分类讨论思想在初中数学解题中的运用策略

周金林

数学思想是人们对现实世界的数量关系、空间形式、模式结构的意识反映，是思维活动的结果。它能帮助人们系统化地学习知识、掌握结构，提供最佳解决问题的策略，诸如数形结合思想、化归思想、方程与函数思想、分类讨论思想等等。分类讨论思想最早源于《九章算术》中关于盈亏问题的讨论，它指在部分数学问题中存在着一些不确定的因素，结论不是能够唯一确定的，要根据题目特点和要求，按不同的情况进行分类，将原题转化为若干个小问题逐项讨论，最后综合求解的过程。

一、渗透分类讨论思想的意义

1.有助于养成分类的意识。物以类聚，每个人在日常生活中都积累了一定的分类经验，教师在课堂教学中要将生活中的分类知识迁移到数学教学中，如数的分类、三角形的分类等等，力求做到目标明确、标准统一，要充分挖掘教材，抓住渗透的契机，将分类讨论应用于生活之中。

2.有助于掌握分类的方法。在分类讨论教学中，教师要引导学生根据对象的属性进行分类讨论，不遗漏、不重复地划分子类，并对每一类加以解答，能有效地培养学生思维的缜密性。

3.有助于形成一题多解的能力。分类讨论教学为学生营造了合作、交流、争辩的氛围，学生往往不满足于一种解法，对一些题目提出两种、三种甚至多种解法，能有效培养学生思维的灵活性，从而促进学生创新思维能力的发展。

4.有助于形成良好的认知结构。学生认知结构的发展是通过学生主动同化、顺应，在原有的认知结构上进行拓展、延伸，从而形成新的系统。分类讨论思想揭示知识间的内在联系，能帮助学生完善认知结构，培养思维的灵活性和创造性。

二、当前分类讨论思想渗透存在的主要问题

1.教学思想陈旧。长期以来，受“传道、授业、解惑”的传统影响，部分教师教学思想陈旧，沿袭传统的教学理念，以传授知识作为主要教学目标，他们只注重知识的传授，而忽视思想方法的渗透，他们从不主动考虑解题意图，不能从多角度分析问题，往往是一解了之，缺乏深层次的探索，掩盖了学生的思维困惑。

2.学生被动接受。传统的数学教学脱离学生生活实际，教师机械灌输，大搞题海战术，割裂了知识间的联系，学生缺乏自我感悟和独立探究的机会，感到数学知识索然无味，缺乏探究热情，无法顾及运用什么思想方法，更谈不上知识的创新了。如在“角平分线定理”教学中，一位教师重点强调“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”，而没有联系“外心”进行分类讨论，导致学生在解题时容易出错。

3.应试教育影响。部分教师受中考指挥棒的影响，“以考分论英雄”的应试教育观念根深蒂固，他们不理解素质教育的内涵，依然“穿新鞋走老路”，重知识轻能力、重解题轻思想的现象普遍存在，导致学生抽象思维能力薄弱。

三、分类思想在解题中的应用

1.分类思想在绝对值解题运算中的运用。解有关绝对值的题目时，一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号，但如果不确定绝对值里面数的符号，就必须要分类讨论。

例1：使|a+1|=|a|+1成立的条件是（ ）

A. a为任何实数 B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析：此题中等号左右两边都有绝对值符号，而又未给出实数a的取值范围，因而无法直接去掉绝对值。可根据“零点分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0进行讨论。

解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。

（1）当a<-1时，左边=-（a+1）=-a-1，右边=-a+1，左边≠右边；

（2）当-1≤a<0时，左边=a+1，右边=-a+1，左边≠右边；

（3）当a≥0时，左边=a+1，右边=a+1，左边=右边。

∴a≥0，应选D。

2.分类讨论思想在方程解题中的应用。在解方程ax2+bx+c=0时，要根据一元二次方程的定义分析a是否为0的情况。

例2：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有实数根，求a的取值范围。

分析：在解字母系数的取值范围问题中，题目没有明确二次项系数a2的符号，因此不仅要考虑二次方程的可能，还要考虑一次方程的可能。

解：（1）当a2=0，即a=0，方程为一元一次方程-2x+1=0，有实数根x=0.5；

（2）当a2≠0，即a≠0，方程为一元二次方程，当△≥0时有实根，即

△=[2（a-1）]2-4a2=-4a+4≥0，a≤1。

所以a≤1，且a≠0。

综合（1）、（2），得a≤1。

（3）分类讨论思想在函数中的应用。函数教学中出现分类讨论的题型较多，有关于一次函数，有关于反比例函数的，还有综合性较强的二次函数，它们大多是由一元二次方程的性质演变而来，教者要引导学生分情况进行说明。

例3：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标。

分析：本题条件是不唯一的，问题中没有说明是什么函数，要分两种情况：一次函数或二次函数进行讨论。①当k=1时，此函数是一次函数y=-x+1，与x轴的交点坐标为（1，0）；②当此函数为二次函数时，k≠1，△=（-k）2-4（k-1）=（k-2）2。在二次函数的图象与x轴交点的个数与△的符号有关，因此要分△>0、△=0两种情况分析：△>0，即k≠2时，有两个交点（1，0）、（■，0）；△=0，即k=2时，有一个交点（1，0）。

（4）分类思想在几何操作中的运用。在解答几何问题时，要根据题意分析清楚符合条件图形的各种可能形状、位置，抓住相关对象性质，分类各种符合条件的图形。

例4：已知△ABC的边AB=6，AC=2■，BC边上的高AD=3。（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的一边在已知△ABC边上，另外两个顶点在AC、BC上，求这个正方形的面积。

分析：过△ABC的顶点A向对边作垂线，垂足可以在BC上，也可能在BC的延长线上，要分两种情况进行讨论。（如图）

总之，分类讨论思想作为一种重要的思想方法，对于培养学生思想的缜密性、严谨性具有重要意义，我们数学教师在数学解题中要循序渐进地渗透分类讨论的思想方法，以提高学生的解题能力，培养学生的发散思维能力。

（作者单位：江苏省滨海县八巨初级中学）

数学思想是人们对现实世界的数量关系、空间形式、模式结构的意识反映，是思维活动的结果。它能帮助人们系统化地学习知识、掌握结构，提供最佳解决问题的策略，诸如数形结合思想、化归思想、方程与函数思想、分类讨论思想等等。分类讨论思想最早源于《九章算术》中关于盈亏问题的讨论，它指在部分数学问题中存在着一些不确定的因素，结论不是能够唯一确定的，要根据题目特点和要求，按不同的情况进行分类，将原题转化为若干个小问题逐项讨论，最后综合求解的过程。

一、渗透分类讨论思想的意义

1.有助于养成分类的意识。物以类聚，每个人在日常生活中都积累了一定的分类经验，教师在课堂教学中要将生活中的分类知识迁移到数学教学中，如数的分类、三角形的分类等等，力求做到目标明确、标准统一，要充分挖掘教材，抓住渗透的契机，将分类讨论应用于生活之中。

2.有助于掌握分类的方法。在分类讨论教学中，教师要引导学生根据对象的属性进行分类讨论，不遗漏、不重复地划分子类，并对每一类加以解答，能有效地培养学生思维的缜密性。

3.有助于形成一题多解的能力。分类讨论教学为学生营造了合作、交流、争辩的氛围，学生往往不满足于一种解法，对一些题目提出两种、三种甚至多种解法，能有效培养学生思维的灵活性，从而促进学生创新思维能力的发展。

4.有助于形成良好的认知结构。学生认知结构的发展是通过学生主动同化、顺应，在原有的认知结构上进行拓展、延伸，从而形成新的系统。分类讨论思想揭示知识间的内在联系，能帮助学生完善认知结构，培养思维的灵活性和创造性。

二、当前分类讨论思想渗透存在的主要问题

1.教学思想陈旧。长期以来，受“传道、授业、解惑”的传统影响，部分教师教学思想陈旧，沿袭传统的教学理念，以传授知识作为主要教学目标，他们只注重知识的传授，而忽视思想方法的渗透，他们从不主动考虑解题意图，不能从多角度分析问题，往往是一解了之，缺乏深层次的探索，掩盖了学生的思维困惑。

2.学生被动接受。传统的数学教学脱离学生生活实际，教师机械灌输，大搞题海战术，割裂了知识间的联系，学生缺乏自我感悟和独立探究的机会，感到数学知识索然无味，缺乏探究热情，无法顾及运用什么思想方法，更谈不上知识的创新了。如在“角平分线定理”教学中，一位教师重点强调“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”，而没有联系“外心”进行分类讨论，导致学生在解题时容易出错。

3.应试教育影响。部分教师受中考指挥棒的影响，“以考分论英雄”的应试教育观念根深蒂固，他们不理解素质教育的内涵，依然“穿新鞋走老路”，重知识轻能力、重解题轻思想的现象普遍存在，导致学生抽象思维能力薄弱。

三、分类思想在解题中的应用

1.分类思想在绝对值解题运算中的运用。解有关绝对值的题目时，一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号，但如果不确定绝对值里面数的符号，就必须要分类讨论。

例1：使|a+1|=|a|+1成立的条件是（ ）

A. a为任何实数 B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析：此题中等号左右两边都有绝对值符号，而又未给出实数a的取值范围，因而无法直接去掉绝对值。可根据“零点分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0进行讨论。

解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。

（1）当a<-1时，左边=-（a+1）=-a-1，右边=-a+1，左边≠右边；

（2）当-1≤a<0时，左边=a+1，右边=-a+1，左边≠右边；

（3）当a≥0时，左边=a+1，右边=a+1，左边=右边。

∴a≥0，应选D。

2.分类讨论思想在方程解题中的应用。在解方程ax2+bx+c=0时，要根据一元二次方程的定义分析a是否为0的情况。

例2：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有实数根，求a的取值范围。

分析：在解字母系数的取值范围问题中，题目没有明确二次项系数a2的符号，因此不仅要考虑二次方程的可能，还要考虑一次方程的可能。

解：（1）当a2=0，即a=0，方程为一元一次方程-2x+1=0，有实数根x=0.5；

（2）当a2≠0，即a≠0，方程为一元二次方程，当△≥0时有实根，即

△=[2（a-1）]2-4a2=-4a+4≥0，a≤1。

所以a≤1，且a≠0。

综合（1）、（2），得a≤1。

（3）分类讨论思想在函数中的应用。函数教学中出现分类讨论的题型较多，有关于一次函数，有关于反比例函数的，还有综合性较强的二次函数，它们大多是由一元二次方程的性质演变而来，教者要引导学生分情况进行说明。

例3：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标。

分析：本题条件是不唯一的，问题中没有说明是什么函数，要分两种情况：一次函数或二次函数进行讨论。①当k=1时，此函数是一次函数y=-x+1，与x轴的交点坐标为（1，0）；②当此函数为二次函数时，k≠1，△=（-k）2-4（k-1）=（k-2）2。在二次函数的图象与x轴交点的个数与△的符号有关，因此要分△>0、△=0两种情况分析：△>0，即k≠2时，有两个交点（1，0）、（■，0）；△=0，即k=2时，有一个交点（1，0）。

（4）分类思想在几何操作中的运用。在解答几何问题时，要根据题意分析清楚符合条件图形的各种可能形状、位置，抓住相关对象性质，分类各种符合条件的图形。

例4：已知△ABC的边AB=6，AC=2■，BC边上的高AD=3。（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的一边在已知△ABC边上，另外两个顶点在AC、BC上，求这个正方形的面积。

分析：过△ABC的顶点A向对边作垂线，垂足可以在BC上，也可能在BC的延长线上，要分两种情况进行讨论。（如图）

总之，分类讨论思想作为一种重要的思想方法，对于培养学生思想的缜密性、严谨性具有重要意义，我们数学教师在数学解题中要循序渐进地渗透分类讨论的思想方法，以提高学生的解题能力，培养学生的发散思维能力。

（作者单位：江苏省滨海县八巨初级中学）

数学思想是人们对现实世界的数量关系、空间形式、模式结构的意识反映，是思维活动的结果。它能帮助人们系统化地学习知识、掌握结构，提供最佳解决问题的策略，诸如数形结合思想、化归思想、方程与函数思想、分类讨论思想等等。分类讨论思想最早源于《九章算术》中关于盈亏问题的讨论，它指在部分数学问题中存在着一些不确定的因素，结论不是能够唯一确定的，要根据题目特点和要求，按不同的情况进行分类，将原题转化为若干个小问题逐项讨论，最后综合求解的过程。

一、渗透分类讨论思想的意义

1.有助于养成分类的意识。物以类聚，每个人在日常生活中都积累了一定的分类经验，教师在课堂教学中要将生活中的分类知识迁移到数学教学中，如数的分类、三角形的分类等等，力求做到目标明确、标准统一，要充分挖掘教材，抓住渗透的契机，将分类讨论应用于生活之中。

2.有助于掌握分类的方法。在分类讨论教学中，教师要引导学生根据对象的属性进行分类讨论，不遗漏、不重复地划分子类，并对每一类加以解答，能有效地培养学生思维的缜密性。

3.有助于形成一题多解的能力。分类讨论教学为学生营造了合作、交流、争辩的氛围，学生往往不满足于一种解法，对一些题目提出两种、三种甚至多种解法，能有效培养学生思维的灵活性，从而促进学生创新思维能力的发展。

4.有助于形成良好的认知结构。学生认知结构的发展是通过学生主动同化、顺应，在原有的认知结构上进行拓展、延伸，从而形成新的系统。分类讨论思想揭示知识间的内在联系，能帮助学生完善认知结构，培养思维的灵活性和创造性。

二、当前分类讨论思想渗透存在的主要问题

1.教学思想陈旧。长期以来，受“传道、授业、解惑”的传统影响，部分教师教学思想陈旧，沿袭传统的教学理念，以传授知识作为主要教学目标，他们只注重知识的传授，而忽视思想方法的渗透，他们从不主动考虑解题意图，不能从多角度分析问题，往往是一解了之，缺乏深层次的探索，掩盖了学生的思维困惑。

2.学生被动接受。传统的数学教学脱离学生生活实际，教师机械灌输，大搞题海战术，割裂了知识间的联系，学生缺乏自我感悟和独立探究的机会，感到数学知识索然无味，缺乏探究热情，无法顾及运用什么思想方法，更谈不上知识的创新了。如在“角平分线定理”教学中，一位教师重点强调“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”，而没有联系“外心”进行分类讨论，导致学生在解题时容易出错。

3.应试教育影响。部分教师受中考指挥棒的影响，“以考分论英雄”的应试教育观念根深蒂固，他们不理解素质教育的内涵，依然“穿新鞋走老路”，重知识轻能力、重解题轻思想的现象普遍存在，导致学生抽象思维能力薄弱。

三、分类思想在解题中的应用

1.分类思想在绝对值解题运算中的运用。解有关绝对值的题目时，一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号，但如果不确定绝对值里面数的符号，就必须要分类讨论。

例1：使|a+1|=|a|+1成立的条件是（ ）

A. a为任何实数 B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析：此题中等号左右两边都有绝对值符号，而又未给出实数a的取值范围，因而无法直接去掉绝对值。可根据“零点分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0进行讨论。

解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。

（1）当a<-1时，左边=-（a+1）=-a-1，右边=-a+1，左边≠右边；

（2）当-1≤a<0时，左边=a+1，右边=-a+1，左边≠右边；

（3）当a≥0时，左边=a+1，右边=a+1，左边=右边。

∴a≥0，应选D。

2.分类讨论思想在方程解题中的应用。在解方程ax2+bx+c=0时，要根据一元二次方程的定义分析a是否为0的情况。

例2：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有实数根，求a的取值范围。

分析：在解字母系数的取值范围问题中，题目没有明确二次项系数a2的符号，因此不仅要考虑二次方程的可能，还要考虑一次方程的可能。

解：（1）当a2=0，即a=0，方程为一元一次方程-2x+1=0，有实数根x=0.5；

（2）当a2≠0，即a≠0，方程为一元二次方程，当△≥0时有实根，即

△=[2（a-1）]2-4a2=-4a+4≥0，a≤1。

所以a≤1，且a≠0。

综合（1）、（2），得a≤1。

（3）分类讨论思想在函数中的应用。函数教学中出现分类讨论的题型较多，有关于一次函数，有关于反比例函数的，还有综合性较强的二次函数，它们大多是由一元二次方程的性质演变而来，教者要引导学生分情况进行说明。

例3：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标。

分析：本题条件是不唯一的，问题中没有说明是什么函数，要分两种情况：一次函数或二次函数进行讨论。①当k=1时，此函数是一次函数y=-x+1，与x轴的交点坐标为（1，0）；②当此函数为二次函数时，k≠1，△=（-k）2-4（k-1）=（k-2）2。在二次函数的图象与x轴交点的个数与△的符号有关，因此要分△>0、△=0两种情况分析：△>0，即k≠2时，有两个交点（1，0）、（■，0）；△=0，即k=2时，有一个交点（1，0）。

（4）分类思想在几何操作中的运用。在解答几何问题时，要根据题意分析清楚符合条件图形的各种可能形状、位置，抓住相关对象性质，分类各种符合条件的图形。

例4：已知△ABC的边AB=6，AC=2■，BC边上的高AD=3。（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的一边在已知△ABC边上，另外两个顶点在AC、BC上，求这个正方形的面积。

分析：过△ABC的顶点A向对边作垂线，垂足可以在BC上，也可能在BC的延长线上，要分两种情况进行讨论。（如图）

总之，分类讨论思想作为一种重要的思想方法，对于培养学生思想的缜密性、严谨性具有重要意义，我们数学教师在数学解题中要循序渐进地渗透分类讨论的思想方法，以提高学生的解题能力，培养学生的发散思维能力。

（作者单位：江苏省滨海县八巨初级中学）