船用斜齿轮时变接触线对齿面摩擦力及摩擦扭矩的影响研究

李文良，王黎钦，常 山

（1哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨150001；2中船重工第703研究所，哈尔滨150078）

1 引 言

船用齿轮正朝着高速、高效和大功率密度方向发展。传动系统传递的功率不断增大，齿轮转速不断加快，不仅使得齿轮箱的振动和噪声问题更加尖锐突出，同时也影响了整套机组的安全性和稳定性。斜齿轮接触线的时变性会引起齿轮啮合刚度、齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩的变化，是振动和噪声的重要激励源之一[1-2]。国内对时变啮合刚度研究较多，对齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩这一方面研究几乎未见报道。齿轮系统动力学在建立数学模型时需考虑多方面的啮合特性[3-4]，但更多的没有考虑齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩的影响。Velex和Cahouet[5]研究发现，低速时轴承的支撑力变化比高速时明显，这主要是由于齿轮啮合时产生较大的齿面摩擦扭矩所致。Lundvall[6]等利用有限元法研究直齿轮的摩擦影响后得知，由于时变摩擦扭矩的作用使得系统输入输出扭矩不再是常量，并且由于齿面摩擦力的存在产生了切向位移由此引起时变的动态传递误差。Vaishya和Singh[7]研究表明，相比于齿面摩擦力的幅值，齿面摩擦力的波动是齿轮系统动力学响应的主要影响因素。由此可见，摩擦力的波动是影响齿轮系统振动噪声的重要原因，齿面摩擦对齿轮的动力学特性有着很大的影响，其研究有着重要意义。

本文利用数学公式结合软件编程数值计算斜齿轮一个端面齿距内的接触线长度，在此基础上计算接触线与节圆柱的位置变化关系用以计算主动轮齿面摩擦力和齿面摩擦扭矩。数学模型使用方便，能够快速计算齿面接触线的长度、主动轮齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩，为工程应用提供帮助。

2 计算模型建立

本文以数值方法结合编程计算斜齿轮在一个端面齿距内的时变接触线长度、接触线与节圆柱的位置关系以及摩擦力臂的变化。方法简单方便，计算快速具有很大的工程应用性。计算流程如图1所示。

图1 算法流程图Fig.1 The diagram of algorithm

计算值以矩阵形式输出，共四列，第一列是用来计算接触线的长度；第二列用来计算接触线被节圆柱所截后两段线段长度用以计算齿面摩擦力；第三列和第四列计算齿面摩擦扭矩。

2.1 主动轮齿面摩擦力计算

当接触线位于节圆柱以外定义摩擦力是正值，位于节圆柱以里摩擦力是负值，其方向垂直于接触线。齿面摩擦力是作用在接触线上的，接触线的变化必然会引起摩擦力的变化。本文采用国标GB/T6413-1986[8]计算齿面摩擦系数，如公式（1）：

式中：ωt为单位齿宽载荷（N）；Ra为沿齿廓方向的齿面轮廓算数平均偏差（μm）；ηM为润滑油在本体温度下的动力粘度（mPa·s）；υΣ为两齿轮在啮合点处齿廓切线方向速度之和（m/s）；ρred为两齿廓在端面啮合点处综合曲率半径（mm）。

第i条接触线上的摩擦力计算公式[9]：

式中：F为作用在斜齿轮上的法向力（N）；L为该时刻接触线总长（mm）；△Li为第i条接触线被节圆柱所截两段线段长度之差（mm）。

则某时刻n条接触线总的摩擦力为：

2.2 主动轮齿面摩擦扭矩计算

当齿面摩擦扭矩有助于齿轮转动时定义为正值，反之则是负值。作用在第i条接触线上的齿面摩擦扭矩计算公式为[9]：

式中：Li1、Li2分别为ti时刻接触线被节圆柱所截两段线段中右侧和左侧线段长度；li1、li2分别为ti时刻接触线被节圆柱分成两段中右侧子线中点和左侧子线中点分别到啮合面右端面距离；

式中：ra为主动轮齿顶圆半径（mm）；r为主动轮节圆半径（mm）；φt为端面压力角（°）。则总的齿面摩擦扭矩公式为：

3 主动轮齿面接触线、摩擦力及摩擦扭矩的计算结果

以船舶某型号齿轮箱内的一对外啮合斜齿轮副为例计算，其参数如表1所示。齿轮副工况参数如表2所示。

表1 斜齿轮副参数Tab.1 The parameters of gear pair

表2 齿轮副工况参数Tab.2 The condition parameters

在螺旋角常用范围10°-30°范围内间隔2.5°选择螺旋角计算时变接触线、齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩。

3.1 时变接触线计算结果

图2是一个端面齿距内不同螺旋角时变接触线长度的变化曲线，图3是一个端面齿距内不同螺旋角时变接触线长度的均方根变化曲线，图4是一个端面齿距内不同螺旋角时变接触线长度的波动率曲线。

3.2 主动轮齿面摩擦力计算结果

图5是一个端面齿距内不同螺旋角的齿面摩擦力的变化曲线，图6是一个端面齿距内不同螺旋角齿面摩擦力均方根变化曲线，图7是一个端面齿距内不同螺旋角齿面摩擦力的波动曲线。

图2 螺旋角对接触线总长影响曲线Fig.2 Dependence of contact line length on time with different helix angles

图3 螺旋角对接触线均方根影响曲线Fig.3 The root mean square of contact line length with different helix angles

图4 螺旋角对接触线波动率影响曲线Fig.4 Volatility of the length of contact line with different helix angles

图5 螺旋角对齿面摩擦力影响曲线Fig.5 Dependence of friction force on time with different helix angles

图6 螺旋角对齿面摩擦力均方根影响曲线Fig.6 The root mean square of friction force with different helix angles

3.3 主动轮齿面摩擦扭矩计算结果

图8是一个端面齿距内不同螺旋角的齿面摩擦扭矩的变化曲线，图9是一个端面齿距内不同螺旋角齿面摩擦扭矩均方根变化曲线，图10是一个端面齿距内不同螺旋角齿面摩擦扭矩的波动曲线。

图7 螺旋角对齿面摩擦力波动率影响曲线Fig.7 Volatility of friction force with different helix angles

图8 螺旋角对齿面摩擦扭矩影响曲线Fig.8 Dependence of friction torque on time with different helix angles

图9 螺旋角对齿面摩擦扭矩均方根影响曲线Fig.9 The root mean square of friction torque with different helix angles

图10 螺旋角对齿面摩擦扭矩波动率影响曲线Fig.10 Volatility of friction torque with different helix angles

4 计算结果分析

由图3中可知，随着螺旋角的增大接触线的均方根变小，这是因为螺旋角变大，使得基圆螺旋角变大，啮合面的宽度变小，端面齿距变大导致接触线的条数变少长度变短以致接触线的总和变小。时变接触线波动受到啮合面内齿轮啮合初始时刻接触线位置影响，不同螺旋角时变接触线的波动值如图4所示。在变化螺旋角的情况下考察时变接触线长度对主动轮齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩的影响。图5至图10是齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩在一个端面齿距内的变化曲线、均方根以及波动率。通过比较均方根值以及波动率的变化分析时变接触线对其影响。

从图2、图5以及图8中提取时变接触线、齿面摩擦力以及摩擦扭矩的最大值与最小值，具体值如表3所示。

从表3中可知，在本文所选的螺旋角参数范围内，12.5°和15°的齿面摩擦力幅值变化较大，这是因为在图4中这两个螺旋角的时变接触线的波动值在所选的参数范围内是最大的，导致时变接触线的变化较大，从而导致公式（2）中△L变化较大，最终导致齿面摩擦力变化较大。表3中螺旋角为20°和30°时齿面摩擦力的幅值变化较小，这是因为在图4中时变接触线的波动率也是最小的。由此可见，时变接触线的波动直接影响到齿面摩擦力的变化。图6中齿面摩擦力的均方根在12.5°和15°是最大的，这是因为时变接触线的这两个值的波动率最大导致齿面摩擦力变大，最终导致均方根变大。螺旋角为20°和30°的齿面摩擦力的均方根值是最小的，这是因为在这两个值的时变接触线的波动最小。齿面摩擦力的均方根在本文选定的参数范围内最大值最小值之差达到4.41N，占到摩擦力均方根最大值的44%。图7是齿面摩擦力在不同螺旋角的波动曲线，螺旋角为12.5°的齿面摩擦力的波动最大，螺旋角为10°、20°和30°时齿面摩擦力的波动率最小，这与时变接触线的波动率变化基本一致。

齿面摩擦扭矩受到时变接触线总长度以及每条接触线与节圆柱的位置关系以及力臂等多方面因素的共同影响变化较为复杂。图9是不同螺旋角齿面摩擦扭矩均方根的变化曲线，螺旋角为12.5°和15°时齿面摩擦扭矩均方根是最大的，螺旋角为20°和30°时齿面摩擦扭矩的均方根是最小的，齿面摩擦扭矩的最大值与最小值之差达到91.58N·mm，占到均方根最大值的1.0%。齿面摩擦扭矩的均方根变化规律与时变接触线的波动变化规律基本一致，说明时变接触线的波动在众多影响因素中对齿面摩擦扭矩均方根的影响是起主导作用的。图10是齿面摩擦扭矩的波动变化规律曲线，从图中可知，12.5°、15°的波动值是最大的，10°、20°以及30°的齿面摩擦扭矩的波动值是最小的，最大值最小值的波动之差达到近30%。且变化规律与时变接触线的波动以及齿面摩擦力的波动变化规律是一致的，由此可知时变接触线长度的波动直接影响到齿面摩擦扭矩的变化。

表3 接触线、摩擦力及摩擦扭矩幅值对比图Tab.3 Result comparision with contact line friction force and friction torque

5 结 论

通过上述分析可以得出如下结论：

（1）通过对齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩的波动分析后发现，时变接触线的波动是齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩波动的重要原因，三者波动规律基本一致。

（2）在本文所选的参数范围内，时变接触线、齿面摩擦力以及齿面摩擦扭矩波动呈现出10°-20°以及20°-30°的变化规律，10°、20°以及30°的齿面摩擦力和齿面摩擦扭矩的波动是较小的，上述可为工程优化设计提供理论依据。

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[6]Lundvall O,Stromberg N,Klarbring A.A flexible multi-body approach for frictional contact in spur gears[J].Journal of Sound and Vibration,2004,278(3):479-499.

[7]Vaishya M,Singh R.Strategies for modeling friction in gear dynamics[J].ASME Journal of Mechanical Design,2003,125:383-393.

[8]中华人民共和国国家标准.GB/T 6413-1986渐开线圆柱齿轮胶合承载能力计算方法[S].1986.GB/T 6413-1986 Calculation of scuffing load capacity for involute cylindrical gears[S].The People’s Republic of China,1986.(in Chinese)

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