圆系方程的一个证明

袁亮

圆的标准方程告诉我们要确定一个圆需要两个条件——圆心和半径，但是经常在确定圆心的时候就非常困难，特别是遇到两个相交圆问题时更是困难.而当两个圆一旦相交其实经过这两个相交圆的圆方程就应该与已知两圆的方程有关，经过推导可以得到如下结论：

设⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么过两圆交点的圆系方程可表示为

结论1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

当系数m≠0时，式子可变形为

实际从两个结论的式子形式可以看出，结论1不仅能够表示包括过两交点的所有圆的方程，而且根据m+n=1可知式子也只有一个系数，而结论2不能表示已知圆B.比较之下结论1的效果更好一些，下面笔者给出结论1的一个证明.

证明：由条件可知既然是过两圆的交点，则两已知圆必相交，因而可通过两圆方程相减的方式得到两圆公共弦所在直线方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后经过此两点的所有圆都必须要具有此条公共弦，即若设⊙C：x2+y2+D3x+E3y+F3=0为圆系中的任何一个圆，那么圆C与圆A所确定的公共弦所在直线也为l，故利用圆C与圆A方程相减可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

则①式和②式应表示同一条直线，则有对应系数成比例，即

若设1-k=m，则结论1得证.

在证明过程中两直线方程系数成比例涉及有可能分母为零的情况，在这种特殊情况下实际是比较好讨论的，在此就不赘述.

有了结论1，我们就可以避开繁琐的计算去确定圆心和半径，只需要建立一个关于未知量的方程即可，而且通过对结论1的证明我们也比较方便给出直线与圆相交情况下的圆系方程的证明，在此略去证明过程.endprint

圆的标准方程告诉我们要确定一个圆需要两个条件——圆心和半径，但是经常在确定圆心的时候就非常困难，特别是遇到两个相交圆问题时更是困难.而当两个圆一旦相交其实经过这两个相交圆的圆方程就应该与已知两圆的方程有关，经过推导可以得到如下结论：

设⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么过两圆交点的圆系方程可表示为

结论1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

当系数m≠0时，式子可变形为

实际从两个结论的式子形式可以看出，结论1不仅能够表示包括过两交点的所有圆的方程，而且根据m+n=1可知式子也只有一个系数，而结论2不能表示已知圆B.比较之下结论1的效果更好一些，下面笔者给出结论1的一个证明.

证明：由条件可知既然是过两圆的交点，则两已知圆必相交，因而可通过两圆方程相减的方式得到两圆公共弦所在直线方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后经过此两点的所有圆都必须要具有此条公共弦，即若设⊙C：x2+y2+D3x+E3y+F3=0为圆系中的任何一个圆，那么圆C与圆A所确定的公共弦所在直线也为l，故利用圆C与圆A方程相减可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

则①式和②式应表示同一条直线，则有对应系数成比例，即

若设1-k=m，则结论1得证.

在证明过程中两直线方程系数成比例涉及有可能分母为零的情况，在这种特殊情况下实际是比较好讨论的，在此就不赘述.

有了结论1，我们就可以避开繁琐的计算去确定圆心和半径，只需要建立一个关于未知量的方程即可，而且通过对结论1的证明我们也比较方便给出直线与圆相交情况下的圆系方程的证明，在此略去证明过程.endprint

圆的标准方程告诉我们要确定一个圆需要两个条件——圆心和半径，但是经常在确定圆心的时候就非常困难，特别是遇到两个相交圆问题时更是困难.而当两个圆一旦相交其实经过这两个相交圆的圆方程就应该与已知两圆的方程有关，经过推导可以得到如下结论：

设⊙A：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，

⊙B：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

那么过两圆交点的圆系方程可表示为

结论1：

m（x2+y2+D1x+E1y+F1）+n（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0且m+n=1，

当系数m≠0时，式子可变形为

实际从两个结论的式子形式可以看出，结论1不仅能够表示包括过两交点的所有圆的方程，而且根据m+n=1可知式子也只有一个系数，而结论2不能表示已知圆B.比较之下结论1的效果更好一些，下面笔者给出结论1的一个证明.

证明：由条件可知既然是过两圆的交点，则两已知圆必相交，因而可通过两圆方程相减的方式得到两圆公共弦所在直线方程

l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0. ①

那么以后经过此两点的所有圆都必须要具有此条公共弦，即若设⊙C：x2+y2+D3x+E3y+F3=0为圆系中的任何一个圆，那么圆C与圆A所确定的公共弦所在直线也为l，故利用圆C与圆A方程相减可得到方程

（D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F1）=0. ②

则①式和②式应表示同一条直线，则有对应系数成比例，即

若设1-k=m，则结论1得证.

在证明过程中两直线方程系数成比例涉及有可能分母为零的情况，在这种特殊情况下实际是比较好讨论的，在此就不赘述.

有了结论1，我们就可以避开繁琐的计算去确定圆心和半径，只需要建立一个关于未知量的方程即可，而且通过对结论1的证明我们也比较方便给出直线与圆相交情况下的圆系方程的证明，在此略去证明过程.endprint