关于群的幂自同态的一个注记

周建新,陈敬华,黄振华

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

1 引言及有关定义

设G是一个群,e是群G的单位元,|G| 表示集合G所含元素的个数,Z(G) 表示群G的中心,N≤G表示N是群G的子群.gcd(m,n) 或(m,n) 表示整数m,n的最大公因数.

设f:G→G是群G的自同态，满足f(x)=xn(∀x∈G) ，即对任意的x,y∈G， (xy)n=xnyn. 众所周知, 当n=2 和-1时,G是一个交换群(见[1～2]). 一个自然的问题被提出来:除上述2和-1外,是否还存在整数n使得当(xy)n=xnyn时,G是一个交换群? 更一般地, 设M={n|f:G→G是群G的自同态，满足f(x)=xn,∀x∈G},Ω={n|当n跑遍M中所有元时,G是一个交换群}, 则M中的元素满足什么性质?本文对此做了一番探讨,得出了如下结果:

定理1 若M={n|f:G→G是群G的自同态，满足f(x)=xn，∀x∈G} ，M0⊆M,|M0|=1,则G是交换群当且仅当M0={2} 或者M0={-1} .

定理2 设M={n|f:G→G是群G的自同态，满足f(x)=xn, ∀x∈G},M0⊆M且 |M0|>1,则G是交换群当且仅当n取遍M0中所有元时，所有形如n(n-1) 元的最大公因数为2.

定义1 设G是一个群, 若对任意的x,y∈G,存在n∈Z,使得(xy)n=xnyn, 称G是一个(n) - 群.

注:任意的群都是(1) 群,易证(2)- 群和 (-1)- 群都是交换群.

定义2 设G是一个群,若对任意的x∈G,xn=e,其中e是群G的单位元, 则称G是一个幂为n的群.

注:若群G的幂为n,则对任意的整数k,G既(kn)- 群又(kn+1) - 群.

i)Gp按照通常矩阵的乘法构成一个非交换群;

ii)当p是奇素数时,Gp是一个幂为p的群;

iii)当p=2时,Gp是一个幂为4的群.

注: 由引理易知当p是奇素数时,Gp既是(pk) - 群又是(pk+1) - 群;当p=2 时,G2既是(4k) - 群又是(4k+1) - 群.

引理2 设M={n|f:G→G是群G的自同态，满足f(x)=xn,∀x∈G},则

i)对任意的m,n∈M有mn∈M;

ii)n∈M当且仅当1-n∈M.

证 i)是显然的.下证ii)

若n∈M,则对任意的x,y∈G有(xy)n=xnyn,于是(yx)n-1=xn-1yn-1,从而(yx)1-n=y1-nx1-n,所以1-n∈M.又因为n=1-(1-n) ,所以反之也成立.

引理3 设N={n|xn∈Z(G),∀x∈G,n∈M} ,其中M同引理2中的M，则

i)N关于通常整数的加法运算构成一个群;

ii)若n∈M, 则n(n-1)∈N.

证 i)对任意的m,n∈,x,y∈G有

(xy)m+n=(xy)m(xy)n=xmymxnyn=xmxnymyn=xm+nym+n

从而m+n∈N. 易验证n∈N当且仅当 -n∈N. 所以N≤G.

ii)若n∈M,则由引理2知1-n∈N,从而n(1-n)∈M.对任意的x,y∈G有yxnyny-1=y(xy)ny-1=(yx)n=ynxn，于是y1-nxn=xny1-n, 即xn与y1-n可交换. 则对任意的x∈G,xn(1-n)既是G中某元的n次幂又是某元的1-n次幂, 所以对任意的y∈G,xn(1-n)与yn和y1-n都可交换, 从而xn(1-n)与y可交换. 由y的任意性知xn(1-n)∈Z(G), 所以n(1-n)∈N.

引理4[5](m1,m2,…,m1)=u1m1+u2m2+…+u1m1,其中m1,m2,…,ml是任意的l个整数,u1,u2,…,ul∈.

2 主要结果及其证明

定理1 若M={n|f:G→G是群G的自同态，满足f(x)=xn, ∀x∈G},M0⊆M,|M0|=1,则G是交换群当且仅当M0={2} 或者M0={-1} .

证 充分性易证,下证必要性.

只需证对任意的n∈, 当n≠2 且n≠-1时, 存在非交换群G满足对任意的x,y∈G, (xy)n=xnyn.事实上, 若n≠2 且n≠-1, 一方面, 当n是一个奇数, 则存在k∈, 使得n=4k+1或n=4k+3, 但由引理1知存在G2是一个非交换(4k+1) - 群, 当n=4k+3且k≠-1 时, 若k=1,则n=7,由引理1,G7是一个非交换(7) - 群, 若k=0,则n=3,由引理1,G3是一个非交换(3) - 群, 若p1,p2…,ps是互不相同的素数,s∈则 ,当某个pi=3(1≤i≤s)时,n=3k1(k1∈) ,由引理1,G3是一个非交换(3) - 群, 当任意pi≠3(1≤i≤s) 时, 则n是一个素数p,由引理1,Gp是一个非交换(p) - 群. 另一方面,当n是一个偶数, 则存在k∈, 使得n=4k或n=4k+2, 但由引理1知存在G2是一个非交换(4k) - 群, 当n=4k+2且k≠0 时, 若k=1,则n=2×3,由引理1,G3是一个非交换(6) - 群, 若k=-1,则n=-2=-3×1+1,由引理1,G3是一个非交换(-2) - 群, 若p1,p2……ps是互不相同的素数,s∈,则易知是一个素数p*,由引理1,Gp*是一个非交换(2p*) - 群.定理证完.

到此,我们已知当|M|=1时,G是交换群当且仅当M={2} 或者M={-1} .若|M|>1 时,在文献[3]和[4]中有结论: 当M包含3个连续自然数时,G是一个交换群. 在文献[4]中有结论: 当M={3,5} 时,G是一个交换群.由引理1知: 存在非交换群G3既是(3) - 群又是(7) - 群, 因此, 当M={3,7} 时,G不一定是一个交换群. 那么M中元满足什么性质时,G是一个交换群呢? 对此，有如下结论：

定理2 设M={n|f:G→G是群G的自同态，满足f(x)=xn,∀x∈G} ,M0⊆M且|M0|>1, 则G是交换群当且仅当n取遍M0中所有元时，所有形如n(n-1) 元的最大公因数为2.

证明 必要性(反证法):若当n取遍M0中所有元时,所有形如n(n-1) 元的最大公因数除2以外还有别的因子,不妨设存在p是一个素数,使得2p|n(n-1) .令Up={n|n∈M,2p|n(n-1)|,则当p是奇素数时,Up={pk,pk+1|k∈} ;当p=2 时U2={4k,4k+1|k∈} . 由引理1知存在非交换的群Gp和G4满足2p|n(n-1),这与题设矛盾.所以当n取遍M0中所有元时,所有形如n(n-1) 元的最大公因数只能是2.

充分性 设M={a1,a2,…,al}，所有形如mi=ai(ai-1)元 (1≤i≤l)的最大公因数是2,则由引理4知存在u1,u2,…ul∈使得2=u1m1+u2m2+…+ulml,由引理3知2∈N, 所以G是一个 (2)- 群,从而是一个交换群.

注:事实上若M={3,5} ,易知gcd(3(3-1),5(5-1)) =2; 若M={n,n+1 ,n+2},因为2=n(n-1)-2(n+1)n+(n+2)(n+1) ,所以gcd(n(n-1),(n+1)n,(n+2)(n+1))=2 .由此可知,定理2是上述特殊情形的推广.

参考文献：

[1]Gallian J A.Contemporary Abstract Algebra[M]. Berlin:Springer-Verlag,1990.

[2]Rotman J J.Advanced Modern Algebra[M].Beijing:Higher Education Press,2004.

[3]Isaacs I M.Algebra[M].Beijing:China Machine Press,2003.

[4]Alperin J L,Bell R B.Groups and Representations[M].New York:Springer-Verlag,1995.

[5]Nathanson M B.Elementary Methods in Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,2003.