解立体几何题常见错误剖析

周永红 唐录义

学生在解答立体几何问题中暴露的诸多薄弱环节，突出表现为空间想象能力较差，空间概念模糊，从而导致计算、论证等方面的错误.本文根据平时常见错误加以剖析，仅供参考。

一、概念不清

例1.一個正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为a。

（1）过它的上底两邻边A1D1、D1C1的中点E1、F1和下底的中心O作一个截面，求这个截面的面积；（2）求E1与BB1的距离。

■

图1

错解：（1）所求截面面积为△E1F1的面积。（2）E1与BB1中点连线的长，即为E1与BB1的距离。

诊断：（1）错因在于对平面这个基本性质未透彻理解。根据公理1、2，过E1、F1、O三点的平面与正方体的交线分别为E1F1、F1C和AE1，所以梯形E1F1CA才是所求截面。（2）对点到直线的距离概念的理解不确切、不深刻所致。实质上，E1与B1的连线的长，即为E1与BB1的距离。

改正：略。

二、直观图画错

例2.求半径为R的球内接正方体的体积。

错解：如图2，设正方体棱长为x，则

x2+x2=（2R）2，

∴ x=■R.

故V正方形=x3=■R■=■R3。

■

图2 图3 图4

诊断：本题需根据题意正确的建立所需的直观图，学生在作轴截面图形时，未想到：如果轴截面也是正方体的对角面，则内接的并非是正方形而应是长方形（对角线长为■）不内接于圆，如图4。

改正：略。

三、空间图形处理错误

例3.如图5，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，设A与B重合后的点为P，则平面PCD与平面ECD所成的二面角为（ ）度。（1993年全国高考理科23题）

错解：∵ PE⊥PC，

∠PCE就是所求二面角的平面角α。

■

图5

又在Rt△CDE中，PC=BC，PE=BE=■BC。

∴tgα=■.

故α=arctg■。

诊断：从表面来看，此解好像错因在于二面角的平面角的概念不清。事实上，应完全归咎于空间图形的处理能力低下。只凭题给的俯视图进行论证是相当困难的，关键是要正确想象，画出折叠后的空间图形，对照空间与平面图形，挖掘哪些位置与数量关系是不变的，哪些是变化的，才能有效地进行运算和推理。

改正：折叠后如图6，取DC中点F，连结PF、EF。由PD=PC，ED=EC，可知EF⊥DC，PF⊥DC，所以∠EFP为所求二面角的平面角。

■

图6

∵EP⊥PD，EP⊥PC。

∴EP⊥平面PCD。

∴EP⊥PF。

设正方形ABCD的边长为α，在Rt△EPF中，EP=AE=■，EF=AD=α。

∴sin∠EFP=■=■=■。

∴∠EFP=30°

故平面PCD与平面ECD所成的二面角为30°。

四、未加证明而计算

例4.如图7，已知平面α⊥平面β，α∩β=MN，AC？哿α，BC？哿β，且AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6 cm，AB=8 cm，BD=24 cm，求CD的长度。

错解：∵AD=8■cm，

又∵AC⊥MN，

∴在Rt△ADC中，CD=■=■=26 cm

■

图7

诊断：此解虽答数没错，但由AC⊥MN，就说△ADC为Rt△，这在立体几何中需要加以证明。

改正：略。

五、考虑不周

例5.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，则圆柱的体积是（ ）。（1984年全国高考理科试题）

错解：由题意，知圆柱底面周长为4，高为2。

∴V圆柱=π■■·2=■

故所求圆柱的体积是■。

诊断：显然，此解中因思维不全面而漏掉了“当圆柱底面周长为2、高为4”这一种可能。

改正：略。

综上可见，学生错误是多种多样的。能预先知道学生在学习立体几何时常犯的错误，就可防患于未然，尽可能避免那些不应出现的错误。

？誗编辑 王团兰