机器人稳定性研究综述和展望

付贵永，周利坤

（武警工程大学 军交运输系，陕西 西安 710086）

1 机器人运动稳定性研究现状

现有文献中，对机器人倾覆稳定性的判别指标主要分为静态和动态两个方面。

1.1 静态稳定性判据

1.1.1 重心投影法

1968年，McGhee 和Frank 提出了重心投影法（CG Projection Method）［1］，首先定义一个稳定区域，即机器人各腿与地面的接触点构成的凸多边形。当机器人的质心水平投影位于凸多边形内部时，机器人处于静态稳定状态。但该方法只能作为平坦光滑地面上机器人的静态稳定性判别指标，而对于在不平坦的工作环境中运行的机器人，该方法则不适用于稳定性的判别。

1.1.2 静态稳定边界法

1979年，McGhee和Iswandhi提出了静态稳定边界法（Static Stability Margin，SSM）［2］。该方法定义的稳定区域为实际支撑区域的水平投影，在这个区域内，机器人的重心到各边界距离的最小值即为所表示的静态稳定裕量SSSM。

在此基础上，Song S.M，Waldron K.J提出了纵向 稳 定 边 界 法（Longitudinal Stability Margin，LSM）［3］，该方法表示的是在给定的支撑区域内，机器人机体重心的投影到支撑区域前、后边界的较小的纵向距离。但上述方法是建立在支撑图形的几何运算基础上，没有考虑势能等能量因素的影响，因而在判断过程中往往有失准确性。

1.1.3 能量稳定边界法

Messuri D.A 于1985年提出了一种更为准确的描述机器人在不平坦地面上的稳定性判别方法，即能量稳定边界法（Energy Stability Margin，ESM）［4］，其定义沿支撑区域的任一边界发生倾覆所要求的最小势能稳定裕量为：

其中：m 为机器人的质量；i为支撑多边形被视作旋转轴的边；hi为机器人沿不同支撑边界翻转时的重心位置提高量。该方法主要是给在惯性力作用下的步行机器人的抵抗能力以定量表示。

Nagy于1991 年提出了倾覆能量稳定边界法（Tip－over Energy Stability Margin，TESM）［5］，该 方法忽略了机器人本身质量的影响，只适合一些特殊的机器人稳定性判别。Hirose等人于1998年提出了能量稳定性边界法（Normalized Energy Stability Margin，NESM）［6］，其表达公式为：

该方法对能量的影响提出了更加准确、规范的表示，同时也考虑到机器人自重的影响，有较强的普适性。

1.2 动态稳定性判据

1.2.1 基于ZMP的稳定性判据

1970年，Vukobratovic提出了零力矩点（ZMP，Zero Moment Point）法［7］，用来判别拟人机器人运动的稳定性。该方法认为如果地面上存在某一点，而重力、外力和惯性力对该点的合力矩为零，则称该点为零力矩点（ZMP）。如果ZMP 在支撑区域内，则机器人是稳定的。刘宇红，张明路［8］等人通过对ZMP 稳定区域移动机械手的稳定性分析得出，可以通过在适当的时候调节移动机械手来改变整体质心位置，进而减小实际ZMP和期望ZMP两者之间的误差，有效地阻止移动机械手的倾翻，或使移动机械手从即将发生的倾翻中恢复过来。

文献［9］通过力／力矩传感器测量双足机器人足底与地面的接触力和力矩的大小，进而分析机器人大腿和双腿支撑时的作用范围，在二维平面和三维空间内通过相关公式计算出ZMP 的位置，为机器人的稳定步态设计奠定了理论基础。

1.2.2 压力中心法

1976年，Orin提出动态稳定性判别的压力中心法（Center of Pressure Method，CoP）［10］，认为步行机器人单脚掌与地面接触时，若脚掌受到的压力与作用于某一点的合外力等同，且在该点平行于脚掌方向上的合力矩为零，则该点为CoP点。当CoP点在与地面接触的脚掌区域内部时，则机器人处于稳定状态。1997年，Kang等人提出了有效质量中心方法（Effective Mass Center，EMC）［11］，认为地面作用反力和合力矩消失时的点为有效质量中心点，相当于机器人的零力矩点。田云锋，王志良［12］等人通过对压力中心法的研究，在机器人脚底加入力传感器，设计了一种简化的在线稳定性判别方法，并将以上两种判稳性检测方法应用到了实际机器人的控制当中。

1.2.3 动量矩判别法

1993年，Lin 和Song 提出了动态稳定边界法（Dynamic Stability Margin，DSM）［13］，认为在支撑区域内，所有旋转轴中力矩的最小值为：

其中：Pi为质心到第i条支撑腿的位置向量；ei为指向第i条支撑腿并绕支撑边界顺时针方向的单位向量；FR和MR分别为机器人与地面间的作用力和力矩。假如所有的力矩相对ei是正的，那么系统就是稳定的。

Yoneda和Hirose认为，假如存在任何支撑腿在旋转方向上阻止系统倾倒，机器人则处于动态稳定状态，进而提出倾倒稳定边界法（Tumble Stability Margin，TSM）［14］，数学表达式为：

其中：Mi为绕第i条支撑腿旋转的力矩。

1.2.4 力－角判别法

1996年，Papadopoulos和Rey提出了力－角稳定性度量法（Force Angle Stability Measure，FASM）。它用一个标量值对机器人的倾翻稳定性进行判别，数学表达式为：

通过分析，以上几种静态和动态稳定性判据都有一定的适用范围，其适用情况见表1。表1 中，N 为否，Y 为是，√为判据是有效的，×为判据是无效的，○为判据是最适宜的。

由表1可以看出：在平坦路面上，无惯性力和外载荷时，FASM 和NESM 是最适宜的，其他判据也是有效的；当有惯性力影响时，FASM 是最适宜的，除SSM 和NESM 外其他判据也是有效的；有惯性力和外载荷时，SSM 和NESM 无效，其他判据均有效，但没有一种最适宜的判据；在不平坦路面上，无惯性力和外载荷时，NESM 是最适宜的，其他判据均有效；在不平坦路面上，当有惯性力或另有外载荷影响时，除SSM 和NESM 外其他判据均有效，但没有一种最适宜的判据。

1.2.5 李雅普诺夫稳定性分析理论

李雅普诺夫稳定性分析或第二类李雅普诺夫方法，即通过构造一个类似“能量”的李雅普诺夫函数，并分析该函数和它的一次导数的正定性，而后进行稳定性的判别。它不需要求解微分方程即可判断系统稳定性，但它通常无法提供有关瞬时响应或系统性能的信息，因而相较于其他几种方法，李雅普诺夫稳定性理论的普适性还没有达到研究人员的期望要求，仍需进一步探索研究。

表1 稳定性判据适用性对比表

2 机器人运动稳定性的研究前景

2.1 稳定性判据的综合应用

目前对机器人进行运动稳定性分析时，所采用的稳定性判据较为单一，而且往往需要对机器人的运动进行简化，从而忽略了其他稳定性影响因素，其实际应用价值不能达到预期效果。机器人在较复杂的非结构环境中运动时，运行路况、外载荷、惯性力等都制约着机器人的稳定性分析结果的准确性。因此，应对现有的稳定性判据进行综合分析，从而得出多种稳定性判据的共性影响因素，同时对外载荷、惯性力等影响因素进行权重分析，在对机器人的运动稳定性进行分析时，可以考虑模块化研究，各模块运用适合其运动状况的判据，而后根据权重分析，从而得出较为准确的分析结果。

2.2 非线性动力系统稳定性的研究

目前对机器人运动稳定性进行分析时，往往采用线性模型、降阶的方法，得出一个近似结果进行判别，但线性方法只能适应系统在平衡点小范围内的运动稳定性，不能准确描述机器人的运动稳定性。严格意义上，非线性问题在客观现实中是普遍存在的，而在研究过程中，对于实际中的非线性问题，通常采用线性化处理进行简化，结果将许多非线性现象过滤掉，从而使简化后的问题与原始问题不能拓扑等价，因而非常有必要进行非线性建模和分析。机器人运动灵活，自由度较多，是一种典型的非线性运动，因此未来针对机器人的稳定性研究应与非线性动力学结合起来，进而得出与实际运动状态更为契合的判别结果。

2.3 混沌理论在稳定性研究中的应用

混沌现象的发现使人们认识到客观事物的运动不仅是定常、周期或准周期的运动，而且还存在着一种具有更为普遍意义的形式，即无序的混沌。机器人在非结构环境中工作，周围复杂环境的影响和自身运动的复杂性，在某个瞬时其运动状态极易产生突变，甚至影响系统的稳定性，因此，在分析研究机器人的运动稳定性时，确定性的非线性系统中自身扰动和非确定性的非线性系统的外部扰动所产生的随机现象也应是今后研究的重点，即从混沌理论出发，从无序的状态中寻求有序，使运动稳定性的研究更加具有普遍适用意义。

3 结论

目前机器人的运动稳定性理论研究已经取得了较大进展，但主要集中于机器人的静态稳定性研究，动态稳定性判据多数只是针对于特殊机器人在特殊环境中的运动稳定性分析，普适性的动态稳定性判据较少。随着科技的不断发展，机器人在非结构环境下的工作必然成为其发展的主要趋势。因此，非线性动力系统稳定性理论和混沌、分岔理论必将成为机器人稳定性分析的关键理论基础。

［1］ McGhee R，Frank A.On the stability properties of quadruped creeping gaits［J］.Mathematical Biosciences，1968，3（3）：331－351.

［2］ McGhee R，Iswandhi G I.Adaptive locomotion for a multi legged robot over rough terrain［J］.IEEE Trans on Systems，Man，and Cybernetics，1979，9（4）：176－182.

［3］ Song S M，Waldron K J.Machines that walk：adaptive suspension vehicle［M］.Cambridge，MA：MIT Press，1989.

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［13］ Lin B S，Song S M.Dynamic modeling，stability and energy efficiency of a quadrupedal walking machine［C］／／IEEE Conference on Robotics and Automation.Atlanta：［s.n.］，1993：367－373.

［14］ Yoneda K.，Hirose S.Three－dimensional stability criterion of integrated locomotion and manipulation［J］.Journal of Robotics and Mechatronics，1997，9（4）：267－274.