初中数学教学有效佳径——变式教学

邓萍

教育家赞可夫说过：“教学工作最重要的任务是以最高的效率推动学生的一般发展，以最好的教学效果来达到最理想的发展水平.”初中数学教学不仅要教会学生会学数学，更要会用数学.探索并采用有效的教学策略和教学方法，形成“轻负高效”的课堂教学模式，已成为初中数学研究和改革的重要内容.变式教学是促进初中数学课堂教学有效的方法之一.现针对变式教学谈谈自己的一点体会.

一、变式教学的概念

变式教学是指在教学过程中，教师通过不同角度、不同侧面、不同情形、不同背景的变式，使学生有效地加深认识和理解教学对象的本质特征，从而把学生的思维引向新的高度，培养学生多种能力的一种教学方法.在初中数学课堂教学中，恰当、合理的变式能营造一种生动、活泼、宽松、自由的学习氛围，能开阔学生视野，激发学生的思维，优化学生的知识结构，提高学生解决问题的能力.

二、初中数学课堂中变式教学的实施

（一）知识的变式

1.数学概念的变式教学

数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的反映.有学者说：“数学知识中最普遍的形式是概念，所以概念学习是数学学习的核心.”实践表明，学生在解决数学问题时出错或产生困难，原因往往是在概念的理解上产生了障碍.因此，必须十分重视概念学习.运用变式进行概念教学，有利于学生看到一类事物的关键特征，舍弃无关特征，这样获得的概念更精确，更易于迁移.

（1）语言的变式.语言变式是指变换定义表达和陈述方式.初中数学概念一般以词语形式表达，有的给出明确的定义，有的则只给通俗的描述或说明.概念本身的情境因素是影响概念学习的外因，它包括概念的背景和陈述方式.教师可以通过创造性劳动，用语言变式把抽象概念变得通俗易懂，特别是通过列举具有该本质属性的事物或不具有该本质的事物（概念的否定例证）来深化理解概念.

如“平行线”的概念，课本上的定义是：“在同一平面内不相交的两条直线叫平行线.”为了帮助学生理解概念，可以变式为：“在同一平面内没有公共点的两条直线叫平行线.”进而有“同一平面内的两直线（不重合）要么有一个公共点，要么无公共点”或“同一平面内的两直线要么相交，要么平行”.

（2）图形的变式.学生的数学概念网络中，对于概念的表征往往以“标准图形”“原型”“特殊事例”等概念表象取代概念定义.如“垂线”的概念，总习惯于将其水平放置，给人以“平稳”感觉.这些表象对掌握概念的本质属性起到过有益作用.但，对后继学习和运用也有极大的干扰作用，容易由习惯而形成思维定式，在复杂图形中寻找概念图形时易产生负迁移.为了消除本质属性的干扰，在学习数学概念的起始阶段，利用标准图形引入概念，然后随着图形方向、位置或结构的逐步改变而演变，运用非标准图形深化概念.如“同位角”概念，课本的定义是：“两个角分别在两直线的同一方，并且都在被截直线同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.”

2.数学公式、定理的变式教学

数学公式、定理是初中数学的重要教学内容.如果把概念看做数学的根基，为数学提供基础的话，那么公式、定理就是数学的血脉，不断为数学提供营养和能量.数学能力的形式和发展，有赖于掌握定理、公式和法则，去进行推理、论证和演算.运用变式教学可以明确公式、定理的条件、结论、适用范围和注意事项，让学生更深入地理解公式、定理的本质，进而培养学生严密的逻辑推理论证能力和正确演算能力.

（二）题目的变式

习题是概念和定理的自然延伸，是数学思想和数学方法的功能体现，更是数学与现实生活联系的窗口.解题是数学教学中的一个基本形式，也是学生数学素养的重要组成部分，学生一般都比较重视.但是学生对题目往往不加选择，拿来就做，且不善于探索解题思路，不善于总结解题规律.为此，教师要善于利用题目进行变式.

题目变式从题目结构来分，可分为以下三种.

1.变条件.通过对条件的开放、引申、联想和改造，可以得到综合性强、形式新颖的命题，能使学生进入一种全新的境界，加强了发散式思维的训练，提高了思维的广阔性与灵活性，培养探索、创新的能力.

例如，新人教版八年级上册《12.2.1作轴对称图形》中的探究：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道线最短？

2.变结论.在题目中变化结论常常是对题目的深层挖掘，学生在深层挖掘题目的同时巩固知识并提高解决问题的能力.通过对结论的变式，激活、拓宽了学生的思维，有利于培养和提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于提高学生的应变能力、探究能力和创新意识.

例如：如图3，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm.从这张硬纸片剪下矩形EFGH.使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上.AD与HG的交点为M.

结论变式二：若矩形EFGH的长HG是宽HE的2倍的，求这个矩形EFGH的周长.

结论变式三：设矩形EFGH的长HG为ycm，宽HE为xcm，试确定y与x的函数关系式.

结论变式四：如果让你来剪，如何剪矩形EFGH才能使矩形的面积是最大的？

3.变背景.教师在教学过程中，要创设情境，引起或指导学生进行联想，让学生知道数学与生活是紧密联系、不可分割的，很多数学问题在生活中都能找到模型.通过联系实际的变式教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣.

（三）思维的变式

我国学生中不乏解题高手，历年参加国际奥林匹克数学竞赛，都取得了优异成绩.但在创造性地提出新问题、建立新理论方面都落后于国际平均水平.在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和教学目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要作用.

1.变中求“异”.变式教学由一个基本问题出发，设计阶梯形的问题.变式题组的题目之间要有明显的差异，同中求异，引导学生的思维向纵深发展，让学生学起来不觉得乏味也有新鲜感，使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质探究“变”的规律，从而帮助学生融会贯通、触类旁通，让学生在无穷的变化中领略数学的魅力.

2.变中求“活”.根据教学内容和学生的实际情况，变式训练的方式要灵活多样，让各层次的学生主体参与，每个学生在课堂内均学有所得.根据实际需要，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式.这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的学习兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果，从而培养思维的创新性.

3.变中求新.学生的认知结构的发展是在其认知新知识的过程中，伴随着同化和顺应过程.在变式教学中改动概念、性质定理或例题的一个词语和一个句子，题目已面目全非.实施变式训练时让学生将知识由“旧”到“新”，层层推进，多层次、多角度、全方位地认识数学问题.启迪学生发散想象，培养思维的多向性.

4.变中求“广”.一幅好画，境界开阔，令人回味无穷.设计变式，一定要内涵丰富，培养学生思维的跨越性和广阔性.因此，所选的范例一要注意知识的横纵向联系，二要具有延伸性.通过变式训练，使学生运用开放的思维方式解决问题，开拓解题思路，解除教师对学生固定思维的束缚，让学生有一个自由的思维空间.

（四）方法的变式

方法是数学的灵魂.数学方法包括解决问题的思路、过程的表达和结论三部分.利用方法变式可使学生准确把握解题的着手点、转折点和警戒点，培养学生灵活运用数形结合、分类讨论、函数与方程、化归与转化等数学思想以及换元法、配方法、待定系数法等数学方法去分析问题和解决问题的能力.我们通过变式的训练，教会学生用整体的观点.站在更高的平台上，分析与研究知识之间的纵横关系、因果关系、演变关系，以知识为经，方法为纬，编织一个知识网，为进行数学问题演变奠定坚实的知识基础.endprint

教育家赞可夫说过：“教学工作最重要的任务是以最高的效率推动学生的一般发展，以最好的教学效果来达到最理想的发展水平.”初中数学教学不仅要教会学生会学数学，更要会用数学.探索并采用有效的教学策略和教学方法，形成“轻负高效”的课堂教学模式，已成为初中数学研究和改革的重要内容.变式教学是促进初中数学课堂教学有效的方法之一.现针对变式教学谈谈自己的一点体会.

一、变式教学的概念

变式教学是指在教学过程中，教师通过不同角度、不同侧面、不同情形、不同背景的变式，使学生有效地加深认识和理解教学对象的本质特征，从而把学生的思维引向新的高度，培养学生多种能力的一种教学方法.在初中数学课堂教学中，恰当、合理的变式能营造一种生动、活泼、宽松、自由的学习氛围，能开阔学生视野，激发学生的思维，优化学生的知识结构，提高学生解决问题的能力.

二、初中数学课堂中变式教学的实施

（一）知识的变式

1.数学概念的变式教学

数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的反映.有学者说：“数学知识中最普遍的形式是概念，所以概念学习是数学学习的核心.”实践表明，学生在解决数学问题时出错或产生困难，原因往往是在概念的理解上产生了障碍.因此，必须十分重视概念学习.运用变式进行概念教学，有利于学生看到一类事物的关键特征，舍弃无关特征，这样获得的概念更精确，更易于迁移.

（1）语言的变式.语言变式是指变换定义表达和陈述方式.初中数学概念一般以词语形式表达，有的给出明确的定义，有的则只给通俗的描述或说明.概念本身的情境因素是影响概念学习的外因，它包括概念的背景和陈述方式.教师可以通过创造性劳动，用语言变式把抽象概念变得通俗易懂，特别是通过列举具有该本质属性的事物或不具有该本质的事物（概念的否定例证）来深化理解概念.

如“平行线”的概念，课本上的定义是：“在同一平面内不相交的两条直线叫平行线.”为了帮助学生理解概念，可以变式为：“在同一平面内没有公共点的两条直线叫平行线.”进而有“同一平面内的两直线（不重合）要么有一个公共点，要么无公共点”或“同一平面内的两直线要么相交，要么平行”.

（2）图形的变式.学生的数学概念网络中，对于概念的表征往往以“标准图形”“原型”“特殊事例”等概念表象取代概念定义.如“垂线”的概念，总习惯于将其水平放置，给人以“平稳”感觉.这些表象对掌握概念的本质属性起到过有益作用.但，对后继学习和运用也有极大的干扰作用，容易由习惯而形成思维定式，在复杂图形中寻找概念图形时易产生负迁移.为了消除本质属性的干扰，在学习数学概念的起始阶段，利用标准图形引入概念，然后随着图形方向、位置或结构的逐步改变而演变，运用非标准图形深化概念.如“同位角”概念，课本的定义是：“两个角分别在两直线的同一方，并且都在被截直线同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.”

2.数学公式、定理的变式教学

数学公式、定理是初中数学的重要教学内容.如果把概念看做数学的根基，为数学提供基础的话，那么公式、定理就是数学的血脉，不断为数学提供营养和能量.数学能力的形式和发展，有赖于掌握定理、公式和法则，去进行推理、论证和演算.运用变式教学可以明确公式、定理的条件、结论、适用范围和注意事项，让学生更深入地理解公式、定理的本质，进而培养学生严密的逻辑推理论证能力和正确演算能力.

（二）题目的变式

习题是概念和定理的自然延伸，是数学思想和数学方法的功能体现，更是数学与现实生活联系的窗口.解题是数学教学中的一个基本形式，也是学生数学素养的重要组成部分，学生一般都比较重视.但是学生对题目往往不加选择，拿来就做，且不善于探索解题思路，不善于总结解题规律.为此，教师要善于利用题目进行变式.

题目变式从题目结构来分，可分为以下三种.

1.变条件.通过对条件的开放、引申、联想和改造，可以得到综合性强、形式新颖的命题，能使学生进入一种全新的境界，加强了发散式思维的训练，提高了思维的广阔性与灵活性，培养探索、创新的能力.

例如，新人教版八年级上册《12.2.1作轴对称图形》中的探究：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道线最短？

2.变结论.在题目中变化结论常常是对题目的深层挖掘，学生在深层挖掘题目的同时巩固知识并提高解决问题的能力.通过对结论的变式，激活、拓宽了学生的思维，有利于培养和提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于提高学生的应变能力、探究能力和创新意识.

例如：如图3，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm.从这张硬纸片剪下矩形EFGH.使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上.AD与HG的交点为M.

结论变式二：若矩形EFGH的长HG是宽HE的2倍的，求这个矩形EFGH的周长.

结论变式三：设矩形EFGH的长HG为ycm，宽HE为xcm，试确定y与x的函数关系式.

结论变式四：如果让你来剪，如何剪矩形EFGH才能使矩形的面积是最大的？

3.变背景.教师在教学过程中，要创设情境，引起或指导学生进行联想，让学生知道数学与生活是紧密联系、不可分割的，很多数学问题在生活中都能找到模型.通过联系实际的变式教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣.

（三）思维的变式

我国学生中不乏解题高手，历年参加国际奥林匹克数学竞赛，都取得了优异成绩.但在创造性地提出新问题、建立新理论方面都落后于国际平均水平.在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和教学目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要作用.

1.变中求“异”.变式教学由一个基本问题出发，设计阶梯形的问题.变式题组的题目之间要有明显的差异，同中求异，引导学生的思维向纵深发展，让学生学起来不觉得乏味也有新鲜感，使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质探究“变”的规律，从而帮助学生融会贯通、触类旁通，让学生在无穷的变化中领略数学的魅力.

2.变中求“活”.根据教学内容和学生的实际情况，变式训练的方式要灵活多样，让各层次的学生主体参与，每个学生在课堂内均学有所得.根据实际需要，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式.这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的学习兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果，从而培养思维的创新性.

3.变中求新.学生的认知结构的发展是在其认知新知识的过程中，伴随着同化和顺应过程.在变式教学中改动概念、性质定理或例题的一个词语和一个句子，题目已面目全非.实施变式训练时让学生将知识由“旧”到“新”，层层推进，多层次、多角度、全方位地认识数学问题.启迪学生发散想象，培养思维的多向性.

4.变中求“广”.一幅好画，境界开阔，令人回味无穷.设计变式，一定要内涵丰富，培养学生思维的跨越性和广阔性.因此，所选的范例一要注意知识的横纵向联系，二要具有延伸性.通过变式训练，使学生运用开放的思维方式解决问题，开拓解题思路，解除教师对学生固定思维的束缚，让学生有一个自由的思维空间.

（四）方法的变式

方法是数学的灵魂.数学方法包括解决问题的思路、过程的表达和结论三部分.利用方法变式可使学生准确把握解题的着手点、转折点和警戒点，培养学生灵活运用数形结合、分类讨论、函数与方程、化归与转化等数学思想以及换元法、配方法、待定系数法等数学方法去分析问题和解决问题的能力.我们通过变式的训练，教会学生用整体的观点.站在更高的平台上，分析与研究知识之间的纵横关系、因果关系、演变关系，以知识为经，方法为纬，编织一个知识网，为进行数学问题演变奠定坚实的知识基础.endprint

教育家赞可夫说过：“教学工作最重要的任务是以最高的效率推动学生的一般发展，以最好的教学效果来达到最理想的发展水平.”初中数学教学不仅要教会学生会学数学，更要会用数学.探索并采用有效的教学策略和教学方法，形成“轻负高效”的课堂教学模式，已成为初中数学研究和改革的重要内容.变式教学是促进初中数学课堂教学有效的方法之一.现针对变式教学谈谈自己的一点体会.

一、变式教学的概念

变式教学是指在教学过程中，教师通过不同角度、不同侧面、不同情形、不同背景的变式，使学生有效地加深认识和理解教学对象的本质特征，从而把学生的思维引向新的高度，培养学生多种能力的一种教学方法.在初中数学课堂教学中，恰当、合理的变式能营造一种生动、活泼、宽松、自由的学习氛围，能开阔学生视野，激发学生的思维，优化学生的知识结构，提高学生解决问题的能力.

二、初中数学课堂中变式教学的实施

（一）知识的变式

1.数学概念的变式教学

数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的反映.有学者说：“数学知识中最普遍的形式是概念，所以概念学习是数学学习的核心.”实践表明，学生在解决数学问题时出错或产生困难，原因往往是在概念的理解上产生了障碍.因此，必须十分重视概念学习.运用变式进行概念教学，有利于学生看到一类事物的关键特征，舍弃无关特征，这样获得的概念更精确，更易于迁移.

（1）语言的变式.语言变式是指变换定义表达和陈述方式.初中数学概念一般以词语形式表达，有的给出明确的定义，有的则只给通俗的描述或说明.概念本身的情境因素是影响概念学习的外因，它包括概念的背景和陈述方式.教师可以通过创造性劳动，用语言变式把抽象概念变得通俗易懂，特别是通过列举具有该本质属性的事物或不具有该本质的事物（概念的否定例证）来深化理解概念.

如“平行线”的概念，课本上的定义是：“在同一平面内不相交的两条直线叫平行线.”为了帮助学生理解概念，可以变式为：“在同一平面内没有公共点的两条直线叫平行线.”进而有“同一平面内的两直线（不重合）要么有一个公共点，要么无公共点”或“同一平面内的两直线要么相交，要么平行”.

（2）图形的变式.学生的数学概念网络中，对于概念的表征往往以“标准图形”“原型”“特殊事例”等概念表象取代概念定义.如“垂线”的概念，总习惯于将其水平放置，给人以“平稳”感觉.这些表象对掌握概念的本质属性起到过有益作用.但，对后继学习和运用也有极大的干扰作用，容易由习惯而形成思维定式，在复杂图形中寻找概念图形时易产生负迁移.为了消除本质属性的干扰，在学习数学概念的起始阶段，利用标准图形引入概念，然后随着图形方向、位置或结构的逐步改变而演变，运用非标准图形深化概念.如“同位角”概念，课本的定义是：“两个角分别在两直线的同一方，并且都在被截直线同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.”

2.数学公式、定理的变式教学

数学公式、定理是初中数学的重要教学内容.如果把概念看做数学的根基，为数学提供基础的话，那么公式、定理就是数学的血脉，不断为数学提供营养和能量.数学能力的形式和发展，有赖于掌握定理、公式和法则，去进行推理、论证和演算.运用变式教学可以明确公式、定理的条件、结论、适用范围和注意事项，让学生更深入地理解公式、定理的本质，进而培养学生严密的逻辑推理论证能力和正确演算能力.

（二）题目的变式

习题是概念和定理的自然延伸，是数学思想和数学方法的功能体现，更是数学与现实生活联系的窗口.解题是数学教学中的一个基本形式，也是学生数学素养的重要组成部分，学生一般都比较重视.但是学生对题目往往不加选择，拿来就做，且不善于探索解题思路，不善于总结解题规律.为此，教师要善于利用题目进行变式.

题目变式从题目结构来分，可分为以下三种.

1.变条件.通过对条件的开放、引申、联想和改造，可以得到综合性强、形式新颖的命题，能使学生进入一种全新的境界，加强了发散式思维的训练，提高了思维的广阔性与灵活性，培养探索、创新的能力.

例如，新人教版八年级上册《12.2.1作轴对称图形》中的探究：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道线最短？

2.变结论.在题目中变化结论常常是对题目的深层挖掘，学生在深层挖掘题目的同时巩固知识并提高解决问题的能力.通过对结论的变式，激活、拓宽了学生的思维，有利于培养和提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于提高学生的应变能力、探究能力和创新意识.

例如：如图3，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm.从这张硬纸片剪下矩形EFGH.使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上.AD与HG的交点为M.

结论变式二：若矩形EFGH的长HG是宽HE的2倍的，求这个矩形EFGH的周长.

结论变式三：设矩形EFGH的长HG为ycm，宽HE为xcm，试确定y与x的函数关系式.

结论变式四：如果让你来剪，如何剪矩形EFGH才能使矩形的面积是最大的？

3.变背景.教师在教学过程中，要创设情境，引起或指导学生进行联想，让学生知道数学与生活是紧密联系、不可分割的，很多数学问题在生活中都能找到模型.通过联系实际的变式教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣.

（三）思维的变式

我国学生中不乏解题高手，历年参加国际奥林匹克数学竞赛，都取得了优异成绩.但在创造性地提出新问题、建立新理论方面都落后于国际平均水平.在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和教学目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要作用.

1.变中求“异”.变式教学由一个基本问题出发，设计阶梯形的问题.变式题组的题目之间要有明显的差异，同中求异，引导学生的思维向纵深发展，让学生学起来不觉得乏味也有新鲜感，使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质探究“变”的规律，从而帮助学生融会贯通、触类旁通，让学生在无穷的变化中领略数学的魅力.

2.变中求“活”.根据教学内容和学生的实际情况，变式训练的方式要灵活多样，让各层次的学生主体参与，每个学生在课堂内均学有所得.根据实际需要，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式.这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的学习兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果，从而培养思维的创新性.

3.变中求新.学生的认知结构的发展是在其认知新知识的过程中，伴随着同化和顺应过程.在变式教学中改动概念、性质定理或例题的一个词语和一个句子，题目已面目全非.实施变式训练时让学生将知识由“旧”到“新”，层层推进，多层次、多角度、全方位地认识数学问题.启迪学生发散想象，培养思维的多向性.

4.变中求“广”.一幅好画，境界开阔，令人回味无穷.设计变式，一定要内涵丰富，培养学生思维的跨越性和广阔性.因此，所选的范例一要注意知识的横纵向联系，二要具有延伸性.通过变式训练，使学生运用开放的思维方式解决问题，开拓解题思路，解除教师对学生固定思维的束缚，让学生有一个自由的思维空间.

（四）方法的变式

方法是数学的灵魂.数学方法包括解决问题的思路、过程的表达和结论三部分.利用方法变式可使学生准确把握解题的着手点、转折点和警戒点，培养学生灵活运用数形结合、分类讨论、函数与方程、化归与转化等数学思想以及换元法、配方法、待定系数法等数学方法去分析问题和解决问题的能力.我们通过变式的训练，教会学生用整体的观点.站在更高的平台上，分析与研究知识之间的纵横关系、因果关系、演变关系，以知识为经，方法为纬，编织一个知识网，为进行数学问题演变奠定坚实的知识基础.endprint