确定空间分布的展向Lorentz力作用下槽道湍流的壁面减阻

郭春风，范宝春

（南京理工大学 瞬态物理国家重点实验室，南京210094）

1 引 言

运动物体因阻力作用而消耗了大量的能量，减阻是节约能源的重要方法之一。为此，人们提出了各种减阻方法和技术[1-3]。

当电极和磁条组成的电磁板被激活时，在弱电介质溶液（如海水）中，可形成电磁力（Lorentz力），它可以改变流动速度，控制边界层流动。通过改变电极和磁条的排布方式，可产生不同方向的电磁力；通过改变电极上的通电方式，可产生振荡、行波等多种形式的电磁力；通过电磁板的组装可实现多种控制策略。由于电磁力控制比较容易实现且方式灵活多样，故壁湍流的电磁控制的研究受到特别的关注[4-7]。

通常采用展向电磁力来控制壁湍流，该电磁力可以随时间振荡，即振荡电磁力

式中：A是电磁力的强度，T是电磁力的振荡周期，t为时间，△是电磁力的穿透厚度。此类Lorentz力，大小在法向呈指数衰减，并随时间呈正弦变化。Pang[8]，Breuer[9]和梅栋杰等[10]的实验研究表明，此类电磁力具有减阻功能，其减阻效果与电磁力的强度（即振幅）和振荡频率有关。Berger[11]，Du[12]和梅栋杰等[13]对该问题进行了数值模拟，同样证实了展向振荡电磁力的减阻功能。

电磁力也可以行波方式存在，流向行波电磁力

式中：Lx为流向特征长度，kx为流向波数。黄乐萍等[14]对此类Lorentz力的流动控制问题进行了数值模拟，结果表明，流向行波电磁力同样可以减阻，并且存在优化参数，使壁面阻力最小。

以上电磁力皆随着时间变化，另一类电磁力为仅空间分布的电磁力，此类电磁力则更为简单，也更易在实验室实现。例如，仅在流向正弦分布的电磁力

Berger[15]通过数值模拟，简单地叙述了此类电磁力减阻的可能性，但未对其减阻过程和机理等作进一步的讨论。鉴于空间分布的电磁力在实施时的方便性以及相关研究并未深入开展的现状，本文将壁湍流的控制过程视作是由电磁力诱导的流场对壁湍流固有流场的调制过程，根据直接数值模拟的计算结果，通过讨论因调制而导致的诱导流场和固有流场的变化以及雷诺（Reynolds）应力分布的变化，探讨空间分布电磁力的壁面减阻机理。计算结果还表明，存在最优参数组合，其减阻效果最好。

2 数值方法

无量纲形式的不可压缩流体的N-S方程

体积力

式中：u为速度矢量，p为压强，ν为运动粘性系数。

利用谱方法求解上述方程，流向和展向用Fourier变换，采用周期性边界条件，法向则用Chebyshev变换，采用无滑移壁面条件[16]。方程（5）中的时间项，采用三阶精度的半隐式后差分格式；右边的线性项和压力项，通过影响矩阵法和Chebyshev-tau方法联立求解，用以消除残余散度[17]；还利用3/2规则，消除非线性项的混淆误差[18]。计算区域为4π/3×2π/3×2（流向×展向×法向），对应的网格点为64×32×65，Re=4 000。

本文计算的终了时间为t=1 000。当t=300时，用于形成湍流的流场初始扰动的影响基本消除，此时开始电磁控制，t=500时，开始对湍流量进行统计。

3 结果和讨论

对于公式（3）描述的流向呈正弦分布的展向电磁力，振幅A和波数kx是两个重要参数，其大小将影响电磁力对壁湍流控制的效果，下面将分别进行讨论。

3.1 A不变时，kx对减阻的影响

定义减阻率

其中：＜τw＞表示控制情况下壁面摩擦应力的平均值，＜τwn＞表示未控制情况下壁面摩擦应力的平均值。

先讨论A=1.0不变时，kx的变化对减阻效果的影响。图1是A=1.0时，减阻率随kx的变化图，由该图可知，当A/kx≈0.3时，壁面的减阻率最大。

图1 减阻率随kx的变化Fig.1 Drag reduction ratio vs kx

展向电磁力作用下，流场产生展向运动，故可用展向速度分布来描述电磁力诱导的流场。而壁湍流的主要特征则表现为周期出现的用条带和流向渦描述的拟序结构。图2为不同波数的电磁力作用下，壁湍流的流场变化图。图中第一列为y+=5.4处，展向速度分布图，用来描述诱导流场，其中深色和浅色分别表示正向和负向速度。第二列为y+=5.4处的流场的条带分布图，其中白色表示高速条带（u′＞0），黑色为低速条带（u′＜0）。第三列为近壁区的涡结构，其中图（a）对应0＜y+＜120，图（b）-（f）对应0＜y+＜40。第二列和第三列用来描述固有湍流流场。

图2 诱导流场和固有流场间的相互调制Fig.2 Intermodulation of the intrinsic and induced flows

图2（a）为湍流无电磁控制情形，此时不存在诱导流场，展向速度分布是随机的、不规则的，而条带和流向涡都具有壁湍流的典型特征。电磁控制后的流场变化如图2（b）-（f）所示。第1列,对于低频波，随着波数kx的增加，展向速度逐渐呈现有序分布，正、负展向速度区域渐成矩形，数目与波数kx相同，kx=3时，矩形形状最为规则，参见图（b）-（d）。随着波数的进一步增加，正、负速度区域之间渐趋模糊，如图（e）-（f）所示。第2列，对于低频波，条带出现幅度较大的弯曲，且随着波数的增加，条带弯曲程度增大，条带强度减弱，高速条带所占比例减小，低速条带所占比例增大，kx=3时，条带弯曲程度最大，条带强度最弱，高速条带所占比例最小，低速条带所占比例最大，如图（b）-（d）所示。当波数进一步增加时，条带的大幅弯曲逐渐消失，逐渐变直，其强度又逐渐增加，高速条带所占比例增大，低速条带所占比例减小，如图（e）-（f）所示。第3列，随着波数的增加，流向涡弯曲而有序排列，流向涡减少，kx=3时，流向涡最少，流向涡弯曲排列最有序，如图（b）-（d）。当波数的进一步增加时，流向涡重新增多且无序排列，如图（e）-（f）。

流场中雷诺（Reynolds）应力的大小可以反映湍流的强弱。根据脉动速度u和v的符号，可将其分为四个象限。第I象限（u＞0，v＞0）表示高速流体向上运动；第II象限（u＜0，v＞0）称为上抛运动（ejection），该过程将近壁的低流体带离壁面；第III象限（u＜0，v＜0）表示低速流体的向下运动；第IV象限（u＞0，v＜0）称为下扫运动（sweeping），该过程将上层高速运动的流体带向壁面。流向渦导致的上抛（ejection）和下扫（sweep）贡献了60%－80%的Reynolds应力，成为湍流产生的主要活动。尤其是下扫（sweep），将主流体的能量带至壁面从而使壁面阻力增加。

如图3所示脉动速度（u，v）在壁面y+=5.4（y=0.03）处的分布，其中Reynolds应力在四个象限的分布概率分别为图（a）13.8%、37.2%、19.1%和29.8%；图（b）16.9%、34.3%、20.9%和27.8%；图（c）11.7%、38.9%、27.3%和22.1%；图（d）0.7%、49.3%、48.0%和2.0%；图（e）8.2%、39.4%、42.0%和10.4%；图（f）14.8%、34.5%、30.7%和19.9%。这说明，在诱导流场调制下，固有流场的Reynolds应力在四个象限的分布被重新调整了，如图（b）-（d），随着波数kx从1增加到3时，I和III象限活动明显增加，IV象限活动明显减少，II象限概率变化不大，四个象限活动强度明显减弱。如图（e）-（f），随着波数kx从3进一步增加到20时，IV象限活动明显增多，四个象限活动强度明显加强。kx=3时，四个象限活动强度最弱，IV象限活动最少。

图3 雷诺应力在四个象限的分布概率Fig.3 Distribution probability of quadrant-averaged Reynolds stresses

如图4为在不同波数的电磁力作用下，雷诺应力在四个象限的分布剖面。当波数kx从1增加到3时，雷诺应力在II象限（流体上抛）和IV象限（下扫运动）强度减弱。随后，随着波数的增加，II象限和IV象限的强度增强，即在kx=3时，雷诺应力在II象限和IV象限强度最弱。

壁面阻力与雷诺应力在四个象限（特别是IV象限）的分布概率以及分布强度有关。由于kx=3时，雷诺应力在第IV象限的分布概率最小，雷诺应力在II象限和IV象限强度最弱。最终，还是kx=3时壁面阻力最小。

图4 雷诺应力及其在四个象限的分布剖面Fig.4 Distribution profile of total and quadrant-averaged Reynolds stresses

3.2 kx不变时，A对减阻的影响

图5是kx=3时，减阻率随A的变化图，由该图可知，当A/kx≈0.3时，壁面的减阻率最大。

图5 减阻率随A的变化Fig.5 Drag reduction ratio vs A

图6 诱导流场和固有流场间的相互调制Fig.6 Intermodulation of the intrinsic and induced flows

图6为kx=3时在不同强度的电磁力作用下，壁湍流的流场变化图。图中第一列为y+=5.4处，展向速度分布图，第二列为y+=5.4处的流场的条带分布图，第三列为近壁区的涡结构。由图可见，随着强度A的增加,展向速度分布逐渐有序，正、负展向速度区域渐成矩形，A=1.0时，矩形最为规则。然后，随强度A的进一步增加，又由规则向不规则演变。条带的强度由强变弱，再由弱变强，高速条带所占比例由多变少，再由少变多，低速条带所占比例由少变多，再由多变少，A=1.0时，条带强度最弱，高速条带所占比例最小，低速条带所占比例最大。流向涡也在A=1.0时最少。

如图7所示脉动速度（u，v）在壁面y+=5.4（y=0.03）处的分布，其中Reynolds应力在四个象限的分布概率分别为图（a）13.8%、37.2%、19.2%和29.8%；图（b）13.1%、37.6%、19.7%和29.4%；图（c）4.1%、45.5%、37.7%和12.7%；图（d）0.7%、49.3%、48.0%和2.0%；图（e）14.5%、36.2%、26.7%和22.6%；图（f）20.0%、31.1%、21.8%和27.0%。随着强度A的增加,变化规律与图2类似，A=1.0时，四个象限活动强度最弱，IV象限活动最少。

图7 雷诺应力在四个象限的分布概率Fig.7 Distribution probability of quadrant-averaged Reynolds stresses

如图8为kx=3时在不同强度的电磁力作用下，雷诺应力及其在四个象限的分布剖面。随着强度A的增加，变化规律与图2类似，在A=1.0时雷诺应力在II象限和IV象限强度最弱。

图8 雷诺应力及其在四个象限的分布剖面Fig.8 Distribution profile of total and quadrant-averaged Reynolds stresses

由于A=1.0时，雷诺应力在第IV象限的分布概率最小，雷诺应力在II象限和IV象限强度最弱。最终，还是A=1.0时壁面阻力最小。

3.3 减阻的最优组合参数值

对于组合参数A/kx，表1为对应于不同值的平均壁面减阻率。结果表明，当满足如下关系式时可获得40%左右的最佳减阻效果：

表1 不同组合参数值的壁面减阻率Tab.1 Wall drag reduction rate versus A and kx

4 结 论

本文利用Fourier-Chebyshev谱方法，研究了流向呈正弦分布的展向电磁力作用下槽道湍流的壁面减阻。结果表明，此类Lorentz力可以有效控制壁湍流，并在控制参数A/kx≈0.3时，减阻效果最佳。

展向电磁力对湍流的控制过程，实质上是一种由电磁力诱导的流场对壁湍流的调制过程。当电磁力的组合参数为优化值时，在诱导流场的调制下，壁湍流的流向渦结构减少和条带强度变弱，高速条带所占比例减小，低速条带所占比例增大，Reynolds应力变小，流场被部分层流化，这导致壁面阻力的下降。

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