浅析中考数学中的最值问题

刘英梅

最值问题是中考考查的一个重点，也是学生学习的难点。通过研究近年的中考试题，我总结了一些解决最值问题的方法。

一、利用“三角形任意两边之和大于第三边”求最值

例：如图1所示，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求：EM+CM

的最小值。

解析：如图，M点是线段AD上的任意一点，由等边三角形的轴对称性知，M点到点E、C的距离之和ME+MC=ME+MB。而M′到点E、C的距离之和是M′E+M′C=M′E+M′B=BE.根据三角形任意两边的和都大于第三边，BE

小值。

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二、利用“弦心距最短”求最值

例：如图2，是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截

面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为多少米。

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解析：圆心与弦上的点的所有连线中，弦心距最短。所以，半径AC减去最短的弦心距AO就是水的最大深度。

三、利用一次函数的增减性求最值

例：在一次函数y=2x+3中，当0≤x≤5时，求y的最小值.

解析：根据一次函数y=kx+b的性质，当k值大于零时，y的值随x值的增大而增大，这里k=2>0，所以，y的值随x值的增大而增大，当x取得最小值0的时候，y取得最小值3。

四、利用二次函数顶点的纵坐标求最值

例：已知实数x，y满足x2+3x+y-3=0，求x+y的最大值。

解析：根据已知条件，y=-x2-3x+3，所以，x+y=x-x2-3x+3=-x2-2x+3。根据二次函数的性质，在二次函数y=ax2+bx+c中，二次项系数a小于零的时候，二次函数有最大值，最大值就是二次函数顶点的纵坐标.在这里，a=-1<0，所以x+y的最大值为4。

五、利用二次函数的判别式法求最值

例：已知关于x的一元二次方程x2=2（1-m）x-m2的两实数根为x1，x2.设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值。

解析：根据题意，有两个实数根，所以Δ≥0，解得m≤■，又∵y=x1+x2=2（1-m），整理得m=-■+1，所以-■+1≤■，解得y≥1，所以y的最小值是1，此时，m的值是■。

总之，求最值的方法很多，如果同学们积极研究，一定会有更多更新的发现。

（作者单位 山东省海阳市小纪镇第一初级中学）