能产生混沌行为,这种现象就叫混沌纠缠.其中非线性函数叫做纠缠函数.

考虑两个线性子系统.一个是二维的,另一个是一维的,分别如下所示

(1)

(2)

其中(x,y,z)是状态变量.当a<0,c<0,两个子系统是稳定的.

通过正弦函数纠缠(1)和(2)三个子系统,我们就得到下面的系统

(3)

其中(a,b,c,d,e)是纠缠系数,(sinx,siny,sinz)是纠缠函数.

当a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18时,系统(3)有一个混沌吸引子,如图1所示.

图1 当a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18时系统(4)的相图

2 新系统的混沌验证

2.1 对称性和不变性

2.2 耗散性与吸引子的存在

由于系统(3)的向量场散度

(4)

所以,当a+b+d<0时系统(3)是耗散的,并且以指数形式收敛

即体积元V0在时刻t时收缩为体积元V0e(a+c-d)t,且当t→∞时包含系统轨线的每个小体积元以指数率(a+c-d)收缩到零, 所有系统的轨线最终会被限制在一个体积为零的极限子集上，且渐近运动将被固定到一个吸引子上.

2.3 有界性分析

通常,如果一个系统是有界的,且有一个正Lyapunov指数,那么这个系统是混沌的.

定理1 当a<0,c<0时,系统(3)是有界的.

证明为了计算方便,我们将系统(3)写成如下形式

其中,

定义V=XTX,于是有

XT(AT+A)X+2FTBTX≤

于是

Ω0={X|‖X‖=M},Ω1={X|‖X‖≤M}

当‖X‖>M时，有

这表明系统(3)有界于Ω0.

2.4 平衡点的稳定性

要分析新系统的动力学特性,首先是要找出它的平衡点,通常平衡点与系统的参数有关.由于系统(3)是一个超越方程组,有很多个平衡点,通常,不容易找到其精确的解,所以这里只考虑一个平衡点E0=(0,0,0).

定理2[10]多项式L(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3(pi为实数)的所有的根都有负实部的充分且必要条件为p1,p2,p3都为正数,且满足不等式p1p2>p3.

定理3 当a<0,b<0,c<0,d>0,b+e>0,b2d+e3<0时，平衡点E0是渐进稳定的.

证明系统(3)在平衡点E0=(0，0，0)处的Jacobian矩阵为

可得系统(3)在E0=(0,0,0)处的Jacobian矩阵的特征多项式为

p(λ)=λ3+(d-a-c)λ2+

(ac-b2-ad-cd-be)λ+

acd-b2d-be2-bde-e3

(5)

根据引理2知,要使式(5)有负实部的特征根,即平衡点E0是局部渐进稳定的充分必要条件是不等式

(6)

成立.所以当满足条件(6)时,平衡点E0=(0,0,0)渐进稳定.

3 数值模拟

取参数a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18,计算得λ1=1.754358,λ2=0.001866,λ3=-6.756883.系统(3)有两个大于零的Lyapunov指数,所以系统(3)此时处于超混沌状态.图2、3给出了系统(3)随分岔参数e变化的分岔图和Lyapunov指数谱.从图2、3可以看出系统(3)随分岔参数e变化运动的复杂性,随着参数e的逐渐增大,系统(3)经历由一周期倍化为二周期,四周期,…,的倍周期分岔的运动形式,从稳定的周期1轨道通过倍周期分岔的形式走向混沌.在混沌域内夹杂着许多长度不同的周期窗口,在这些窗口中,有的发生了倍周期分岔,有的镶嵌较宽的3周期窗口(图4(a)),说明系统(3)的运动比较稳定,有的窗口出现混沌危机(图4(b)).

4 结束语

本文构造了一个新的混沌系统,通过一系列动力学分析,验证了该系统是混沌的.数值计算显示这个系统有两个正的Lyapunov指数,这表明是超混沌的.最后画出了全局分岔图,可以看到该系统通过倍周期分岔通向混沌.

图2 系统(3)超混沌状态下e关于x的分岔图

图3 Lyapunov指数谱

图4 系统(3)混沌状态下e关于x的分岔图

[1] Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow [J]. J. Atmos. Sc, 1963, (20):130-141.

[2] Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic systems [J]. Physical Review Letters, 1990, (64): 821- 824.

[3] Chu Y D, LI X F, Zhang J G,etal. Nonlinear dynamics analysis of a new autonomous chaotic system [J].Zhejiang Univ Sci A, 2007, (8):1408-1413.

[4] 李险峰,张建刚,褚衍东.一个新自治系统的动力学分析[J].复杂系统与复杂性科学,2008,5(1):1672-3813.

[5] 唐良瑞,李静,樊冰，等.新三维混沌系统及其电路仿真[J].物理学报,2009,58(2):0785-0793.

[6] Zhang H T, Liu X Z. Chaos entanglement: a new approach to generate chaos [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2013, 23(5): 1330014 (17 pages).

[7] 李群宏,徐德贵.一个类Lorenz系统的动力学分析[J].重庆理工大学学报, 2011(2): 112-116.

[8] 褚衍东,李险峰,张建刚. Host-Parasitoid系统的分岔与混沌控制[J].动力学与控制学报，2006, 4(4):332-337.

[9] 杨绍普,中永军.滞后非线性系统的分岔与奇异性[M].北京:科学出版社,2003.

[10] Dias F S, Mello L F, Zhang J G. Nonlinear analysis in a Lorenz-like system [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11 (5): 3491-3500.