一类一阶拟线性双曲型方程组的精确边界能控性

徐 莹,于立新

(烟台大学数学与信息科学学院, 山东 烟台 264005)

1 前言和主要结果

考虑如下一阶拟线性双曲型方程组

(1)

其中:(u,v,w)T是未知向量函数,λi和fi(i=1,2,3)是适当光滑函数, 且满足

λ1(0,0,0)<0,λ2(0,0,0)<0,λ3(0,0,0)>0

(2)

和

fi(0,0,0)=0 (i=1,2,3).

(3)

给定如下边界条件

x=0:w=h3(t),

(4)

(5)

对任何给定的初始条件

t=0: (u,v,w)=(u0(x),v0(x),w0(x)), 0≤x≤L

(6)

和终端条件

t=T: (u,v,w)=(u1(x),v1(x),w1(x)), 0≤x≤L,

(7)

可以利用文献[1-2] 中的结果, 通过边界上的3个控制hi(t) (i=1,2,3)实现双侧精确边界能控性. 如果u,v和w在方程组(1)中具有适当的耦合关系, 就可进一步实现单侧精确边界能控性. 这里, 适当的耦合关系意味着方程组(1)中的第三个方程的右端项f3(u,v,w)实质上依赖于v:

或者依赖于u:

(8)

定理1(x=L处的单侧能控性) 假设λi,fi∈C1(i=1,2),λ3,f3∈C2, 且式(2),(3)成立. 进一步假设式(8)成立,且有

(9)

对任何给定的初始状态(u0,v0,w0)和终端状态(u1,v1,w1)均为C1[0,L]×C1[0,L]×C2[0,L]向量函数, 其模充分小, 对任何边界函数h3∈C2[0,T], 其C2模充分小, 使得在点 (t,x)=(0,0)和 (T,0)处的C1相容性条件分别成立, 则存在x=L处的边界控制(h1,h2)∈C1[0,T]×C1[0,T], 其模充分小, 使得混合初边值问题(1),(6)和(4),(5)在区域R(T)={(t,x)|0≤t≤T, 0≤x≤L}上存在唯一的半整体C1×C1×C2解(u,v,w)=(u(t,x),v(t,x),w(t,x)), 其模充分小, 且精确满足终端条件(7).

类似地, 当方程组(1)的第一个方程的右端项f1(u,v,w)实质上依赖于w:

(10)

或者依赖于w:

(11)

时, 我们可以实现具有少量控制的双侧精确边界能控性.

定理2 (具少量控制的双侧能控性) 假设λi,fi∈C1(i=2,3),λ1,f1∈C2, 且式(2),(3)成立. 进一步假设式(10)成立, 且

λ1≠λ2.

(12)

最后假设T>0 由式(9)定义. 对任何初始状态(u0,v0,w0)和终端状态(u1,v1,w1)均为C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]向量函数, 其模充分小, 对任何边界函数h1∈C2[0,T],其模充分小, 使得在点(t,x)=(0,L) 和 (T,L)处分别满足C1相容性条件,则存在x=L处的边界控制h2∈C1[0,T]和x=0 处的边界控制h3∈C1[0,T],其模充分小,使得混合初边值问题(1),(6)和(4),(5)在区域R(T)上存在唯一的半整体C2×C1×C1解(u,v,w)=(u(t,x),v(t,x),w(t,x)),其模充分小,且精确满足终端条件(7).

2 辅助方程组的研究

为了证明方程组(1)的精确边界能控性,我们首先考虑如下二阶拟线性双曲型方程组

(13)

其中:(u,s)T是(t,x)的向量函数;λ=λ(u,ux,ut,s),μ=μ(u,ux,ut,s),ν=ν(u,ux,ut,s),c=c(u,ux,ut,s)和fi(i=1,2)均为光滑函数,且成立

λ(0,0,0,0)<0,ν(0,0,0,0)<0,μ(0,0,0,0)>0

(14)

和

fi(0,0,0,0)=0 (i=1,2).

(15)

给定初始条件

t=0:u=φ0(x),ut=φ0(x),s=ψ0(x), 0≤x≤L,

(16)

其中:(φ0,φ0,ψ0)是C2×C1×C1向量函数.

在x=0处给定如下边界条件

x=0:G1(u,ux,ut,s)=H1(t),

(17)

其中:G1和H1为C1函数.更进一步,不失一般性,我们假设

G1(0,0,0,0)=0,

(18)

且有

(19)

类似地,在x=L处给定如下边界条件

(20)

其中:Gi和Hi(i=2,3)为C1函数.更进一步,不失一般性,我们假设

Gi(0,0,0,0)=0 (i=2,3)

(21)

和

(22)

为了得到混合初边值问题(13),(16),(17)和(20)的精确能控性,用常规方法我们很容易得到如下半整体解的存在唯一性定理.

定理3 假设λ,μ,ν,c,fi(i=1,2),Gi和Hi(i=1,2,3)为C1函数,(φ0,φ0,ψ0)是C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]向量函数.进一步假设式(14),(15),(18),(19)和(21),(22)成立.最后假设在点(t,x)=(0,0)和(0,L)处的C2相容性条件分别成立.那么,对任何事先给定的可能相当大的T>0,范数‖(φ0,φ0,ψ0)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]和‖(H1,H2,H3)‖C1[0,T]×C1[0,T]×C1[0,T]适当小,前向混合初边值问题(13),(16),(17)和(20)在区域R(T)上存在唯一的半整体C2×C1解(u,s)=(u(t,x),s(t,x)),其模充分小.

类似地,可以得到方程组(13)后向混合初边值问题的半整体解的存在唯一性.

同时,利用[3]中的方法很容易得到如下单侧精确能控性和具少量控制的双侧精确能控性结果.

定理4(x=L处的单侧能控性) 假设λ,μ,ν,c,fi(i=1,2)和Gi(i=1,2,3)为C1函数.进一步假设式(14),(15),(18),(19)和(21),(22)成立.最后假设

(23)

令

(24)

对任何给定的初始状态(φ0,φ0,ψ0)和终端状态(φ1,φ1,ψ1)均为C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]向量函数,其模充分小,对任何给定的边界函数H1∈C1[0,T],其C1充分小,使得在点(t,x)=(0,0)和(T,0)处分别满足C2相容性条件,则存在x=L处的控制函数Hi∈C1[0,T](i=2,3),其C1模小,使得混合初边值问题(13),(16),(17)和(20)在R(T)存在唯一的半整体C2×C1解(u,s)=(u(t,x),s(t,x)),其C2×C1模小,其精确满足终端条件

t=T:u=φ1(x),ut=φ1(x),s=ψ1(x), 0≤x≤L.

(25)

定理5(具少量控制的双侧能控性) 假设λ,μ,ν,c,fi(i=1,2)和Gi(i=1,2,3)为C1函数.进一步假设式(14)，(15)，(18),(19)和(21),(22)成立.最后假设

令T>0由式(24)定义.对任何给定的初始状态(φ0,φ0,ψ0)和终端状态(φ1,φ1,ψ1)均为C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]向量函数,其模小,对任何给定的边界函数H2∈C1[0,T],其C1模小,使得在点(t,x)=(0,0)和(T,0)处分别满足C2相容性条件,则存在x=0处的边界控制H1∈C1[0,T]和x=L处的边界控制H3∈C1[0,T],其模小,使得混合初边值问题(13)，(16)，(17)和(20)在R(T)存在唯一的C2×C1解(u,s)=(u(t,x),s(t,x)),其C2×C1模小,其精确满足终端条件(25).

3 主要定理的证明

定理1的证明由式(8)并注意到式(3),方程组(1)的第三个方程在(u,w,wx,wt,v)=(0,0,0,0,0)的某个邻域内可被等价改写为

u=U(w,wx,wt,v),

(26)

其中U∈C2且有

U(0,0,0,0)=0.

把式(26)代入方程组(1)的第一个方程可以得到

(27)

其中：

由(6)和方程组(1)的第三个方程,可以得到(w,v)的初始条件:

(28)

显然,(φ0,φ0,ψ0)∈C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]且‖(φ0,φ0,ψ0)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]足够小.

类似地,由于式(7),关于(w,v)的终端条件为

(29)

显然,(φ1,φ1,ψ1)∈C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]且‖(φ1,φ1,ψ1)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]足够小.

进一步,由(4),(5),关于(w,v)的边界条件为

x=0:w=h3(t),

(30)

(31)

显然,在点(t,x)=(0,0)和(0,T)的C2相容性条件成立.

因此,原来一阶拟线性双曲方程组的混合初边值问题(1)和(4)～(7)的精确能控性问题被化成二阶拟线性双曲方程组的混合初边值问题(26)和(27)～(30)的精确边界能控性问题.

令

λ=λ1,ν=λ2,μ=λ3,u=w,s=v

和

易证式(19),(22)和(23)都成立.从而定理4中的假设条件都满足.因此,在x=L处存在向量函数(h1,h2)∈C1[0,T]×C1[0,T],其‖(h1,h2)‖C1[0,T]×C1[0,T]模小,使得混合初边值问题(27),(28)和(30),(31)在区域R(T)上存在唯一的半整体C2×C1解(w,v)=(w(t,x),v(t,x)),其C2×C1模小,且精确满足终端条件(29).

令

u=u(t,x)=U(w(t,x),wx(t,x),wt(t,x),v(t,x)).

易证(u,v,w)=(u(t,x),v(t,x),w(t,x))是混合初边值问题(1),(6)和(4),(5)在区域R(T)上的半整体C1×C1×C2解,且满足终端条件(7).

定理2的证明由式(10)并注意到式(3),方程组(1)的第一个方程在(u,w,wx,wt,v)=(0,0,0,0,0)的某个邻域内可被等价改写为

w=W(u,ux,ut,v)

(32)

其中:W∈C2且

W(0,0,0,0)=0.

将(32)代入(1)的第三个方程,有

(33)

其中:

由(6)和方程组(1)的第一个方程,可以得到(u,v)的初始条件:

(34)

显然,(φ0,φ0,ψ0)∈C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]且‖(φ0,φ0,ψ0)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]足够小.

类似地,由(7),关于(u,v)的终端条件为

(35)

显然,(φ1,φ1,ψ1)∈C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]且‖(φ1,φ1,ψ1)‖C2[0,L]×C1[0,L]×C1[0,L]足够小.

进一步,由(4),(5),关于(u,v)的边界条件为

从而,混合初边值问题(1)和(4)～(7)的精确边界能控性问题被转化成混合初边值问题(33)和(34)～(37)的精确边界能控性问题.

令

λ=λ1,ν=λ2,μ=λ3,s=v,

和

易证式(19),(22)和(23)成立.在方程组(13)中,当λ-ν被μ-ν替代时,定理5中的所有假设条件都满足.从而存在x=L处的控制函数h2∈C1[0,T]和x=0处的控制函数h3∈C1[0,T],使得混合初边值问题(33)和(34)～(36)在R(T)上存在唯一的半整体C2×C1解(u,v)=(u(t,x),v(t,x)),其模充分小,且精确满足(35).

令

w=w(t,x)=W(u(t,x),ux(t,x),ut(t,x),v(t,x)).

易证(u,v,w)=(u(t,x),v(t,x),w(t,x))是混合初边值问题(1)和(6),(5)在R(T)上的半整体C2×C1×C1解,且精确满足终端条件(7).

参考文献:

[1]Li Tatsien. Controllability and Observability for Quasilinear Hyperbolic System [M]. Beijing: American Institute of Mathematical Sciences and Higher Education Press, 2010.

[2]Li Tatsien, Rao Bopeng. Exact boundary controllability for quasilinear hyperbolic systems [J]. Control Optim, 2003, 41: 1748-1755.

[3]Li Tatsien, Rao Bopeng, Wang Zhiqiang. A note on the one-side boundary controllbility for quasilinear hyperbolic systems [J]. Commun Pure Appl Anal, 2009, 8: 405-418.

[4]Yu Lixin. Exact boundary controllability for a kind of second order quasilinear hyperbolic systems and its applications [J]. Math Meth Appl Sci, 2010, 33(3): 263-272.

[5]Yu Lixin. Exact boundary controllability for second order quasilinear hyperbolic syetems [J]. Chinese J Eng Math, 2004, 22:199-211.

[6]Yu Lixin. Semi-globalC1solution to the mixed initial-boundary value problem for a general class of quasilinear hyperbolic systems (in Chinese)[J]. Chin Ann Math, 2004, 25A: 549-560.