例谈初中数学课堂追问有效性的提升策略

徐江

摘 要： 课堂追问是数学课堂教学中常用的教学手段.有效的课堂追问既能促进学生对问题的深入思考，催生探究的意识，又有助于教学目标的实现，使课堂教学效果最优化，从而整体提高课堂教学效率.如何提高初中数学课堂教学的有效性？本文从把握追问的时机、设计有效的追问练习两大维度进行了策略实践，并对实践的效果进行了进一步的分析.

关键词： 数学课堂 有效追问 教学策略

一、研究问题的缘起

（一）教育理论的明确要求

2011年版《新课程标准》指出，数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上.教师应调动学生的学习积极性，向学生提供充分从事教学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解并掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.提问是课堂教学经常采用的一种教学手段，其目的是引导学生独立思考，创造性地完成学习任务.但是，学生的回答，往往缺乏多角度、深层次的思考，有时由于多方面的原因，思维还会处于停滞状态.这时就需教师善于运用“问”的艺术，尤其是运用“追问”激活学生的思维，启发、引导他们更有深度、更有广度地思考，不断促进思维的创新.

（二）数学课堂追问低效现象

1.“追问”的目的性不明确.

听到公开课上很多追问流于形式，往往不同的情景却问相同的问题：“为什么呢？”“还有吗？”无目的的追问和脱离教学内容的追问，实际上是浪费学习时间，易引起学生概念混淆.

2.没有确定好“追问”的对象.

有些课堂中即时生成或对学生的思维要求较高的追问往往只有优等生能够说出答案，教师也没能及时把问题涉及面广泛化，以引起不同层次学生的思考，就匆匆以教师自己解释的方式带过或干脆没了下文.

3.没有把握好“追问”的时机.

很多教师设计的问题很好，只是没有问在最适合的时机，当然也没能够把问题的有效性最大限度地发挥出来.

4.“追问”过于“宽泛”，达不到预期效果.

在课堂教学过程中，教师往往下大力气设计了“问”，却因为问题的梯度太大，没有问到点子上，把本身已经有层次的问题，问得学生一头雾水.

二、数学课堂教学中追问有效性的提升策略

（一）概念阐释

所谓追问，顾名思义就是追根究底地问.它是针对某一内容或某一问题，为了使学生弄懂弄通，在已提出问题学生也有了一定的理解之后又再次补充和深化、穷追不舍地一问再问，直到学生能够理解透彻甚至出新出彩地问.因此，提高课堂追问的有效性是实施课堂有效教学、实现教学目标的重要手段.

（二）追问有效性的提升策略

1.把握恰当的追问时机——机不可失.

（1）在错误时追问——拨乱反正

“学生的错误都是有价值的”.的确，错误是学生最朴实的思想、最真实的经验，往往是一种鲜活的教学资源，教师应该善于挖掘和发现错误背后隐藏的教育价值，引导学生从错中求知，从错中探究.

【例1】九年级下“直线与圆的位置关系”的教学片段：

师：已知A为⊙O上一点，B为⊙O外一点，顺次连接点A、B、O，得△ABO，且sinB=■，能否判定直线AB和⊙O相切？试说明理由.

（出示了题目后，许多学生大声回答“相切”，这时老师先找一位学生说明理由。）

生1：因为sinB=■，所以△ABO是直角三角形，即OA⊥AB.所以AB是⊙O的切线.

师（追问）：为什么sinB=■，△ABO就是直角三角形呢？

生1：（理直气壮地）因为sinB=■，所以∠B=30°，所以∠O=60°，所以∠OAB=90°，并且可以画出相对应的图形（如图1）.

图1

师（追问）：∠B=30°，为什么就能推出∠O=60°呢？

生1：（有些不耐烦）因为是在直角三角形中，所以∠B=30°得出∠O=60°.

师（追问）：哪里说明是在直角三角形中了？若已给出△ABO是直角三角形了，还需要根据∠B=30°，∠O=60°证明∠OAB=90°吗？

生1：这很简单，因为sinB=■，锐角三角函数值是只能在直角三角形中求出来的，所以△ABO是直角三角形.

（许多学生已经明白了错误所在，纷纷开始议论了.这时，教师找其中一名学生回答.）

师：你有其他想法吗？

生2：还不知道是不是直角三角形，就默认是直角三角形.

师（追问）：对呀！那么sinB=■能说明什么呢？

生2：只能说明∠B=30°，其他的角度还不能确定.

对于学生做对一个题目不是难事，难的是教师发现错误后不断追问，从而挖掘到事物的本质的过程.追问不是一般的对话，对话是平铺直叙地交流，而追问是对事物的深刻挖掘，是逼近事物本质的探究，是促进学生思考的催化剂.在辨误教学中，只是让学生判断对或错是不够的，要通过教师的有效追问，让学生明白对或错的成因，找出问题的症结，从而有利于从本质上理解数学知识，解决数学问题.

（2）在歧义处追问——去伪存真

当代科学家、哲学家波普尔说：“歧义中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素.”歧义是正确的先导，有时歧义比正确更具有教育价值.教学中，我们可将“拒绝”隐藏在巧妙的追问中，通过追问的语气、追问的角度引导学生对偏颇的解读，让学生自己认识并纠正错误，即“自识庐山真面目”.

【例2】教学“平方根”这一内容，学生初步理解了“如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根”这一概念，教师安排求81、0.0625的平方根后又出示了一个判断题：（1）9的平方根是3，（2）3是9的平方根.学生的判断各不相同.endprint

师：你能对你的观点加以说明吗？

生：刚刚我们得到81的平方根是9与-9；0.0625的平方根是0.25与-0.25，所以9的平方根是3与-3，所以1题是错的.

生：他举的例子太特殊了，不能把所有的数都包括在内.

师追问：那你想怎么说？

生：我们可以这样说“一个正数有两个平方根，它们是互为相反数的关系”.

师：那对于第二个问题呢？

生：根据生1的方法，9与-9是81的平方根；0.25与-0.25是0.0625的平方根；3与-3是9的平方根.所以第二题是错的.

生：我不这样认为，因为3的平方等于9，所以3就是9的平方根.

师：为什么此时可以不说那个负值呢？

生：从平方根的概念上我们就可以得到“一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根”即：x■=a，x就是a的平方根，x可以是一个正的数也可以是一个负的数.

师再次追问：你能就此题再举一个例子吗？

生：-4是16的平方根.

教师以自身特有的敏锐和机智在捕捉到学生学习过程中的“差错”（歧义）后，善于发现这“差错”（歧义）背后的教育价值.适时追问，暴露学生的思维过程，利用学生的认知冲突，让学生通过辩论，自己去探索产生错误的原因，引领他们修正错误，去伪存真，提升认识，从而得出正确结论.

（3）在疑难处追问——柳暗花明

由于受知识经验的负迁移的影响，学生的思维有时会遭遇障碍或产生矛盾，导致思维的链条断裂.而有矛盾处，往往是有疑处，也是难点处，破解难点等于提高学习质量，这时需要教师的引领.教师应针对学生的思维矛盾冲突及时追问，启迪学生心智，推波助澜，鼓励创新，搭建起思维跨越的平台，以弥补断裂处，从而开拓解题思路.

【例3】在学完“切线长定理”，共同解决了课本例题后，教师出示练习：

Rt△ABC中，∠C=90°，BC，AC，AB的长分别是a，b，c，求△ABC的内切圆半径r.

结合范例，学生很容易想到解题思路：如图2，在设Rt△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，连接OD、OE、OF，则OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB.可证明四边形0ECD为正方形，内切圆半径r=CD=CE，从而得到r=■.

图2

师：还有其他答案吗？

有位学生站起来激动地说：“我还有一种不同的答案.”

师（欣喜地）：请说说你的思路.

生：如图3，连接OD、OE、OF，已知⊙O的半径为r，由S■+S■+S■=S■得■ar+■br+■cr=■ab，整理得r=■.

图3

顿时教室里一片沸腾，同一题目，怎么会有不同答案呢？有的学生列举了一些特殊的值来验证，如3、4、5，5、12、13等，计算结果一致，但说不出所以然来.

究竟为什么呢？学生都把渴求的目光投向了老师.教师故弄玄虚：“同学们，这两个结果真的不一样吗？，能不能相互转化？”

学生似乎有所醒悟，可还是不知如何下手.

师：这个三角形的边有何特定关系？

生（大部分学生）：满足勾股定理，噢，知道了！

以下是学生的两种代表性思路：

思路1：把c=■代入r=■并经过分母有理化得

r=■=■=■.

思路2：由a■+b■=c■变形得（a+b）■-2ab=c■即ab=■，将其代入r=■得r=■=■=■.

师：可见，两个结果都是正确的，它们仅是外在形态上的差异，其本质是一致的，是能“归一”的.

再次追问：同学们，既然两个结果仅是外在形态上的差异，你能从这两个式子相等发现什么？

学生面面相觑，然后似有所悟，动手整理，不一会学生欢呼雀跃：证明出勾股定理.以下是他们的共同成果.

由r=■和r=■得■=■，整理得（a+b-c）（a+b+c）=2ab，即（a+b）■-c■=2ab，化简得a■+2ab+b■-c■=2ab，即a■+b■=c■.

好课是问出来的，课堂追问真的能追出一片精彩，三次追问，激起学生的活性因子，催化出学生的求解思路.教师有意识的追问，不仅促使学生积极主动思考，还不经意间培养学生的创新意识和探究能力.

（4）在意外时追问——推波助澜

苏霍姆林斯基曾说：“教学的技巧并不在于预见课的所有细节，在于根据当时的具体判断，巧妙地在学生的不知不觉中作出相应的变动.”高超地捕捉学生思维闪光点的能力是教师教学水平的集中体现.其实这些意外事件是学生独立思考后瞬间的创造，是张扬个性的最佳途径.因此，面对学生的“意外”，我们应耐心倾听，睿智追问，开启学生智慧.

【例4】在《数学》七年级上“一元一次方程的应用”时的教学片段：

师：小强和小明每天坚持跑步，小强每秒跑6米，小明每秒跑4米，如果他们站在200米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？

生1：设x秒后两人相遇，则所列方程为（6+4）x=200或6x+4x=200.

生2：老师，可不可以用方程6×2x-2x=200来解？

师：（很意外，停顿了片刻追问）你是怎么想的？

生2：假如小明也是每秒跑6米，那么两人x秒内所跑的路程为6×2x米，实际上小明每秒比小强少跑2米，因此再减去2x米就正好是两人在x秒内所跑的路程和200米.

师：真是与众不同的想法，还有类似创意的思考吗？

生3：也可以列为4×2x+2x=200.

这是一个精彩、有价值而又令人回味的教学片段.学生提出的问题很新颖且富有价值，完全在教师的意料之外.教师及时抓住意外进行追问，因势利导，顺水推舟，引导学生深入研究和思考，让课堂在看似不和谐的表象中生成精彩.endprint

2.设计有效的追问练习——对症下药.

（1）设置“陷阱”练习——步步为营

所谓初中数学“陷阱题”，是指学生在数学解题时容易“上当受骗”的题目.“陷阱题”与常规题不同，它具有较大的迷惑性和较好的隐蔽性.通过对这类题目的训练和考查，很容易发现学生数学思维上存在的缺陷，教师此时再结合有效追问，不仅可以及时纠正学生当前的错误，而且可以矫正学生知识掌握不准确、考虑问题不全面等不良思维习惯.

【例5】已知：关于x的一元二次方程kx■+■x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

（先让学生独立计算一会，然后再请学生回答）

生1：由于方程有两个不相等的实数根，所以△=（■）■-4k≥0，解得k≤2.

师追：不错，不知还有没有别的什么条件要满足的呢？

生2：哦，因为题目说是关于x的一元二次方程，所以说二次项系数k≠0，即答案是k≤2且k≠0.

师追：很好，还有要补充的吗？

生3：（兴奋）还必须使■x中的被开方数2k+4x≥0，这样才有意义，所以结果应该是-2≤k≤2，且k≠0.

师追：（鼓掌）非常好.还有要进一步补充的吗？

众生：没有啦！

师追：谁来总结一下这个题的解题思路？

生4：（举手回答）首先，因为关于x的一元二次方程kx■+■x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=（■）■-4k≥0，得k≤2..其次题中还有两个隐含条件：其一，原方程是一元二次方程，二次项系数必须不为0，所以k≠0；其二，方程中还出现了二次根式，其被开方数必须大于或等于0，所以2k+4≥0，解得k≥-2，最后综合得到k的取值范围是-2≤k≤2，且k≠0；

师：非常精彩的回答，以后这类隐含的条件陷阱可千万别再掉进去哦.

教师针对学生某些不良习惯（粗心、片面、混乱等），设置一些针对性“思维型陷阱”，并让学生经历：陷入“陷阱”——冲出“陷阱”——再陷入“陷阱”——再从新“陷阱”中冲出来——这一过程，使学生的认识过程经历了螺旋式上升过程，完善了认知结构，掌握了摆脱“陷阱”的方法，深化了认知过程.并引导学生分析陷入“陷阱”的原因，使学生“吃一堑”、“长一智”，从中训练、培养学生严谨、有序、灵活变通的全面思维素质.为以后的数学学习奠定良好的思维基础.

（2）设置一题多解练习——小题“大”做

数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯.在实现数学教学目的的过程中，当学生获得一定成果时教师适当地追问和拓展引申，可以激发学生发现和创造的强烈欲望，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响.

【例6】在复习“数与式”专题时的一个教学片段：

师：已知a、b满足ab=1，那么■+■=？摇 ？摇？摇？摇请同学们独立思考2分钟后交流.

生1：答案是1.因为a、b满足ab=1，所以可以用特值法.取a=1，b=1代入原式，得■+■=1.

师：很好，“小题小做”，特殊值法是解决这道填空题很好的选择.但是，还有其他方法吗？

生2：由ab=1得a=■，代入所求式子得：■+■=■+■=■+■=1.

生3（兴奋地）：把b=■代入所求式子得到的结果应该也是1.因为在■+■中a、b调换位置后得到的式子与原来的式子是一样的.

师：对，很好，这两位同学观察得很仔细.本题所求式子中有两个未知数a和b，利用已知条件，通过“代入”，把两个未知数变成了一个未知数，最后还得到了一个常数.他们运用的是我们数学上常用的什么思想？

众生：消元.

这时学生的“消元”意识被激活了，接着又出现了另外一种思路：

生4：将1=ab代入所求式子得：■+■=■+■=■+■=1.

此时，教室里响起了热烈的掌声.

师（欣赏地）：很好.这种方法非常巧妙.谁还有不同的方法？

生5：

先通分，得：■+■=■+■=■=■，

再把1=ab代入得■=■=1，

教室里又一次响起热烈的掌声.

一位一直低头演算的学生忽然站起来说：我还有一种方法.

教师：那说说你的方法.

生6：■+■=■+■=■+■=1.

课室里再一次响起热烈的掌声.

然后老师带领学生挖掘出蕴含在各种方法中的共性——利用已知条件，通过“代入”达到“消元”的目的.

学生在课堂上高涨的参与热情让老师感慨良多.如果老师在学生讲出“特值法”后就不再追问“还有其他的方法吗”，就不能激发学生找到后面的多种解法，浪费一个很好地练习“一题多解”的机会，而适当的一题多解，可以沟通知识间的联系，帮助学生加深对所学知识的理解，促进思维的灵活性，提高解决问题的能力，让其品尝到学习成功的快乐.

（3）设置一题多变练习——八面玲珑

【例7】《数学》八年级下“特殊四边形的专题复习”教学片段：

问题1：如图7，已知菱形ABCD的边长为6，∠ADC=60°，点E是AD边上的中点，请在对角线BD上找一点M，使得AM+ME的值最小，并求出这个最小值.

图7

师：同学们，以前有没有遇见过类似的问题？

生（齐答）：有，“将军饮马”问题.

师（追问）：谁来说说，这个将军该怎么走，为什么要这样走？endprint

生1：……两点之间线段最短.

师：这位同学对基础知识的理解非常到位.那么，同学们对上面这道题有思路了吗？

生2：利用菱形的对称性，因点A关于BD的对称点是点C，所以AM=MC，于是AM+ME的最小值就是M的最小值，即CE的长就为最短距离，并且最短距离CE的长是3■.

师（追问）：你是如何求的，请说明解题过程？

生3：因为∠ADC=60°，易证△ADC是等边三角形，而点E为AD中点，故有CE⊥AD，于是在Rt△ECD中，用勾股定理求解即可.

师：看来，问题的解决是利用了直角三角形的性质.下面我们将题目稍作变化.

（追问）问题2：如图8，已知菱形ABCD的边长为6，∠ADC=60°，点E是DC边上的中点，请在AC上找一点M，使得DM+ME的值最小，并求出这个最小值.

图8

师：本题中，DM+ME的最小值即BE的长，又该如何求呢？

生4：老师，现在BE不在直角三角形中，需要构造一个直角三角形.

师（追问）：讲得好，没有直角三角形的时候，要学会构造个直角三角形.那么如何构造呢？

生5：如图9，连接AE，因为E是等边三角形一边上的中点，所以∠EAC=30°，从而有∠EAB=90°.这样，BE就在直角三角形EAB中了，而EA=3■，AB=6，则由勾股定理可得BE=3■.

（紧接着，其他同学又借助不同的辅助线构造出直角三角形）

图9

师：真是八仙过海，各显神通！同学们都很会思考，也把握住了解题的关键，即构造一个所求边所在的直角三角形.好！让我们再做进一步研究.

（追问）问题3：将正方形ABCD放置在如图10所示的直角坐标系中，点P为AB中点，点B的坐标为（8，0），连接CP，将△BCP沿CP对折，使点B落在y轴的M点，且M的纵坐标为4.

图10

（1）求点A的坐标；

（2）请在x轴上找一点Q，使得△CMQ的周长最短，并求出点Q坐标及最短周长.

师：请结合条件与结论思考，求A点坐标的实质是什么？折叠又能告诉我们什么？

生6：求A点坐标就是求OA或OP的长，折叠可以得对应边相等，对应角相等.

师：很好！从几何问题的解决策略来看，寻找所求元素的三角形，并研究这些元素之间的关系是最基本、最重要的方法.从这个角度分析，你找到解决问题的方法了吗？

生7：找到了.根据对称，可以得到MP+OP=BP+OP=8，这样，设OP=x，则MP=8-x，于是由勾股定理可得x■+4■=（8-x）■，求得x=3，所以A点坐标应为（-2，0）.

师：让我们继续思考第二个问题，假设Q在x轴上的某一位置，请画图试一试，看看又有什么新的发现呢？

生8：无论Q在哪里，CM的长总是不变的.

生9：这样一来，求周长的最小值实际上就是求MQ+CQ的最小值，这与我们前面所研究的问题是一样的.

师：请说说具体的解题过程？

生10：由于点关于x轴的对称点M′（0，-4），则Q点就是CM′与x轴的交点，设直线CM′函数解析式是y=kx-4，把C（8，10）代入解析式，可得k=■，于是y=■x-4.令y=0，则x=■，故Q点的坐标为（■，0），而由勾股定理可得，CM′=2■，所以△CMQ的最短周长就为CM′+CM=2■+10.

师：解释得很好，既看到问题的本质，又综合运用知识求解.当遇到类似的问题时，同学们可假设它在某个固定的位置，看看此时的情况，再逐步改变它的位置，以便发现哪些量是不变的，哪些量是变化的，又是怎样在变的，从而发现解决问题的有效办法.

从问题1到问题2的追问，教师将问题进行了横向迁移，提高了学生的思维品质，体现了学生的主体参与性.从问题2到问题3的追问，实质上是对问题的有效拓展，更具内涵，既可以充分考查学生前面的学习成效，又可以充分提高学生综合运用知识的能力.

三、研究的效果分析

（一）体现了学生的主体地位

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.而传统教学认为：“师者，传道、授业、解惑也.”教学时，教师往往注重自身的教，而忽视学生的学，时常扮演“老夫子”角色，成为课堂的“主角”，学生成为“配角”，使得课堂主次颠倒，学生处于被动地位.在教学中让学生主动尝试、自主探索、合作交流，教师根据学生情况适时引导、有效追问.这样便形成了师生交往，积极互动，共同发展的过程.课堂追问教学的实施，使得学生主动学习，发自内心深处的思考，学生的主体地位及教师的主导地位真正体现出来.

（二）点燃了学生的思维火花

由于受知识、经验的局限，学生对问题的认识常表现出孤立、肤浅的思维特征，不能进一步深层次思考问题，常常停留在表面现象，不能发现问题的本质.为此教师要善问、巧问，从一题多问、问题串等不同形式出发，强调思维的发散性，增强思维的灵活性，顺其自然地激活课堂.而此时进行的“追问”主要是教师及时地提供科学的思维方法，搭设思维跳板，帮助学生拓广思考的视角，从多个角度发散，在广阔的空间中搜寻，并在更高层次上继续思考，从而得到新的发现.智慧的追问是教师对课堂教学的一种深度把握，促使学生不断拓展和加深理解所学知识，对于揭示知识的本质，拓宽思维广度和深度有着重要的意义.

（三）提高了学生的探究能力

新课标强调学生学习的重心不再仅仅放在学会知识上，而是转到学会学习、掌握方法和培养能力上.数学探究能力的培养和提高能为今后的学习铺平道路，平时的课堂教学中学生经常在教师的引导、追问下就能不断发现新问题并给出问题的解决方法，然后纠正方法，改进提高，最终真正解决问题.在问题的解决过程中，教师还通过不断追问引领学生反思解法，改进方法，层层探究.学生探究的过程其实就是创新的过程，在这个过程中，知识与能力的获得不是依靠教师进行强制灌输，而是在教师的追问和引导下由学生主动探索、主动思考、亲自体验出来的.课堂教学中实施有效的追问能让学生积极地参与到学习过程中，自主探索，积极思考，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得不断发展，原有的学习探究能力就会得到较大的提高.

参考文献：

[1]初中数学新课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1.

[2]初中数学新课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2.

[3]陈新芸.实施有效追问构建生命课堂——初中数学课堂有效追问研究[J].中小学教学研究，2010.05.

[4]赵绪昌.把握数学课堂教学追问的时机[J].中学数学杂志，2010.10.

[5]陆慕萍.课堂教学如何实施有效追问.百度文库，2011.10.18.http：//wenku.baidu.com/view/47346c6ba98271fe910ef947.html..endprint

生1：……两点之间线段最短.

师：这位同学对基础知识的理解非常到位.那么，同学们对上面这道题有思路了吗？

生2：利用菱形的对称性，因点A关于BD的对称点是点C，所以AM=MC，于是AM+ME的最小值就是M的最小值，即CE的长就为最短距离，并且最短距离CE的长是3■.

师（追问）：你是如何求的，请说明解题过程？

生3：因为∠ADC=60°，易证△ADC是等边三角形，而点E为AD中点，故有CE⊥AD，于是在Rt△ECD中，用勾股定理求解即可.

师：看来，问题的解决是利用了直角三角形的性质.下面我们将题目稍作变化.

（追问）问题2：如图8，已知菱形ABCD的边长为6，∠ADC=60°，点E是DC边上的中点，请在AC上找一点M，使得DM+ME的值最小，并求出这个最小值.

图8

师：本题中，DM+ME的最小值即BE的长，又该如何求呢？

生4：老师，现在BE不在直角三角形中，需要构造一个直角三角形.

师（追问）：讲得好，没有直角三角形的时候，要学会构造个直角三角形.那么如何构造呢？

生5：如图9，连接AE，因为E是等边三角形一边上的中点，所以∠EAC=30°，从而有∠EAB=90°.这样，BE就在直角三角形EAB中了，而EA=3■，AB=6，则由勾股定理可得BE=3■.

（紧接着，其他同学又借助不同的辅助线构造出直角三角形）

图9

师：真是八仙过海，各显神通！同学们都很会思考，也把握住了解题的关键，即构造一个所求边所在的直角三角形.好！让我们再做进一步研究.

（追问）问题3：将正方形ABCD放置在如图10所示的直角坐标系中，点P为AB中点，点B的坐标为（8，0），连接CP，将△BCP沿CP对折，使点B落在y轴的M点，且M的纵坐标为4.

图10

（1）求点A的坐标；

（2）请在x轴上找一点Q，使得△CMQ的周长最短，并求出点Q坐标及最短周长.

师：请结合条件与结论思考，求A点坐标的实质是什么？折叠又能告诉我们什么？

生6：求A点坐标就是求OA或OP的长，折叠可以得对应边相等，对应角相等.

师：很好！从几何问题的解决策略来看，寻找所求元素的三角形，并研究这些元素之间的关系是最基本、最重要的方法.从这个角度分析，你找到解决问题的方法了吗？

生7：找到了.根据对称，可以得到MP+OP=BP+OP=8，这样，设OP=x，则MP=8-x，于是由勾股定理可得x■+4■=（8-x）■，求得x=3，所以A点坐标应为（-2，0）.

师：让我们继续思考第二个问题，假设Q在x轴上的某一位置，请画图试一试，看看又有什么新的发现呢？

生8：无论Q在哪里，CM的长总是不变的.

生9：这样一来，求周长的最小值实际上就是求MQ+CQ的最小值，这与我们前面所研究的问题是一样的.

师：请说说具体的解题过程？

生10：由于点关于x轴的对称点M′（0，-4），则Q点就是CM′与x轴的交点，设直线CM′函数解析式是y=kx-4，把C（8，10）代入解析式，可得k=■，于是y=■x-4.令y=0，则x=■，故Q点的坐标为（■，0），而由勾股定理可得，CM′=2■，所以△CMQ的最短周长就为CM′+CM=2■+10.

师：解释得很好，既看到问题的本质，又综合运用知识求解.当遇到类似的问题时，同学们可假设它在某个固定的位置，看看此时的情况，再逐步改变它的位置，以便发现哪些量是不变的，哪些量是变化的，又是怎样在变的，从而发现解决问题的有效办法.

从问题1到问题2的追问，教师将问题进行了横向迁移，提高了学生的思维品质，体现了学生的主体参与性.从问题2到问题3的追问，实质上是对问题的有效拓展，更具内涵，既可以充分考查学生前面的学习成效，又可以充分提高学生综合运用知识的能力.

三、研究的效果分析

（一）体现了学生的主体地位

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.而传统教学认为：“师者，传道、授业、解惑也.”教学时，教师往往注重自身的教，而忽视学生的学，时常扮演“老夫子”角色，成为课堂的“主角”，学生成为“配角”，使得课堂主次颠倒，学生处于被动地位.在教学中让学生主动尝试、自主探索、合作交流，教师根据学生情况适时引导、有效追问.这样便形成了师生交往，积极互动，共同发展的过程.课堂追问教学的实施，使得学生主动学习，发自内心深处的思考，学生的主体地位及教师的主导地位真正体现出来.

（二）点燃了学生的思维火花

由于受知识、经验的局限，学生对问题的认识常表现出孤立、肤浅的思维特征，不能进一步深层次思考问题，常常停留在表面现象，不能发现问题的本质.为此教师要善问、巧问，从一题多问、问题串等不同形式出发，强调思维的发散性，增强思维的灵活性，顺其自然地激活课堂.而此时进行的“追问”主要是教师及时地提供科学的思维方法，搭设思维跳板，帮助学生拓广思考的视角，从多个角度发散，在广阔的空间中搜寻，并在更高层次上继续思考，从而得到新的发现.智慧的追问是教师对课堂教学的一种深度把握，促使学生不断拓展和加深理解所学知识，对于揭示知识的本质，拓宽思维广度和深度有着重要的意义.

（三）提高了学生的探究能力

新课标强调学生学习的重心不再仅仅放在学会知识上，而是转到学会学习、掌握方法和培养能力上.数学探究能力的培养和提高能为今后的学习铺平道路，平时的课堂教学中学生经常在教师的引导、追问下就能不断发现新问题并给出问题的解决方法，然后纠正方法，改进提高，最终真正解决问题.在问题的解决过程中，教师还通过不断追问引领学生反思解法，改进方法，层层探究.学生探究的过程其实就是创新的过程，在这个过程中，知识与能力的获得不是依靠教师进行强制灌输，而是在教师的追问和引导下由学生主动探索、主动思考、亲自体验出来的.课堂教学中实施有效的追问能让学生积极地参与到学习过程中，自主探索，积极思考，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得不断发展，原有的学习探究能力就会得到较大的提高.

参考文献：

[1]初中数学新课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1.

[2]初中数学新课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2.

[3]陈新芸.实施有效追问构建生命课堂——初中数学课堂有效追问研究[J].中小学教学研究，2010.05.

[4]赵绪昌.把握数学课堂教学追问的时机[J].中学数学杂志，2010.10.

[5]陆慕萍.课堂教学如何实施有效追问.百度文库，2011.10.18.http：//wenku.baidu.com/view/47346c6ba98271fe910ef947.html..endprint

生1：……两点之间线段最短.

师：这位同学对基础知识的理解非常到位.那么，同学们对上面这道题有思路了吗？

生2：利用菱形的对称性，因点A关于BD的对称点是点C，所以AM=MC，于是AM+ME的最小值就是M的最小值，即CE的长就为最短距离，并且最短距离CE的长是3■.

师（追问）：你是如何求的，请说明解题过程？

生3：因为∠ADC=60°，易证△ADC是等边三角形，而点E为AD中点，故有CE⊥AD，于是在Rt△ECD中，用勾股定理求解即可.

师：看来，问题的解决是利用了直角三角形的性质.下面我们将题目稍作变化.

（追问）问题2：如图8，已知菱形ABCD的边长为6，∠ADC=60°，点E是DC边上的中点，请在AC上找一点M，使得DM+ME的值最小，并求出这个最小值.

图8

师：本题中，DM+ME的最小值即BE的长，又该如何求呢？

生4：老师，现在BE不在直角三角形中，需要构造一个直角三角形.

师（追问）：讲得好，没有直角三角形的时候，要学会构造个直角三角形.那么如何构造呢？

生5：如图9，连接AE，因为E是等边三角形一边上的中点，所以∠EAC=30°，从而有∠EAB=90°.这样，BE就在直角三角形EAB中了，而EA=3■，AB=6，则由勾股定理可得BE=3■.

（紧接着，其他同学又借助不同的辅助线构造出直角三角形）

图9

师：真是八仙过海，各显神通！同学们都很会思考，也把握住了解题的关键，即构造一个所求边所在的直角三角形.好！让我们再做进一步研究.

（追问）问题3：将正方形ABCD放置在如图10所示的直角坐标系中，点P为AB中点，点B的坐标为（8，0），连接CP，将△BCP沿CP对折，使点B落在y轴的M点，且M的纵坐标为4.

图10

（1）求点A的坐标；

（2）请在x轴上找一点Q，使得△CMQ的周长最短，并求出点Q坐标及最短周长.

师：请结合条件与结论思考，求A点坐标的实质是什么？折叠又能告诉我们什么？

生6：求A点坐标就是求OA或OP的长，折叠可以得对应边相等，对应角相等.

师：很好！从几何问题的解决策略来看，寻找所求元素的三角形，并研究这些元素之间的关系是最基本、最重要的方法.从这个角度分析，你找到解决问题的方法了吗？

生7：找到了.根据对称，可以得到MP+OP=BP+OP=8，这样，设OP=x，则MP=8-x，于是由勾股定理可得x■+4■=（8-x）■，求得x=3，所以A点坐标应为（-2，0）.

师：让我们继续思考第二个问题，假设Q在x轴上的某一位置，请画图试一试，看看又有什么新的发现呢？

生8：无论Q在哪里，CM的长总是不变的.

生9：这样一来，求周长的最小值实际上就是求MQ+CQ的最小值，这与我们前面所研究的问题是一样的.

师：请说说具体的解题过程？

生10：由于点关于x轴的对称点M′（0，-4），则Q点就是CM′与x轴的交点，设直线CM′函数解析式是y=kx-4，把C（8，10）代入解析式，可得k=■，于是y=■x-4.令y=0，则x=■，故Q点的坐标为（■，0），而由勾股定理可得，CM′=2■，所以△CMQ的最短周长就为CM′+CM=2■+10.

师：解释得很好，既看到问题的本质，又综合运用知识求解.当遇到类似的问题时，同学们可假设它在某个固定的位置，看看此时的情况，再逐步改变它的位置，以便发现哪些量是不变的，哪些量是变化的，又是怎样在变的，从而发现解决问题的有效办法.

从问题1到问题2的追问，教师将问题进行了横向迁移，提高了学生的思维品质，体现了学生的主体参与性.从问题2到问题3的追问，实质上是对问题的有效拓展，更具内涵，既可以充分考查学生前面的学习成效，又可以充分提高学生综合运用知识的能力.

三、研究的效果分析

（一）体现了学生的主体地位

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.而传统教学认为：“师者，传道、授业、解惑也.”教学时，教师往往注重自身的教，而忽视学生的学，时常扮演“老夫子”角色，成为课堂的“主角”，学生成为“配角”，使得课堂主次颠倒，学生处于被动地位.在教学中让学生主动尝试、自主探索、合作交流，教师根据学生情况适时引导、有效追问.这样便形成了师生交往，积极互动，共同发展的过程.课堂追问教学的实施，使得学生主动学习，发自内心深处的思考，学生的主体地位及教师的主导地位真正体现出来.

（二）点燃了学生的思维火花

由于受知识、经验的局限，学生对问题的认识常表现出孤立、肤浅的思维特征，不能进一步深层次思考问题，常常停留在表面现象，不能发现问题的本质.为此教师要善问、巧问，从一题多问、问题串等不同形式出发，强调思维的发散性，增强思维的灵活性，顺其自然地激活课堂.而此时进行的“追问”主要是教师及时地提供科学的思维方法，搭设思维跳板，帮助学生拓广思考的视角，从多个角度发散，在广阔的空间中搜寻，并在更高层次上继续思考，从而得到新的发现.智慧的追问是教师对课堂教学的一种深度把握，促使学生不断拓展和加深理解所学知识，对于揭示知识的本质，拓宽思维广度和深度有着重要的意义.

（三）提高了学生的探究能力

新课标强调学生学习的重心不再仅仅放在学会知识上，而是转到学会学习、掌握方法和培养能力上.数学探究能力的培养和提高能为今后的学习铺平道路，平时的课堂教学中学生经常在教师的引导、追问下就能不断发现新问题并给出问题的解决方法，然后纠正方法，改进提高，最终真正解决问题.在问题的解决过程中，教师还通过不断追问引领学生反思解法，改进方法，层层探究.学生探究的过程其实就是创新的过程，在这个过程中，知识与能力的获得不是依靠教师进行强制灌输，而是在教师的追问和引导下由学生主动探索、主动思考、亲自体验出来的.课堂教学中实施有效的追问能让学生积极地参与到学习过程中，自主探索，积极思考，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得不断发展，原有的学习探究能力就会得到较大的提高.

参考文献：

[1]初中数学新课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1.

[2]初中数学新课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2.

[3]陈新芸.实施有效追问构建生命课堂——初中数学课堂有效追问研究[J].中小学教学研究，2010.05.

[4]赵绪昌.把握数学课堂教学追问的时机[J].中学数学杂志，2010.10.

[5]陆慕萍.课堂教学如何实施有效追问.百度文库，2011.10.18.http：//wenku.baidu.com/view/47346c6ba98271fe910ef947.html..endprint