巧用全等解决角度问题

赵丹

全等三角形是新课标中“图形与几何”中的重要内容，是基于基本的图形学习之后综合运用的体现.全等不仅是研究图形的基本工具，更是学习四边形、圆的基础.在利用全等三角形的性质和判定解决问题的过程中，还有助于提升学生的思维方式，加强学生在生活中缜密思考问题的能力.

在教授“三角形全等”这章内容时，习题中有一类关于求角度的问题，班上有将近一半的学生都不知道如何去做，题目写到一半就不知道该怎么办.在数学中，学生一看到在图形中求角度，本能地认为很难，看完题目后觉得无从下手.本文针对在全等三角形中常见的一类求角度问题进行剖析，怎样入手去解决角度问题，怎样以不变应万变，使得山重水复疑无路，柳暗花明又一村，守得云开见月明.这种解决角度问题的思维方法的培养很有利于学生今后的學习.

一、例题剖析

例：（1）已知：如图1，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60°.

（2）如图2，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 ；∠APB的大小为 .

分析：（1）从结论AC=BD入手，要证明线段相等，常用的方法是证明全等，找到这两条线段所在的三角形可知，需要证明△AOC≌△BOD，围绕这个目标找全等的条件.在这一过程中学生的证明没有太大难度.但是在求角度时只是已知∠AOB=∠COD=

60°，与要求的∠APB的度数看着没有任何关系，那怎样利用已知角的度数求未知角的大小？经过教师点拨及学生对基础知识的掌握，学生能够想到可以从三角形的内角入手，也可以从三角形的外角入手，或者从三角形的角度转化入手都可以.在这里，学生提供了几种求角度的方法，打开了学生的思维，也使课堂的氛围更加活跃.

（2）与图1比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明△AOC≌△BOD，方法类似.

二、思维碰撞，一题多解

证明：（1）因为∠AOB=∠COD=60°，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC.即∠AOC=∠BOD.又因为OA=OB，OC=OD，所以△AOC≌△BOD.所以AC=BD.

证明角度时，在师生共同配合下，学生提供了三种方法用于参考

（2）法一：在△APB中，利用三角形内角之和

因为△AOC≌△BOD，所以∠OAC=∠OBD，因为∠APB=180°-（∠BAP+∠ABP）=180°-（∠BAP+∠ABE+∠PBE）=180°-（∠BAP+∠ABE+∠CAO）=180°-（∠BAO+∠ABE）=180°-120°=60°

法二：在△EPB中利用三角形内角之和

因为△AOC≌△BOD，所以∠OAC=∠OBD，

因为∠APB=180°-（∠BEP+∠EBP）=180°-（∠AEO+∠EAO）=∠AOB=60°

法三：利用△AEB的外角

因为△AOC≌△BOD，所以∠OAC=∠OBD，

因为∠APB=180°-（∠BEP+∠EBP）=180°-（∠BAE+∠ABE+∠EBP）=180°-（∠BAE+∠ABE+∠CAO）=180°-（∠BAO+∠ABE）=180°-120°=60°

在证明角度时，在教师的思维带动下，生提供了几种解题方法，培养了学生的思维能力，对以后的学习过程中遇到角度问题提供了很好的思维方式.

根据（1）的解题思路，当∠AOB=∠COD=α时，都能求出∠APB=α，基于问题（1）的解决，学生很快能够找到思路，较好地进行了从特殊到一般问题的转化.在本题的解决过程中，学生在求角度方面打开了思维，在这道例题解决方法的基础上，给出了练习题.

三、思维训练，活学活用

练习：如图3，点M、N分别在正△ABC的边BC，CA上，且BM=CN，直线AM，BN交于点Q.求证：∠BQM=60°.

学生活动：先让学生分析解决思路.（1）先根据SAA定理得出△ABM≌△BCN，故可得出∠1=∠2，再由∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角即可得出结论.

教师活动：展示学生证明过程，进行对比.这时让学生思考由例题的启发，能提出新的问题吗？

学生讨论交流提出下面几个问题：

（1）将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，能成立吗？

（2）若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？

（3）将题中的条件“点M，N分别在△ABC的边BC，CA上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？对以上（1）（2）进行证明（自己画出对应的图形）.

在问题提出方面，学生的由于认知的局限性，在教师的提示下能提出部分问题，并能较好地解决，这里只提供学生解决问题的思维方法：

（1）据ASA定理得出△ABM≌△BCN，由全等三角形的性质即可得出结论.

（2）同（1）可证△ABN≌△CAM，由全等三角形的性质即可得出结论.

（3）同（1）可得△ABM≌△BCN（SAS），故∠1=∠2，再由∠BQM=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABM=90°即可得出结论.

在这里学生的思维得到了充分的发散，收获良多，锻炼了学生的逻辑思维，提高了学生的创新能力.

四、思维总结

通过例题解析与练习的交相呼应，学生能够熟练掌握在全等三角形中解决角度问题的方法，同时学生的逻辑思维能力也得到较大的提升，学生学会了如何从条件入手去分析解决问题，这不仅有利于角度问题的解决，对于其他几何问题的解决也大有裨益.在以后的教学过程中，注意以不变应万变的技巧与方法，从特殊到一般的转化，这样学生的思维能够得到充分的扩展.

编辑 韩 晓