例谈初中数学教学中的开放性问题

孙红娟

数学开放性问题是指那些条件不完整，结论不确定，解法不受限制的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一，一般需要学生通过观察、试验、估计、猜测、类比和归纳等方法探索出问题的条件或结论，然后进行严格证明.通常要结合分类讨论、数形结合、转化化归、归纳猜想，构建数学模型等数学思想方法获得问题的解答.在教学中，有针对性地设计一些开放性的问题，有利于培养学生思维的深刻性、缜密性、广阔性、灵活性，强化学生的创新意识.

关于数学开放性问题，主要有下列几种说法：（1）答案不固定或者条件不完备的问题，称之为开放性问题；（2）开放性问题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的问题；（3）答案不唯一的问题是开放性问题；（4）具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放性问题；（5）问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余的问题，称之为开放性问题.

要解答开放性问题，首先经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的方法途径完成最后的解答.

常见的开放性问题有：条件开放型，结论开放型，综合开放型，方法开放型等.

一、条件开放型

主要是给定问题的结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，就是条件开放性问题.

案例1：已知点P（x，y）位于第二象限，且y≤x+4，x，y为整数，写出一个符合上述条件的点P的坐标？摇？摇 ？摇？摇.

评析：这是条件开发性问题.由已知可得，x<0，y>0，所以x>-4，又x为整数，故x=-1，-2，-3，所以y的值可确定，从而点P的坐标也就确定了.该问题的数字之间的关系复杂，条件较多，因此要从讨论不等式的解入手，逐步探求问题答案，从而培养学生的计算、分类、归纳的能力.

案例2：已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，且DE与BC不平行，请你填上合适的条件？摇？摇 ？摇？摇？摇？摇，使得△ADE∽△ABC.

评析：可添加的条件为∠ADE=∠B或∠AED=∠C或AD ∶AB=AE∶AC等.在解答此类问题时，通常采取执果索因的策略进行探求，不是被动地套用解題模式，而是给学生较大的思考空间.

二、结论开放型

主要是给定问题的条件，根据条件探索其可能存在的结论，而符合条件的结论往往呈多样性，这样的问题就是结论开放性问题.

案例3：用纸剪一个等腰三角形ABC，将三角形对折，使它的两腰AB与AC重合，记折痕与底边BC的交点为D，那么把纸展开后铺平，得出怎样的结论？

评析：这是结论开放性问题.学生很容易得出结论：等腰三角形ABC是轴对称图形；∠BAD=∠CAD；∠B=∠C；AD⊥BC；BD=CD，经过学生动手操作、观察、思考和探究活动，让学生经历了探索等腰三角形的性质的过程，利用对称性得到的结论，涵盖了等腰三角形的轴对称性、两个底角相等、三线合一等性质.

案例4：一个函数具有下列性质：①它的图像经过第一、第二象限；②在第一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，满足上述性质的函数解析式可以是？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇.

评析：由①知所求的函数不是正比例函数，也不是反比例函数，所以只能是一次函数或二次函数，若是一次函数y=kx+b，则k>0，b>0；若是二次函数y=ax■+bx+c，则a>0，b≥0，解答这类问题时，要注意画出符合条件的草图，根据图像的性质特征，结合数形结合的思想方法，猜想、归纳、推导出给定条件下可能存在的结论.

三、综合开放型

指条件、结论都开放，即思维策略与解题方法不唯一，思维具有非常规性、发散性和创新性.不同的条件可得到不同结论，不同的结论需要不同的条件.

案例5：已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，从下列条件：

①AB=CD；②AB∥CD；③OA=OC；④OB=OD；⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD

中选取三个进行组合，哪些组合能推出四边形ABCD是菱形？哪些组合不能推出四边形ABCD是菱形？

评析：组合的方式很多，且难度不大，比较适合于不同层次的学生，对基础较差的学生创造了表现的机会，对基础较好的学生提供了创新的空间.

案例6：在“等腰三角形的判定”时，可设计如下问题：一个等腰三角形，若一不小心，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边和一个底角，有多少种方法将原来的等腰三角形重新画出来？如何说明你画的三角形一定是等腰三角形？

评析：从画图看，可用多种方法画出等腰三角形，当学生画出等腰三角形后，要求学生说出画法.而这些画法的正确性需要用“等腰三角形的判定定理”来判定.

四、方法开放型

条件和结论都已知或部分已知，需要探索解答问题方法或设计问题方案的一类问题，即：一般是指解答方法不唯一或解答路径不明确的问题.

案例7：用多种方法证明等腰三角形的判定定理.

已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.

证法一：（图略）类比等腰三角形性质定理的证明，过A作AD⊥BC于D，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC.

证法二：（图略）过A作AD平分∠BAC，交BC于点D，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC.

证法三：（图略）取边BC的中点D，连接AD（中线），过D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，得△BDE≌△CDF（AAS），所以DE=DF，所以△AED≌△AFD（HL），所以AE=AF，于是AE+BE=AF+FC，即AB=AC.

证法四：（图略）倍长中线的方法证明.

中线AD延长至点E，使得AD=DE，连接BE，EC，所以△ABD≌△ECD（SAS），所以∠1=∠4，因为△ACD≌△EBD（SAS），所以∠2=∠3，BE=AC，又已知∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3=∠4，所以△ABC≌△EBC（ASA），所以AB=BE=AC，得证.

证法五：（图略）作△ABC关于直线BC的轴对称图形的方法可以证明.

评析：证法一、二是用类比等腰三角形性质定理证明方法，分别添加辅助线（高线）AD⊥BC于D，（角A的平分线）AD平分∠BAC，从而将要证明△ABC为等腰三角形的问题转化为两个三角形△ABD与△ACD的全等的问题.证法三是作中线AD，但还不能直接证明AB=AC，因此还要添加辅助线过D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，从而将要证明AB=AC的问题转化为分别证明△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD的问题.证法四是中线AD延长至点E，使得AD=DE，连接BE，EC，从而将要证明AB=AC的问题转化为分别证明△ABD≌△ECD，△ACD≌△EBD，△ABC≌△EBC的问题.证法五是用作△ABC关于直线BC的轴对称图形的方法证明了△ABC是等腰三角形.

案例8：生活中到处都有圆形的物体，如何测量它们的半径呢？请你设计出几种测算方案，指出所用的工具、优缺点和适用的范围.

评析：这是方法开放性的问题，且情景自然真实，操作性较强，学生解决这个问题不仅需要联想到与圆有关的知识（圆的周长公式、直径的性质与判定、垂径定理及其推论、切线的性质与判定、三角函数、勾股定理等），还需要动手操作、构造图形、进行数学实验的活动过程，需要运用传统意义上的数学推理能力，更需要有分析和解决问题策略层面的素养，这有利于对学生进行过程性评价.