高中数学课堂教学中生成性资源的开发课例

康健 文香丹

[摘要]利用已有高中数学课堂的教学资源，开发具有生成性的教学资源的教学课例.

[关键词]生成性 教学资源 周期性

在人教A版必修四《1.1任意角和弧度制》的课后练习题中有一道考察周期性的习题，经过改编成为了很好的生成性教学资源。

一、提出问题

一位同学2004年3月21日过生日，这天正好是星期天，那么2005年3月21日这天能否是星期天？如果不是，那么还要经过多少年，这一年的3月21日（他的生日）又会星期天呢？现在给出任意一年的任意一个日期，经过多少年这一日期与原日期的星期重合？

这个问题提出后，很多同学立刻给出了第一个问题“不是”的答案，因为2004年3月21日到2005年3月21日要经过365天，365被7除等于52余1，所以一年后的3月21日不是星期天。第二个问题在第一个问题解决后，有的同学不假思索的回答是7年，而有的同学在认真思考、论证后回答是6年，显然后一个答案是正确的，前一个答案没有考虑每四年中有一个闰年，这一年有366天。两个问题解决完，同学们都有些意犹未尽的感觉，第三个问题经过分组讨论，答案集中在5年、6年、11年三个结果中，同学们各有各的理由，但哪一个是正确的呢？

二、分析问题

答案为5年的同学，所选日期都在闰年前一年的3月1日到闰年的2月28日这一时间段，在此时间段的日期到下一年同一日期间隔366天，接着间隔3个365天和一个366天，这些天数加在一起正好是7的整数倍。间隔天数为366、365、365、365、366，可把它们看作整年，对应的年份记为闰-平-平-平-闰。

答案为6年的同学，所选日期都在闰年的3月1日到下一个平年的2月28日，或是从下一个平年的3月1日到第二个平年的2月28日这两个时间段。间隔天数对应的年份记为平-平-平-闰-平-平或平-平-闰-平-平-平。

答案为11年的同学，所选日期都在闰年后的第二个平年的3月1日到第三个平年的2月28日。间隔天数对应的年份记为平-闰-平-平-平-闰-平-平-平-闰-平。

原来这三个答案都正确，用数学的语言对此进行解释，实际就是一个数学建模过程。

三、解决问题

1.建立模型

这三个问题可抽象为一个求解不定方程的数学问题，设经过m个闰年，n个平年后，两个相同的日期如果星期也一致，那么它们间隔天数之和一定是7的整数倍，即求解366m+365n=7x0关于m、n、x0的整数解的不定方程。

2.模型化简

因为366除以7等于52余2，365除以7等于52余1，根据同余原理原不定方程366m+365n=7x0可简化为2m+n=7y0的形式，其中m、n、y0是所要求的正整数解。

3.模型假设

设闰年为第N1类年，闰年后的第二年为第N2类年，闰年后的第三年为第N3类年，闰年后的第四年为第N4类年；再设N1类年的3月1日到其下一年的2月28日为M1区间，第N2类年的3月1日到其下一年的2月28日为M2区间，第N3类年的3月1日到其下一年的2月28日为M3区间，第N4类年的3月1日到其下一个闰年的2月28日为M4区间。这样除了2月29日这一特殊日期，任一年的任一天的日期都会找到相对应的区间。

4.模型求解

根据模型的化简，只要考虑每两年间同一日期间隔天数被7整除的余数，当余数的和等于7的整数倍时，就可以求得相应的解。例如：第M1区间内的日期到其后相同日期，每两年间隔天数被7整除所得余数对应的数列为1，1，1，2，1，1，1，2，…，前六项的和等于7，则在第M1区间的日期最少要经过六年，星期会与原日期对应的星期相一致，此时不定方程2m+n=7y0的解为m=1，n=5， y0=1；第M2区间内的讨论的结果和M1区间内的相同；第M3区间内的日期到其后相同日期，每两年间隔天数被7整除所得余数对应的数列为1，2，1，1，1，2，1，1，…，前十一项的和等于14，则在第M3区间的日期最少要经过十一年后，星期会与原日期对应的星期相一致，此时不定方程2m+n=7y0的解为m=3，n=8， y0=2；第M4区间内的日期到其后相同日期，每两年间隔天数被7整除所得余数对应的数列为2，1，1，1，2，1，1，1，…，前五项的和为7，则在第M4区间的日期最少要经过五年后，星期会与原日期对应的星期相一致，此时不定方程2m+n=7y0的解为m=2，n=3， y0=1；2月29日到下一个2月29日经过四年，经过的天数被7整除余5，是5的倍数且能被7整除的最小正整数是35，也就是要经过7个四年后星期相一致，此时不定方程2m+n=7y0的解为m=7，n=21， y0=5。

给出任意一个日期，首先判断是属于哪个区间的，如果在第M1、M2区间，最少经过六年，星期相同；如果在第M3区间，最少经过十一年，星期相同；如果在第M4区间，最少经过五年，星期相同；如果日期是2月29日，最少经过二十八年，星期相同。

5.模型检验

模型求解的关键是如何将日期进行正确的分区，有的同学是按照整年分区的，这就忽略了闰年2月29日前后到下一年同一日期天数的变化。如在闰年，2月29日前的一天到下一年的同一天，一定要经过366天；而2月29日后的一天到下一年的同一天要经过365天。又因为2月29日每四年出现一次，所以要特殊考虑。

在计算机教室，学生可以通过计算机的“日期和时间”应用对本模型进行检验，若检验正确，说明模型成功，若检验有误，可以再对模型进行修改，直到检验无误。

四、总结

这是一个很典型的具有生成性的教学资源，学生在解决这个问题的过程中通过不断的探索，提出一个个新问题，课堂教学过程呈现一个师生及多种因素间动态的相互作用的推进过程，问题的最后解决有多种可能性存在，教学过程的推进就是在多种可能性中作出选择，使新和状态不断生成，并影响下一步发展的过程。存在问题，四年一闰，百年不闰，四百年再闰利用上述模型求解连续8个平年的问题还要讨论一些特殊年份，这个问题学生没有讨论出来，可以留作思考问题让学生进一步的探究。

通讯作者：文香丹

[参考文献]

[1]叶澜 .重建课堂教学价值观[J].教育研究，2002（5）

[2]李海明.“生成性”学习需要开放式教学[J]. 南昌教育学院学报，2011（11）

（作者单位：1.延边大学理学院数学系 吉林延吉，2.吉林省通化市第一中学 吉林通化，3.延边大学理学院数学系 吉林延吉）