机器人全闭环定位误差因素敏感度分析

齐立哲

(北京航空航天大学机器人研究所，北京100191)

王 伟

(北京航空航天大学机器人研究所，北京100191)

陈 磊

(上海飞机制造有限公司，上海200436)

余蕾斌

(上海飞机制造有限公司，上海200436)

工业机器人重复定位精度很高，但绝对定位精度很差.为了提高机器人的性能及拓展工业机器人的应用范围，需要对机器人运动学模型的参数进行标定来降低它的绝对定位误差.标定是建模、测量、参数识别和误差补偿4个步骤的集成过程［1］.目前已有很多国内外学者基于矩阵变换、矢量等表达形式给出了多种机器人的定位误差分析与补偿方法［2-6］，但由于影响机器人定位误差的因素很多，基于理论分析公式对机器人定位误差进行实际标定的结果都不太理想.为了有效实际标定出机器人的定位误差，Ting K等人提出了从参数误差到末端误差映射的灵敏性雅可比概念，证明了要提高机构的末端误差，只需要提高关键因素的精度，可以适当放宽次要因素误差［7］;郭剑鹰等人提出将影响转动误差和位置误差的因素分离开发，采用两步线性识别方法对参数进行标定的方法，在一定程度上简化了标定过程［8］;王伟等人采用正交试验法综合了3R机器人机构精度，绘制出了某一复杂曲面任务下机器人末端的误差分布图和影响末端误差因素的显著程度顺序图，计算出了当前目标点下误差因素对末端误差的影响显著程度［9］.

本文针对因影响定位误差因素较多而不易对机器人定位误差进行准确标定的问题，充分考虑了定位误差测量环节中对定位误差有影响的坐标系参数因素及因机器人末端点分布不同而导致定位误差也不一样的情况，首先基于雅克比矩阵建立了包含33个运动学参数的6自由度串联机器人全闭环定位误差数学模型;然后给出了用于分析各因素单点敏感度的机器人的单因素微分定位误差(SFDPE，Single Factor Differential Positioning Error)及相对单因素微分定位误差(RSFDPE，Relative Single Factor Differential Positioning Error)公式;接着采用正交实验法设计了能全面反映机器人定位误差分布的数据采样空间并基于区间概率密度概念给出了单因素综合微分定位误差(SFCDPE，Single Factor Comprehensive Differential Positioning Error)及相对单因素综合微分定位误差(RSFCDPE，Relative Single Factor Comprehensive Differential Positioning Error)公式;最后基于前面的公式，采用MATLAB分别仿真了影响由FARO ARM和ABB 1410工业机器人形成的测量系统定位误差的各因素的单点敏感度(SPS，Single Point Sensitivity)及多点综合敏感度(MPCS，More Points Comprehensive Sensitivity)，为进一步进行机器人定位误差的标定打下了基础.

1 机器人全闭环定位误差数学模型

1.1 全闭环运动学模型

为了测量出机器人定位误差，需要建立机器人定位误差测量系统.如图1所示，一般机器人定位误差测量系统由测量设备、测量靶标及机器人组成.

图1 机器人定位误差测量系统组成原理图

在机器人定位误差测量系统中，测量设备可以直接测量出靶标中心P在Measure坐标系下的坐标，同时机器人本身也可以作为测量装置获得被机器人抓着的靶标中心P在机器人Base坐标系下的坐标，两者进行坐标变换便可以统一到同一个坐标系下，进而进行比较便可获得机器人在其工作空间内各个测量点的定位误差.基于机器人的定位误差测量过程，便形成了一个包含2个转换矩阵的全闭环运动学模型，其表示如下:

其中，PM为测量点P在Measure坐标系下的坐标;BTM为机器人Base坐标系与Measure坐标系下的转换矩阵;T0TB为工业机器人Tool0坐标系在机器人Base坐标系下的转换矩阵;PT0为P点在Tool0坐标系下的坐标.

采用工业机器人D-H方法建立的连杆坐标系.在运动学分析时，建立连杆坐标系.每个连杆坐标系转换矩阵包含4个运动学参数，即θi，αi，ai，di;6自由度工业机器人T0TB有24个运动学参数;BTM为一4×4的转换矩阵，可用3个平移变量PBx，PBy，PBz及3个用欧拉角表示的旋转变量RBx，RBy，RBz表示;PT0为一 4×1 的矩阵，根据其含义可用3个平移变量PTx，PTy，PTz表示.则机器人定位误差测量系统的全闭环运动学模型共包含33个运动学参数，这33个参数误差也是影响机器人静态定位误差的主要因素.

1.2 全闭环定位误差数学模型

根据公式(1)，机器人定位误差测量系统全闭环运动学模型可变形为

其中，(x，y，z)为被测量点在测量坐标系下的绝对坐标值;gi(i=1～33)为运动学模型中的33个运动学参数;f为以x，y，z为变量，以系统中33个运动学参数为参数的三元方程组.当运动学参数无误差时，也不存在机器人定位误差;但实际情况运动学参数总会存在一定的误差，从而带来机器人的定位误差.

为简化分析过程，对式(2)进行一阶微分，令

从而便获得基于雅克比矩阵的机器人全闭环定位误差数学模型为

2 定位误差影响因素敏感度分析

影响机器人全闭环定位误差的因素有33个，通过建立的基于雅可比矩阵的机器人全闭环定位误差数学模型可将这些因素对定位误差的影响分离开来，这种分离避免了因这些因素的交叉影响而带来的对敏感度分析的复杂性.

为了分析出机器人在某一位姿时各个因素对定位误差的SPS，令

其中，Θgk被称为第 k个因素的机器人SFDPE;R(gi:gj)被称为第i及第j个因素的RSFDPE;Θgi为机器人基准单因素微分定位误差，对应的因素为基准因素.

可用各因素间的RSFDPE来分析机器人在某个位姿时影响定位误差的各因素的SPS，即机器人某个因素相对于基准因素的RSFDPE越大，则表明此因素的SPS较高;反之，较低.

为了分析出机器人整个工作空间内的各个因素的 MPCS，令

其中，ΣΘgk为第 k个因素在机器人N个位姿的SFCDPE;ΣR(gi:gj)为第i及第j个因素在机器人N个位姿的RSFCDPE;ΣΘgi为机器人基准单因素综合微分定位误差，对应的因素为基准因素;为机器人第 m个位姿的第 i个因素的SFDPE;npim，npjm分别表示机器人第m个位姿的第i及第j个因素的SFDPE所在区间n的区间概率密度，可表示为

可用各因素间的RSFCDPE来分析各因素在机器人多个位姿对机器人定位误差影响的MPCS，即机器人某个因素相对于基准因素的RSFCDPE越大，则表明此因素的MPCS较高;反之，较低.

此外，为充分体现机器人实际定位误差分布情况，可采用正交试验法设计原理设计机器人N个位姿，即设计机器人位姿样本空间.在此应用中可采用6因素、5水平及25实验次数的正交表，即L52(56).从而可获得机器人位姿样本空间:

其中，θmn表示样本空间中第m个样本点对应的机器人第n个关节角值;vmn表示正交表中第m行第 n列对应的值;minθn，maxθn分别表示机器人第n个关节角的最小值和最大值.

从定位误差传递数学模型可知，影响机器人全闭环定位误差的运动学因素可以分为3类，下面分别分析各类因素的敏感度.

1)关节角因素分析:关节角因素敏感度反映了机器人6个关节角误差对机器人全闭环定位误差的影响程度，通过分析可以得到在机器人位姿样本空间内关节角敏感度分布情况.

2)各结构角度量因素分析:各结构角度量因素敏感度反映了机器人6个连杆坐标系角度参数、3个机器人Base坐标系与Measure坐标系下的转换矩阵的姿态分量误差对机器人全闭环定位误差的影响程度，通过分析可以得到在机器人位姿样本空间内各结构角度量敏感度分布情况.

3)结构平移量因素分析:各结构平移量因素敏感度反映了机器人12个连杆坐标系平移参数、3个机器人Base坐标系与Measure坐标系下的转换矩阵的位置分量及3个测量点P在Measure坐标系下的坐标分量误差对机器人全闭环定位误差的影响程度，通过分析可以得到在机器人位姿样本空间内各结构平移量敏感度分布情况.

3 定位误差影响因素敏感度仿真

建立的工业机器人定位误差测量实验系统见图2，它包含被标定机器人、FARO ARM及测量靶标.工业机器人采用ABB IRB 1410机器人，此机器人是一种机身紧凑的机器人，承受载荷最高可达5 kg，具有较高的重复定位精度，通过对其绝对定位误差进行标定后，可以大大拓展其应用领域;误差测量设备采用USB型FARO ARM，该测量设备具有测量精度高、操作简单等优点，可以直接测得机器人手臂上靶标在其坐标系下的坐标.

基于正交实验法设计的ABB IRB1410机器人的位姿样本空间的所有子空间中心点分布情况如图3所示.

图2 机器人定位误差测量实验系统图

图3 样本子空间中心点分布图

各因素的初始值都是已知量.根据这些信息并结合第3节的定量计算公式，便可计算出各个因素对机器人定位误差的敏感度分布情况.经由仿真结果看，机器人各结构平移量因素的SPS和MPCS都一样.因此，这里只给出机器人各角度因素SPS及MPCS的仿真结果，见图4～图7.

图4 关节角因素敏感度仿真结果

图5 连杆偏角因素敏感度仿真结果

图4a为机器人关节角因素在机器人位姿样本空间中的SPS仿真结果.其中，横坐标表示6个关节角，第1个关节角为基准因素;纵坐标为各因素相对于基准因素的RSFDPE;25条线给出了不同样本点对应的各因素RSFDPE.图4b为机器人关节角因素在机器人位姿样本空间中的MPCS仿真结果.其中，横坐标表示6个关节角，第一个关节角为基准因素;纵坐标为各因素相对于基准因素的RSFCDPE.

图5a为机器人连杆偏角因素在机器人位姿样本空间中的SPS仿真结果.其中，第1个连杆偏角为基准因素.图5b为机器人连杆偏角因素在机器人位姿样本空间中的MPCS仿真结果.

图6a为机器人基坐标系姿态因素在机器人位姿样本空间中的SPS仿真结果.其中，第1个基坐标系姿态分量为基准因素.图6b为机器人基坐标系姿态因素在机器人位姿样本空间中的MPCS仿真结果.

图7a为机器人3类角度基准因素在机器人位姿样本空间中的SPS仿真结果.其中，横坐标表示3个角度分量(依次为关节角-连杆偏角-基坐标系姿态)，第1个角度分量为基准因素.图7b为机器人3类角度因素在机器人位姿样本空间中的MPCS仿真结果.

图6 基坐标系姿态因素敏感度仿真结果

图7 3类因素敏感度对比仿真结果

4 结论

1)各个平移因素对机器人定位误差影响的敏感程度是一样的.

2)从各因素的SPS仿真结果看，在同一个机器人位姿样本点，各个角度因素对机器人定位误差影响的敏感程度是不一样的;同一个角度因素，在机器人不同的位姿样本点对机器人定位误差影响的敏感程度也是不一样的.

3)从各因素的MPCS仿真结果看，各关节角、各连杆扭角及基坐标系姿态等因素对机器人定位误差影响的敏感程度是不一样的，且与所选的姿态样本空间有关.

这些分析与仿真结果为进一步进行机器人定位误差的有效标定打下了基础.

References)

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