代数体函数公共值的相对亏值

梁美丽

(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)

1 引言及主要定理

W(z)是由方程

所定义的v 值代数体函数，其中Aj(z)(j =0，1，…，v)为|z| ＜∞内的整函数，它们没有公共零点. 当v=1 时，W(z)就是亚纯函数;当Av(z)≡1 时，称W(z)为整代数体函数;当Aj(z)(j=0，1，…，v)中至少有一个为超越整函数时，称W(z)为超越代数体函数;当Aj(z)(j =0，1，…，v)均为多项式时，称W(z)为代数函数. 关于代数体函数的亏值，目前虽然已经进行了不少研究［1－5］. 但对于公共值的相对亏值鲜有结果，本文对这个问题进行了探讨，推广了SINGH［6－7］关于亚纯函数的结果.

下文将直接引用文献［8］中的符号和术语，如T(r，W)，N(r，W)，ˉN(r，W)等. 文中S(r，W)=o(T(r，W))(r→∞)，表示至多除去线性测度有限的集合.

设W(z)为由方程(1)定义的v 值代数体函数，称

为a 关于导函数W(k)的相对亏值与绝对亏值.

设M(z)为由方程

定义的v 值代数体函数，其中Bv(z)，Bv－1(z)，…，B0(z)为|z| ＜∞上没有公共零点的整函数.

令n0(r，a)为|z|≤r 内W(z)=a 与M(z)=a的公共根个数，计重数.(r，a)为|z|≤r 内W(z)=a 与M(z)=a 的判别的公共根的个数.

Θ0(a)(a)可类似定义.

本文主要得到如下结果:

定理1 令W(z)与M(z)为2个非常数有穷级v 值代数体函数，且满足

则对∀a≠0，∞，有

定理2 设W(z)与M(z)为非常数有穷级v 值代数体函数，且

则对2v个非零复数ai(i=1，2，…，2v)，有

定理3 设W(z)与M(z)为非常数有穷级v 值代数体函数，且

其中l≥1. 则有

2 定理的证明

定理1 的证明 对代数体函数W(z)及复数a≠0，∞.考虑下面的等式

应用对数导数引理，

由代数体函数第一基本定理，有

因此

由于

将式(3)～(6)代入式(2)，得

同理上式对M(z)也成立，于是

两边同除以T(r，W)+T(r，M)并取上极限，则得

即

定理2 的证明 对代数体函数W(z)，有

由代数体函数的第一与第二基本定理，有

进而

同理式(7)对M(z)亦成立. 由于

所以

两边同除以T(r，W)+T(r，M)且取上极限，则得

亦即定理3 的证明 由于W(z)与M(z)均为有穷级的，则有

于是

因为T(r，W')～lT(r，W)，所以

上式对M(z)同样成立，故

两边同除以T(r，W)+T(r，M)且取上极限，即有

［1］GU Rongxing. The growth of algebroid functions with several deficient values［J］.Contemporary Math，1983，25:45－49.

［2］YANG Lianzhong. Sums of deficiencies of algebroid functions［J］. Bull Austral Math Soc，1990，42(1):191－200.

［3］YANG Lianzhong. Further results on the deficiencies of algebroid functions［J］. Bull Austral Math Soc，1993，47(2):341－346.

［4］庞学诚，黄裕民. 关于代数体函数的亏值［J］.华东师范大学学报:自然科学版，1994(2):28－34.

［5］杨连中. 关于代数体函数的亏量［J］. 系统科学与数学，1997，17(4):338－344.

［6］SINGH A P. Relative defects of meromorphic functions［J］. J Ind Math Soc，1979，44:191－202.

［7］SINGH A P. Relative defects corresponding to the common roots of two meromorphic functions［J］. Kodai Math J，1983，6:333－339.

［8］何育赞，肖修治. 代数体函数与常微分方程［M］. 北京:科学出版社，1988.