高一阶段函数与方程思想的渗透

游娟

摘 要： 数学思想是数学活动的指导思想，数学活动的一般概括.它从整体和思维的更高层次上指导学生有效地认识数学的本质，运用数学知识发现、完善数学知识结构，探寻解题的方向和途径.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系.函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，丰富并优化数学解题活动.

关键词： 函数思想 方程思想 函数与方程思想 高一数学教学

高中阶段的数学用到的基本思想有：函数与方程思想，分类讨论思想，转化与化归思想，数形结合思想.而其中的函数与方程思想是每年高考的热点之一，高中阶段第一次出现在苏教版必修一的第三章.所以深入研究函数与方程思想对学好数学起非常大的作用.

函数思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图像和性质分析问题，达到转化问题的目的，从而使问题获得解决的思想；方程思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想.

函数与方程是密不可分的，函数y=f（x）中的f（x）如果为0，就可以转化为方程f（x）=0.函数与方程思想就是把函数问题转化为方程问题，例如求函数的零点可以转化为求对应方程的根，或者把方程问题转化为函数问题来解决，例如求方程的根的个数可以转化为求两函数交点的个数.苏教版必修一的第三章引入的函数与方程思想，主要体现在求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标，即函数y=f（x）的零点；求f（x）=g（x）的根或根的个数就是求函数y=f（x）与y=g（x）图像的交点或交点个数.

一、函数思想

所谓函数思想，就是在根据已知条件构造函数，通过研究函数的单调性、奇偶性等性质，解决问题的思想.

1.构造函数，利用函数的性质答题.

例1：（1）比较大小：lg15；lg6；6■，8■；（2）证明方程x·2■=1至少有一个小于1的正实根.

分析：（1）分别构造函数y=lgx和y=x■，利用其单调性比较大小；（2）构造函数f（x）=x·2■-1，验证f（0）·f（1）的符号即可.

解：（1）构造函数y=lgx，其在（0，+∞）内是单调增函数，因为15>6，所以lg15>lg6；构造函数y=x■，其在（0，+∞）内是单调增函数，因为6>8，所以6■>8■；（2）令f（x）=x·2■-1，则f（x）的图像在R上是一条连续不间断的曲线.所以，f（0）=0×2■-1=-1<0，f（1）=1×2■-1=1>0.所以f（0）·f（1）<0，所以f（x）=x·2■-1在区间（0，1）内至少有一个零点，即方程x·2■=1至少有一个小于1的正实根，得证.

点评：解有关不等式、方程、比大小的问题，可以通过构造函数关系式，借助函数的图像和性质，使问题更直观形象，充分利用数形结合、函数方程思想，为以后的学习奠定基础.

2.利用函数思想解答有关实际应用题.

例2：某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特地修了一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次.若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢能乘载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数.

分析：建立目标函数，再求函数的最值.

解：设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，再设y=kx+b（k≠0），

方程组16=4k+b10=7k+b，k=-2b=24，所以y=-2x+24.

由题意知，每日运营车厢节数最多时，运营人数最多，设每日运营S节车厢，则S=xy=x（-2x+24）=-2（x-6）■+72，所以当x=6时，S■=72，此时y=12.

则每日最多运营人数为7920人.

答：这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920人.

点评：通过建立函数解决实际问题要注意定义域，根据定义域来求函数的最值.

二、方程思想

通过换元，构成已经学过的方程求解.

例3：关于x的方程9■+a·3■+3=0恒有解，求a的取值范围.

分析：通过换元将其变为一元二次方程恒有正根的问题，同时利用韦达定理解题.

解：设3■=t，则t>0.由题意得，方程t■+a·t+3=0有正根，

所以Δ≥0x■+x■=-a>0x■x■=3>0即a■-4×3≥0a<0，所以a≤-2■.

点评：对于类似于一元二次方程的复杂方程，可以通过换元将问题转化为已学过的方程求解.

三、函数方程思想

有的题目需要根据函数与方程之间的相互关系而互相转换.

例4：（2008天津卷改编）设a>1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a■]满足方程log■x+log■y=3，此时a的取值集合为？摇 ？摇.

分析：本题看上去是考查含参数的方程，实际上是以含参数方程为载体，考查函数的定义域、值域及函数思想，所以解这道题目的基本思路：方程问题函数化.由方程，可得xy=a■（x>0，y>0），把x看成自变量，y看成应变量，可以得到函数y=a■/x在区间[a，2a]上单调递减，所以函数y=a■/x在区间[a，2a]上的值域是[a■/2，a■]，由题意∈[a■/2，a■]？哿[a，2a]，所以a≤a■/2

函数与方程的思想是高考的热点，也是学生学习的难点，很多学生拿到类似的题目无从下手，不会变通，所以在上必修一函数与方程这一节时，教师要充分利用函数的零点及二分法的有关内容不断强调，向学生灌输如果从函数无从下手，就变成方程，如果方程不会解，就通过函数解决的思想，进而深化数形结合的数学思想，通过不断练习，不同的变式训练，强化学生的记忆与理解.只有这样，才能让学生在高考中能自然地运用函数方程思想，而不是生搬硬套.

学习函数方程的思想不是一两节就能掌握的，需要通过长时间的努力渗透，包括以后学的三角函数、数列、不等式，都运用到了这一思想，高一的基础是非常重要的，所以也要求教师一定要在高一让学生弄懂并会运用这一思想.