重视高中数学课堂例题教学培养学生创新思维

杜亚强

一、困惑

在例题讲授时，学生的表现几乎都是在等老师的“帮助”和所谓的启发讲授；在知识点小结概括时，学生在等老师的归纳、记老师的板书。当教师提出一个相关的探索问题后，学生们不是积极地思考、主动地举手发言，而是怕被提问到的模样，这样就缺少了学生积极主动思维的参与的课堂，教学效果大打折扣。

二、反思

出现上述情况涉及方方面面，但例题教学本身值得反思，数学的例题是知识由产生到应用的关键一步，即所谓“抛砖引玉”，然而很多时候只是例题继例题，缺少整合，解后并没有引导学生进行反思、追问，因而学生的学习也就停留在例题表层，形成不了触类旁通的迁移能力，出现上述情况也就不足为奇怪。例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。下面笔者就对苏教版必修5第1章《解三角形》的教学谈一些自己的想法。

三、对策

（1）在方法规律处反思。“例题千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于做解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步做一题多变、一题多问、一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。

例1：△ABC中，A、B的对边分别是a、b且A=600、a=■、b=2，求角B。

解法一：由正弦定理得：■=■？圯sinB=■？圯B=45■或1350。

因为B=1350与三角形内角和为1800相矛盾，所以B=450。

点评：这种解法是直接法，利用三角形内角和进行判断取舍，这样符合思维习惯，但忽视“三角形内角和”这个隐含条件很容易出错。

解法二：因为a>b？圯A>B，所以B必为锐角。

由正弦定理得：■=■？圯sinB=■？圯B=45■。

點评：这种解法需熟悉几何关系，先判断解的个数，再求解，这样便于很好地突破难点，正是所谓“谋定而后动”。

一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创新思维。

变式1：△ABC中，A、B的对边分别是a、b且A=300、a=■、b=3，求角B。

（这是一道类比题，让学生加强对题目条件的审视比较）

变式2：△ABC中，A、B的对边分别是a、b且A=450、a=x、b=2，若解三角形时有两解，求x的取值范围。

（与前面相比，要求又提高了，将特殊问题转化为一般问题，使数学知识得到了浓缩和升华）

变式就是创新，恰当地变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法，通过多问、多思、多用、辩错等，能激发学生思维的积极性和独创性。

（2）在学生易错处反思。错误是学生在学习过程中自然存在的一种现象。在教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是不现实的。事实上，错误一方面可以充分暴露学生思维的薄弱环节，有利于对症下药；另一方面，错误里也有价值，是正确的先导，错误在许多时候比正确更有教育价值。例题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果。

例2：△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c且A=600、a=7、cosC=■，求边b。

错解：cosC=■？圯sinC=■，由正弦定理：■=■？圯c=8。

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA？圯b2-8c+15=0得b=3或b=5。

点评：这个解法看上去无懈可击，而且与其他解法相比这个解法是较为简捷的。

其实这题细细品味就不难发现问题了，由题意三角形两角（即三角）和一边已知，所以三角形就确定了，因此本题只有一解。

错因分析：解题中所用的余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，条件为两边及一边对角，由上例的解法可知可能有两解。然而大多数学生忽视了角C也为已知角这个条件，解三角形因而受到进一步限制。

对症下药：方案一，可利用角进行验证。方案二，已知两角求出cosB，两边及夹角直接用余弦定理求出边b。

正解：（方案一）当a=7、b=3、c=8时，cosC=■=-■（舍去）；当a=7、b=5、c=8时，cosC=■=-■，则b=5。

（方案二）cosC=■？圯sinC=■，由正弦定理：■=■？圯c=8。

所以，cosB=-cos（A+C）=■，b2=a2+c2-2accosB=25，则b=5。

在实际教学中我们经常会碰到这样的现象：针对错题，教师讲解很详细，效果却不一定好，遇到类似情况，错误又会“涛声依旧”。学生表面上懂了，实质上没有真正理解数学知识的本质含义，没有把显性的解题技巧内化为默会的隐性能力。

（3）在情感体验处反思。因为整个的解题过程并非仅仅只是一个知识运用、技能训练的过程，是学生整个内心世界的参与过程。他可能是独立思考所得，也有可能是通过合作协同解决，既体现了个人努力的价值，又无不折射出集体智慧的光芒。

四、结论

学习反思是学生以自己的学习活动为思考对象，主动自觉地对自己的学习行为、决策以及由此产生的结果进行审视和调控。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”《高中新课程标准》强调反思“有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断”。学习反思，犹如一面镜子，能帮助学生清晰地认识自己、理解自己，并在此基础上实现自我更新和重建，培养他们的创新思维，从而提升他们的数学学习水平和解决数学问题的能力。

（江苏省宜兴市第一中学）