负多项分布的性质研究

王 慧

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

0 引言

伯努利试验是一种非常重要的概率模型，在历史上，伯努利概型是概率论中最早研究的模型之一，不仅在理论上具有重要意义，而且在实际生活中也具有非常广泛的应用.

文献[10]将伯努利试验中的试验结果由两个推广为n个:A1,A2，…，An，若P(Aj)=pj，j=1,2,…，n，且p1+p2+…+pn=1，则称这样的试验为推广的伯努利试验.文献[10]在这种推广的伯努利试验以及负二项分布的基础之上，提出了一种新的概率分布，即负多项分布，讨论了负多项分布的概率分布和数字特征.目前，围绕负多项分布的研究成果还比较少，理论体系还不够完善，本文将对负多项分布的性质作进一步地探讨，研究结果表明，负多项分布具有可加性以及取得概率的最大值点；从其特征函数出发，可以简洁地计算出其数字特征.

1 预备知识

文献[10]提出负多项分布的定义，并得出其概率分布.

定义1设在独立重复试验中，每次试验可能有n种结果：A1，A2，…，An，且P(Aj)=pj，j=1，2，…，n，p1+p2+…+pn=1，以Xj(j=1,2,…，n)表示Aj在独立重复试验中出现的次数，以X表示在独立重复试验中Aj出现rj(j=1,…，n-1)次时的试验次数，则称X服从负多项分布，记为

X～NM(r1，…，rn-1;p1,…，pn-1).

设随机变量X～NM(r1,…，rn-1;p1，…，pn-1)，则X的可能取值为r1+…+rn-1，r1+…+rn-1+1，…，r1+…+rn-1+l,…，其中l≥0,rj≥1，j=1，…，n-1，其分布列为

(1)

下面给出特征函数的相关概念和性质[1].

定义2设X是一个实值随机变量，其分布函数为F(x)，则称eitX的数学期望E(eitX)为随机变量X或其分布函数F(x)的特征函数，记为φX(x)或φ(x)，即.

如果X是离散型随机变量，其分布列为

P(X=xj)=pj,j=1，2，…

(2)

则

(3)

性质1如果随机变量X有n阶(原点)矩，则它的特征函数可微分n次，并且有

E(Xk)=(-i)kφ(k)(0),k=1,2,…，n

(4)

成立.

性质2如果随机变量X1，X2，…，Xm相互独立，则

(5)

2 负多项分布的性质

2.1 特征函数

引理1[10]设随机变量X服从负多项分布，即X～NM(r1,…，rn-1；p1，…，pn-1)，其中rj≥1，0

(6)

定理1设随机变量X服从负多项分布，即X～NM(r1,…，rn-1，p1，…，pn-1)，其中rj≥1,0

(7)

证明已知负指数二项展开式

令x=q，得

(8)

由(3)、(6)、(8)式，得

={(P1+…+Pn-1)eit}r1+…+rn-1{1-(1-p1-…-pn-1)eit}-(r1+…+rn-1)

特征函数在概率论中是一个极其重要的分析工具，利用其定义和性质可以简化概率论中的许多定理证明过程，下面通过特征函数来研究负多项分布的数字特征和可加性.

2.2 数学期望

定理2设随机变量X服从负多项分布，即X～NM(r1，…，rn-1;p1，…pn-1)，其中rj≥1，0

(9)

证明记r1+…+rn-1=r0,p1+…+pn-1=p0,1-p0=q0，由(7)式得

2.3 方差

定理3设随机变量X服从负多项分布，即X～NM(r1，…，rn-1;p1，…，pn-1)，其中rj≥1，0

(10)

证明先求φ″(t)，记号r0，p0,q0同上，则

即(10)式成立.

注与文献[10]中的证明过程相比，定理2和定理3的证明过程更加简洁，计算量大大减少.

2.4 可加性

所谓随机变量的可加性，又称再生性，是指由有限个相互独立的、同分布的随机变量，其和也服从同类型的分布，且该分布中的参数是相应参数之和.如，二项分布、负二项分布、χ2-分布等均具有可加性[1]，本文接下来给出负多项分布在同参数p1,p2，…，pn-1下也具有可加性.

引理2(唯一性定理)[1]分布函数F1(x)与F2(x)相等的充要条件是它们的特征函数φ1(x)与φ2(x)相等.

证明用数学归纳法.

当m=2时，X=X1+X2，其中，X1～NM(s11，…，sn-1,1；p1，…，pn-1)，X2～NM(s12，…，sn-1,2;p1…，pn-1)，且相互独立.记p1+…+pn-1=p0,1-p0=q0，s11+s12=s01,s21+s22=s02，…，sn-1,1+sn-1,2=s0,n-1，则

由(5)式得

由引理2知，X～NM(s01,…，s0,n-1;p1，…，pn-1)，即X～NM(s11+s12，…，sn-1,1+sn-1,2;p1，…，pn-1).

其中，s11+…+s1k+s1,k+1=s01″，…，sn-1,1+…+sn-1，k+sn-1,k+1+s0,n-1″.即

由归纳法证得，对一切正整数m，负多项分布具有可加性.

2.5 概率的最大值点

负多项分布的概率取值有何规律，是否单调地增加，有没有最大值点出现，针对这些问题，通过分析得到以下结论.

定理6负多项分布的概率分布如(1)式所示，则

证明由

和

同时成立，解得

(11)

3 结论

本文主要讨论了负多项分布的特征函数、数学期望、方差、可加性等方面的性质，其中，特征函数是研究随机变量的一个简便而有效的工具[11，12]，本文以特征函数为工具改进了文献[10]中的定理证明过程；同时，还给出了该分布的概率最大值点，为实际应用中使用负多项分布的概率最大值或最大值点时提供了方便.从而，更全面的分析了负多项分布的性质，为研究基于伯努利试验的这一概率模型提供了理论依据.

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