坡代数上的模糊软子坡

赵 虎,李生刚,陈桂秀,2

(1.陕西师范大学 数学与信息科学学院,西安 710062;2.青海师范大学 数学系,西宁 810008)

0 引言与预备知识

模糊集、 粗糙集、 Vague集等理论在处理不确定性问题时,都具有参数工具理论不充分的缺陷,为此,Molodtsov[1]提出了基于参数集软集的概念.目前,软集[2]已应用于决策分析[2-3]、 模糊软集[4]、 模糊软群[5]和模糊软半群[6]等诸多领域.文献[7-12]给出了坡代数和软集合上的结构研究.基于此,本文以模糊软集为工具,给出了坡代数上模糊软子坡的概念,并对其性质进行研究.此外,定义了坡代数上模糊软子坡间的模糊软同态和模糊软同构,给出了坡代数上模糊软子坡的同构像定理和同态逆像定理,证明了坡代数上的模糊软子坡范畴是坡代数范畴上的拓扑范畴.

定义1[4]X上的一个模糊软集是一个偶对(f,A)(这里A⊆E且E是一个非空参数集),且f:A→IX是一个映射,即对于每个e∈A,f(e)=fe:X→I是X上的模糊集合.

定义2[4]设X上的两个模糊软集为(f,A)和(g,B),如果(f,A)和(g,B)满足: 1)A⊆B;2) ∀e∈A,fe≤ge.则称(f,A)是(g,B)的模糊软子集,即fe是ge的模糊子集,记为(f,A)⊆(g,B).

定义3[4]设(f,A)和(g,B)是X上的两个模糊软集,如果(f,A)⊆(g,B)且(g,B)⊆(f,A),则称(f,A)和(g,B)是相等的模糊软集.

定义4[4]设(f,A)和(g,B)是X上的两个模糊软集,如果C=A∪B,且

则称(f,A)和(g,B)的并是一个模糊软集(h,C).记为(f,A)∪(g,B)=(h,C).

定义5[4]设(f,A)和(g,B)是X上的两个模糊软集,如果C=A∩B且he=fe∧ge(∀e∈C),则称(f,A)和(g,B)的交是一个模糊软集(h,C),记为(f,A)∩(g,B)=(h,C).

定义7[5]设(f,A)和(g,B)分别是X和Y上的模糊软集,Ξ是X到Y的函数,Θ是从参数A到参数B的函数,定义(Ξ,Θ)如下：(Ξ,Θ)(f,A)=(Ξ(f),Θ(A)),这里Ξ(f)a满足：对于∀a∈Θ(A)及∀y∈Y,

定义(Ξ,Θ)-1(g,B)=(Ξ-1(g),Θ-1(B)),这里Ξ-1(g)e(x)=gΘ(e)(Ξ(x))(∀e∈Θ-1(B),∀x∈X).此时称偶对(Ξ,Θ)是从X到Y上的模糊软函数,并称(Ξ,Θ)(f,A)是(f,A)在模糊软函数(Ξ,Θ)下的像,(Ξ,Θ)-1(g,B)是(g,B)在模糊软函数(Ξ,Θ)下的原像.

定义9[14]设X是一个集合,若+和·是X上的两个二元运算且满足下列条件,则称(X,+,·)为坡代数:

1)x+y=y+x(∀x,y∈X);

2)x+(y+z)=(x+y)+z(∀x,y∈X);

3)x·(y·z)=(x·y)·z(∀x,y,z∈X);

4)x·(y+z)=(x·y)+(x·z)(∀x,y,z∈X);

5) (y+z)·x=(y·x)+(z·x)(∀x,y,z∈X);

6)x+x=x(∀x∈X);

7)x+(x·y)=x(∀x,y∈X);

8)y+(x·y)=y(∀x,y∈X).

定义10[14]设(X,+,·)为坡代数,S⊆X,I⊆X,F⊆X.

1) 在X上定义关系≤如下: 对任意的x,y∈X,x≤y当且仅当x+y=y,则≤是X上的一个偏序关系;

2) 若对任意的x,y∈S都有x+y∈S,x·y∈S,则称S为X的子坡代数;

3) 若I是X的子坡代数并且是一个下集,则称I为(X,+,·)的理想;

4) 若F是X的子坡代数并且是一个上集,则称F为(X,+,·)的滤子.

定义11[14]设(X,+,·)和(Y,+,·)为坡代数,f:X→Y为映射.若对任意的x1,x2∈X,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)和f(x1·x2)=f(x1)·f(x2)成立,则称f:X→Y为从(X,+,·)到(Y,+,·)的同态.

定义12设(X,+,·)为坡代数,A∈[0,1]X.

1) 如果对任意的x,y∈X,都有A(x+y)∧A(x·y)≥A(x)∧A(y),则称A为(X,+,·)的模糊子坡代数[14];

2) 如果A既是反序映射又是(X,+,·)的模糊子坡代数,则称A为(X,+,·)的模糊理想[14];

3) 如果A既是保序映射又是(X,+,·)的模糊子坡代数,则称A为(X,+,·)的模糊虑子[15].

1 坡代数上的模糊软子坡

定义13设(X,+,·)是一个坡代数,(f,A)是(X,+,·)上的一个模糊软集,则(f,A)是(X,+,·)上的一个模糊软子坡当且仅当对每个e∈A,下式成立：

fe(x+y)∧fe(x·y)≥fe(x)∧fe(y), ∀x,y∈X,

即对每个e∈A,fe是文献[14]意义下的模糊子坡.坡代数(X,+,·)上全体模糊软子坡记为FSC(X,E).

定义14对(X,+,·)上的模糊软子坡(f,A),若对每个e∈A,fe都是反序映射(resp.,保序映射),则称(f,A)是(X,+,·)上的一个模糊软理想(resp.,模糊软滤子).坡代数(X,+,·)上全体模糊软理想(resp.,模糊软滤子)记为FSI(X,E)(resp.,FSF(X,E)),显然(FSC(X,E),⊆),FSI(X,E),⊆)和(FSF(X,E),⊆)都是偏序集.

定理1设(X,+,·)为坡代数,则(f,A)是(X,+,·)上的模糊软子坡(resp.,模糊软理想,模糊软滤子),则对任意的α∈[0,1],(f,A)[α]的非空成员是(X,+,·)的子坡代数(resp.,理想,滤子),其中(f,A)[α]={(fe)[α]|e∈A},这里(fe)[α]={x∈X|fe(x)≥α}是模糊集fe的α截集(即(f,A)[α]是经典软集).

证明: 只证明模糊软理想的情形.假设存在e∈A,使得(fe)[α]≠Ø,对任意的x,y∈(fe)[α],由(f,A)是(X,+,·)上的模糊软滤子知,fe(x)≥α,fe(y)≥α,因此

fe(x+y)≥fe(x+y)∧fe(x·y)≥fe(x)∧fe(y)≥α,

fe(x·y)≥fe(x+y)∧fe(x·y)≥fe(x)∧fe(y)≥α,

于是x+y∈(fe)[α],x·y∈(fe)[α],从而(fe)[α]为(X,+,·)的子坡代数.对任意的x0∈(fe)[α]及任意的x∈X且x0≤x,由(f,A)是(X,+,·)上的模糊软滤子知fe是保序映射,从而fe(x)≥fe(x0)≥α.于是x∈(fe)[α],表明(fe)[α]是(X,+,·)的上集.

例11) 设X={a,b,c},是所有自然数的集合 ,定义加法与乘法如下:

则可证(X,+,·)为坡代数.定义f:→IX如下：fn:X→I(∀n∈),

则偶对(f,)是(X,+,·)上的一个模糊软集,且可以验证(f,)是坡代数(X,+,·)上的一个模糊软理想.

2) (X,+,·)为如1)所示的坡代数,是所有自然数的集合.定义g:→IX如下：gn:X→I(∀n∈),

则偶对(g,)是(X,+,·)上的一个模糊软集,且可以验证(g,)是坡代数(X,+,·)上的一个模糊软滤子.

定理2设(f,A)和(g,B)是坡代数(X,+,·)上的两个模糊软子坡(resp.,模糊软理想,模糊软滤子),则(f,A)∩(g,B)是坡代数(X,+,·)上的模糊软子坡(resp.,模糊软理想,模糊软滤子).

证明: 只证明模糊软理想的情形.设(f,A)∩(g,B)=(h,C),这里C=A∩B且he=fe∧ge(∀e∈C).首先,对任意的x,y∈X,

he(x+y)∧he(x·y)≥he(x)∧he(y).

从而 (f,A)∩(g,B)是坡代数(X,+,·)上的模糊软子坡.其次,设x,y∈X且x≤y,注意到(f,A)和(g,B)是坡代数(X,+,·)上的两个模糊软理想,有he(x)=(fe∧ge)(x)=fe(x)∧ge(x)≥fe(y)∧ge(y)=(fe∧ge)(y)=he(y).因此(f,A)∩(g,B)是坡代数(X,+,·)上的模糊软理想.

类似定理2的证明,可以证明如下定理成立：

定理4设(f,A)和(g,B)是坡代数(X,+,·)上的模糊软子坡(resp.,模糊软理想,模糊软滤子),则(f,A)∪(g,B)是坡代数(X,+,·)上的模糊软子坡(resp.,模糊软理想,模糊软滤子).

证明: 只证明模糊软理想的情形.设(f,A)∪(g,B)=(h,C),若e∈A-B,则he=fe;若e∈B-A,则he=ge,根据定义13知结论成立.现设e∈A∩B,首先,由he=fe∨ge(∀e∈C),有

因此(f,A)∪(f,B)是坡代数(X,+,·)上的模糊软子坡.其次,设x,y∈X且x≤y,注意到(f,A)和(g,B)是坡代数(X,+,·)上的两个模糊软理想,有

he(x)=(fe∨ge)(x)=fe(x)∨ge(x)≥fe(y)∨ge(y)=(fe∨ge)(y)=he(y).

所以(f,A)∪(g,B)是坡代数(X,+,·)上的模糊软理想.

类似定理4的证明,可以证明如下定理成立：

由定理3和定理5,可得:

2 坡代数上模糊软子坡间的同态

定义15设(Ξ,Θ)是从X到Y上的模糊软函数,若Ξ是从坡代数(X,+,·)到坡代数(Y,+,·)的同态,则称(Ξ,Θ)是从坡代数X到坡代数Y模糊软子坡间的同态.若Ξ是从X到Y的同构,且Θ是从A到B的一一映射,则称(Ξ,Θ)是模糊软子坡间的同构.

定理7设(g,B)是坡代数Y上的模糊软子坡(resp.,模糊软理想,模糊软滤子),(Ξ,Θ)是从坡代数X到坡代数Y模糊软子坡间的同态,则(Ξ,Θ)-1(g,B)是坡代数X上的模糊软子坡(resp.,模糊软理想,模糊软滤子).

证明: 只证明模糊软理想的情形.首先,对于任意的e∈Θ-1(B),

从而(Ξ,Θ)-1(g,B)是坡代数X上的模糊软子坡.其次,设x,y∈X且x≤y,则x+y=y,此时由(Ξ,Θ)是从坡代数X到坡代数Y的模糊软子坡间的同态知Ξ(x)+Ξ(y)=Ξ(x+y)=Ξ(y),即Ξ(x)≤Ξ(y),再由(g,B)是坡代数Y上的模糊软子坡知,对于任意的e∈Θ-1(B),

Ξ-1(g)e(x)=gΘ(e)(Ξ(x))≥gΘ(e)(Ξ(y))=Ξ-1(g)e(y),

因此,(Ξ,Θ)-1(g,B)是坡代数X上的模糊软理想.

定理8设(f,A)是坡代数X上的模糊软子坡(resp.,模糊软理想,模糊软滤子),(Ξ,Θ)是从坡代数X到坡代数Y模糊软子坡间的同构,则(Ξ,Θ)(f,A)是坡代数Y上的模糊软子坡(resp.,模糊软理想,模糊软滤子).

证明: 只证明模糊软理想的情形.首先,由(Ξ,Θ)是从坡代数X到坡代数Y模糊软子坡间的同构知,若y1,y2∈Y,则存在唯一的x1,x2∈X和唯一的e∈A,使得Ξ(x1)=y1Ξ(x2)=y2,Ξ(e)=a,此时

因此(Ξ,Θ)(f,A)是坡代数Y上的模糊软子坡.其次,设y1,y2∈Y且y1≤y2,则存在唯一的x1,x2∈X,使得Ξ(x1)=y1Ξ(x2)=y2,必有x1=Ξ-1(Ξ(x1))≤Xi-1(Ξ(x2))=x2,由于(f,A)是坡代数X上的模糊软理想,所以

因此(Ξ,Θ)(f,A)是坡代数Y上的模糊软理想.

3 坡代数上模糊软子坡的范畴性质

用FSINC表示所有模糊软子坡的范畴,规定其态射如下：对任意的FSINC-对象f∈FSC(X1,E1)和g∈FSC(X2,E2),ΞΘ∈hom(f,g)当且仅当ΞΘ是从坡代数X到坡代数Y模糊软子坡间的同态,且对于任意的x∈X1和e1∈E1,有fe1(x)≤gΘ(e1)(Ξ(x)).

证明: ∀x,y∈X及∀e∈E,由{Ξj|X→Xj}j∈J是一族坡代数间的同态,有

所以f是坡代数X上的模糊软子坡,且易证ΞjΘj∈hom(f,fj).

定理10设FSINC对象g∈FSC(Y,F),ΦΨ∈hom(g,f) ⟺ΞjΘj∘ΦΨ∈hom(g,fj)(∀i∈J),这里Φ:Y→X,Ψ:F→E是映射.

证明: 一方面,若ΦΨ∈hom(g,f),则ΦΨ是从坡代数Y到坡代数X模糊软子坡间的同态,且对于任意的y∈Y和e1∈F,有ge1(y)≤fΨ(e1)(Φ(y)).由定理9知,ΞjΘj∈hom(f,fj),即ΞjΘj是从坡代数X到坡代数Xj模糊软子坡间的同态,因此ΞjΘj∘ΦΨ是从坡代数Y到Xj模糊软子坡间的同态,且

ge1(y)≤fΨ(e1)(Φ(y))≤(fj)Θj(Ψ(e1))(Ξj(Φ(y))).

即ΞjΘj∘ΦΨ∈hom(g,fj)(∀i∈J).

另一方面,若ΞjΘj∘ΦΨ∈hom(g,fj)(∀i∈J),对于任意的y∈Y和e1∈F,有ge1(y)≤(fj)Θj(Ψ(e1))(Ξj(Φ(y))),且ΞjΘj∘ΦΨ从坡代数Y到坡代数Xj模糊软子坡间的同态.由f的定义知,

利用反证法易证ΦΨ是从坡代数Y到坡代数X模糊软子坡间的同态,因此ΦΨ∈hom(g,f).

定理11若f′也是坡代数X上的模糊软子坡,使得ΞjΘj∈hom(f′,fj)(∀j∈J),则f=f′.

由定理9～定理11可得：

定理12范畴FSINC是INC(即坡代数及坡代数同态的范畴)上的拓扑范畴.

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