柴油机振动信号的分形特征及故障诊断

董安，潘宏侠

（中北大学机械工程与自动化学院，太原 030051）

柴油机缸盖的振动信号是由不同零部件或者不同振源激发的信号相互叠加形成的，具有明显的非线性、非平稳性。分形维数是表征信号复杂程度的重要参数，是衡量分形无序性的重要指标。大量的研究资料表明，分形维数能够反映机械设备、机械零部件的运行状态及其信号的不规则性和非平稳性，它可以有效识别机械设备的故障状态[1]。分形维数中应用最广泛的是关联维数，它对吸引子的动态结构及不均匀性反映敏感，而且计算过程比较简单。但是，关联维数对噪声比较敏感。文献[2]指出，当信号中噪声较小时计算的关联维数比较可靠，噪声含量较大时，信号的关联积分的收敛区间很小，计算的关联维数不可靠，必须进行降噪处理。小波包降噪可以有效滤除不需要的频率成分、降低噪声干扰、增强有用信号，降噪效果明显。本文将柴油机缸盖振动信号经小波包降噪处理后，再通过改进的G-P算法求得关联维数，发现在不同的工况下柴油机具有明显不同的关联维数，可以有效区分故障。

1 小波包降噪

利用小波包分解与重构技术可以将小波变换中上一层中未分解的中高频段系数继续分解，信号经小波包变换后被分解成很多序列，每一序列对应原始信号中某个频带的成分。

通常小波包对信号降噪步骤如下[3]

(1)选择一个小波基函数，确定它需要分解的层次，对信号进行小波包分解。

(2)对于一个给定的熵标准计算其最优树，确定最优小波包基。

(3)对每一个小波包分解系数，选择恰当的阈值并对系数进行量化处理。

(4)信号的小波包重构。

小波包降噪具备了有效区分信号中突变部分和噪声的优点，并且有更精细的局部分析能力，降噪效果要优于小波分解。

2 关联维数

1983 年，Grassberger和Procaccia根据嵌入定理和相空间重构理论，提出了从时间序列直接计算关联维数的方法，通常称之为G-P算法[4]。

设原始时间序列｛xk：k＝1，2，…，N｝，将其嵌入到m维欧氏空间Rm中，有

式中：τ为延迟时间，τ＝kΔt，Δt是两次相邻采样的时间间隔，k取整数；n=1，…，M，其中

在M个点中任选一点Xi，计算其余的点到Xi之间的距离rij，则

传统的G-P算法选择2-范数计算向量距离，但是其计算量比较大。由于∞-范数和2-范数在空间拓扑学意义上是等价的。前者的计算量小，程序运行速度快。本文对G-P算法改进，选用∞-范数

对重构相空间中的这M个点，计算其有关联的向量对数，凡距离小于相空间中的超球半径r的向量，都称为有关联的向量。将有关联的向量所占的比例，记作关联积分函数C(r)

式中H是Heaviside函数，表达式为

由（7）可以推导出关联维数D为

通常是先计算在某一嵌入维数m下一系列点(r，C(r))，由这些点描出lnC(r)-lnr双对数曲线图。然后确定曲线无标度区的范围，并用最小二乘拟合落在其内的点，拟合直线的斜率就是关联维数D。

关于几个参数的讨论：

（1）超球半径r

一般地，超球半径r应满足

若r的取值偏大，则任何一对向量都会发生“关联”，这时C(r)=1；若r取值太小，则任何一对向量都不会“关联”，有C(r)=0。选择合适r值，能在某一区间内满足式（7），使关联维数能客观反映系统的本质特质。通常，取lmin=min(‖Xi－Xj‖)；lmax=max(‖Xi－Xj‖)；i，j=1，2，…，M ；i≠j。

（2）延迟时间τ

延迟时间τ太小会使系统信息不易显露，产生冗余误差；太大的τ将使延迟坐标之间相关性差，不能反映系统特性。确定延迟时间τ的通常有自相关函数法、伪相图法、互信息法等，其目的是使重构相空间后各分量保持相互独立。

（3）嵌入维数m

根据拓肯斯(Takens)嵌入定理

式中m是嵌入相空间的维数，dA是原相空间吸引子所处空间的维数。原相空间至少是2维，则有m≥5。原状态空间吸引子的维数一般不知道，所以最小嵌入维数也很难给出。一般地，为了使重构后的相空间能容纳原相空间吸引子的特征，尽可能将最小嵌入维数取足够大，因为关联维数随着嵌入维数m的增大更易趋于饱和。常用的计算方法有[5]：饱和关联维数法、伪最近领域法（FNN）、真实矢量场法、Cao法。

（4）无标度区

自然界中存在大量的随机分形，它没有数学中的分形具有在无穷尺度上的自仿射性或自相似，它只在一定的尺度范围（无标度区）内具有分形特性。无标度区是分形理论中的一个重要特征，它关系到关联维数计算的准确性。确定无标度区的方法有很多，如[6]：人工判定法、强化系数法、相关系数检验法、拟合误差法、分维值误差法、自相似比法、三折线法、遗传算法和自适应方法。

3 柴油机故障诊断实例分析

本文对某V12缸柴油机缸盖的振动信号进行分析。采集振动信号的测点有22个，选取敏感性强和稳定性好的测点进行分析。本文测点位置在左侧1缸缸盖罩处，压电传感器的型号为YD 83 D-512。实验采样频率为40 kHz，柴油机转速为1 500 r/min，提取缸盖振动加速度信号。

柴油机缸盖振动信号关联维数的计算会受到诸多因素的影响，数据长度的选择也至关重要[7]。对于四冲程柴油机，曲轴每转2圈为一个工作循环，其周期为T=2×60／1 500=0.08 s。本文选取的样本长度为4个工作循环，一个样本时间为0.32 s，取抽样步长bu=4，抽样降频后的频率为10 kHz，则一个样本数据长度为N=0.32×10 000=3 200点。选择三种工况：正常、左1缸断油（故障1）、供油提前角增大2.5°（故障2）。利用ddencmp函数获取默认阈值，再利用wdencmp函数对信号降噪处理。对小波包分解后的中高频系数依次采用调节阈值递增进行阈值量化处理，对三种工况均选择阈值增量为15，小波包重构后其信噪比（SNR）和均方跟误差（RMSE）较优。对降噪后的振动信号，利用自相关函数法求延迟时间。文献[8]在求发动机噪声的关联维数时，取自相关函数的值第一次为零时对应的延迟时间比较理想。本文取自相关函数变为零时对应的延迟时间。正常工况下的自相关函数曲线，如图1所示，从图中可以看出时间延迟τ=2Δt。用同样的方法求时间延迟，故障1工况下τ=4Δt，故障2工况下τ=3Δt。

逐渐增大嵌入维数m（m从5开始，依次递增5），由改进的G-P算法画出三种工况下的lnC-lnr双对数曲线图，如图2—4。

选择人工判定法确定无标度区。依据视觉效果确定一段线性关系最好的区间为无标度区，即每条曲线中最平坦、线性度最高的部分。文中超球半径的搜索次数ss=40（最少为20），因此每条双对数曲线描的点数为40。对于前面几条曲线选择第2—5点，后面几条选择第1—4点作为无标度区。然后用最小二乘法对无标度区进行线性拟合，拟合直线的斜率即为关联维数。三种工况下小波包降噪后的关联维数随嵌入维数变化，如图5所示。

图2 正常工况下的双对数曲线图

图3 故障1工况下的双对数曲线图

图4 故障2工况下的双对数曲线图

从图中可知：正常工况下嵌入维数m=45时，关联维数达到饱和，D=5.42.左1缸断油工况下嵌入维数m=35时，关联维数达到饱和，D=6.25.供油提前角增大2.5°工况下嵌入维数m=40时，关联维数达到饱和，D=7.18。

图5 小波包降噪后关联维随嵌入维数变化图

柴油机的气缸在正常工况下是一种自激振动，其频率成分相对较少；而当柴油机发生故障时，会产生附加的振源，当其振动的周期成分越多，振动就越是趋近于随机振动，而随机振动的关联维数较大[2]。在断油故障工况下柴油机会出现动力不足，而供油提前角增大会导致燃油燃烧不充分、油耗率高以及工作粗暴，这些都会导致柴油机激振源增多，其振动的无序性、非平稳性特征增强。因此它们的关联维数值比正常时（D=5.42）大，而供油提前角增大时关联维数最大（D=7.18），说明它的信号更为复杂、无序性程度更高。

对原始信号，利用同样的方法可以得到三种工况下的关联维数随嵌入维数变化，如图6所示。

图6 小波包降噪前关联维数随嵌入维数变化图

对于未经降噪处理的原始振动信号，其关联维数和嵌入维数的关系比较杂乱，计算出来的关联维数值偏大并且没有趋于饱和的趋势。因此，用含有噪声的信号计算出来的关联维数来描述系统的无序性、非平稳性是不可靠的。

4 结语

（1）经过小波包降噪处理后的信号，关联维数随嵌入维数的增加达到饱和并趋于稳定，说明小波包能有效降低噪声干扰；

（2）柴油机的振动信号在相空间趋于某一有限维或奇异吸引子，其在不同工况下具有不同的分形特性，关联维数表征了信号的复杂程度，可以作为一个特征参量，将它用于柴油机的故障诊断是可行有效的；

（3）人工判定法会有一定的误差，但是计算结果总体不影响故障区分效果；影响关联维数的计算结果有诸多因素，这需要更加深入的研究。

[1]徐玉秀，原培新，杨文平.复杂机械故障诊断的分形与小波方法[M].北京：机械工业出版社，2003.112.

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[3]郝刚，潘宏侠.小波包降噪与HHT在齿轮箱滚动轴承中的故障诊断[J].矿山机械，2012，40(10)：104-107.

[4]吕金虎，陆君安，陈士华.混沌时间序列分析及其应用[M].武汉：武汉大学出版社，2002.2-71.

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[7]张小明，刘建敏，乔新勇.柴油机缸盖振动信号关联维数的影响因素分析[J].装甲兵工程学院学报，2008，22(1)：38-41.

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