基于单调函数的新强化缓冲算子及其性质研究

刘志刚，张友萍，吴正鹏

(中国传媒大学应用数学系，北京100080)

基于单调函数的新强化缓冲算子及其性质研究

刘志刚，张友萍，吴正鹏

(中国传媒大学应用数学系，北京100080)

在灰色系统缓冲算子公理体系下，本文利用反函数定理，构造了4类新强化缓冲算子，并将其与关氏强化缓冲算子进行比较，论证了关氏强化缓冲算子为新算子的特例，研究了其特性及各种强化缓冲算子之间的内在关系，从而大大地拓广了强化缓冲算子的应用范围.对序列前一部分增长(衰减)速度过快，而后一部分增长(衰减)速度过慢的冲击扰动系统数据序列在建模预测过程中常常出现的定量预测结果与定性分析结论不符的问题，提供了多种解决方案，首次将缓冲算子的构造与函数联系起来，从而为缓冲算子的构造开辟了新方向.

强化缓冲算子；灰色系统

1 引言

灰色系统的特色是研究“小样本”与“贫信息”等不确定性问题。因此充分开发利用已占有的信息来挖掘系统本身固有的规律是灰色系统理论的基本准则。我们可以通过社会，经济，生态等系统的行为特征数据来寻求因素之间或自身的变化规律。灰色系统理论认为：尽管客观系统的表象复杂，数据离乱，但它们总有自身的整体功能，必然蕴藏某种内在的规律，关键是如何选择适当的方法来挖掘和利用它。在文献[1，4，5，7]中，刘思峰等教授提出了冲击扰动缓冲算子的概念，并构造出一种得到较广泛应用的强化缓冲算子，本文在他们的工作的基础上，又构造出4类新强化缓冲算子。从而推广了缓冲算子的类型。

2 基本概念

定义2.1[3]设系统行为数据序列为X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，如

(1)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)>0，则称X为单调增长序列。

(2)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)<0，则称X为单调衰减序列。

(3)若有k1，k2∈{2，3，…，n}，有x(k1)-x(k1-1)>0，x(k2)-x(k2-1)<0，则称X为振荡序列。其中

M=max1≤k≤nx(k)，m=min1≤k≤nx(k)，称M-m为振荡序列X的振幅。

定义2.2[3]设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经算子D作用后所得到序列记为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，则称D为序列算子。

对序列连续作用，可得二阶算子，一直可以作用到r阶算子，分别记为XD2，…，XDr。

公理2.1[3](不动点公理)设X为系统行为数据序列，D为序列算子，则有x(n)d=x(n)。

公理2.2[3](信息充分利用公理) 系统行为数据序X列中的每一个数据x(k)(k=1，2，…，n)，都应充分地参与算子作用的整个过程。

公理2.3[3](解析化与规范化公理) 任意的x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一个统一的x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表达式表达。

满足上述三公理的序列算子称为缓冲算子。XD称为缓冲序列。

定义2.3[3]设为系统行为数据序列，D为序列算子，当X当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列，缓冲序列XD比行为数据序列X的增长速度(或衰减速度)增强或振幅增大，则称缓冲算子D为强化算子。

定理1[3]

(1)设X为单调增长序列，XD为缓冲序列，则D为强化缓冲算子⟺x(k)≤x(k)d(k=1，2，…，n)(2)设X为单调衰减序列，XD为缓冲序列，则D为强化缓冲算子⟺x(k)≥x(k)d(k=1，2，…，n)

(3)设X为振荡序列，XD为缓冲序列，D为强化缓冲算子，则

max1≤k≤nx(k)≤max1≤k≤n(x(k)d)，

min1≤k≤nx(k)≥min1≤k≤n(x(k)d)，

由定理2.1可知，单调增长序列在强化缓冲算子作用下，数据萎缩;单调衰减序列在弱化缓冲算子作用下，数据膨胀。

3 强化缓冲算子的构造

刘思峰，党耀国，关叶青等学者在其文献[4-7]中构造了下列强化缓冲算子，设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，令XDi=(x(1)di，…，x(n)di)，i=1，2，3，4

(1)

(2)

(3)

(4)

(k=1，2，…，n)，

则当为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D1，D2，D3，D4皆为强化缓冲算子。

定理2设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，x(i)>0，则有

x(k)d1≤x(k)d2≤x(k)d3≤x(k)d4

当且仅当x(1)=x(2)=…=x(n)时，所有等号成立。

证明：见文献[7]。

在此，我们在强化缓冲算子D1，D2，D3，D4基础上，利用单调函数理论，构建新强化缓冲算子。

(5)

令XE1=(x(1)e1，…x(n)e1)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，E1为强化缓冲算子。

即E1满足缓冲算子公理一。

至于缓冲算子公理二，公理三显然成立，因而E1为缓冲算子。

因为f为严格单调递增函数，

下证当：

(1)X为单调增长序列时，因为0

所以E1为强化缓冲算子。

(2)X为单调衰减序列时，因为x(k)≥…≥x(n)>0，，得f2(x(k))≥…≥f2(x(n))>0，

所以E1为强化缓冲算子。

(3)当X为振荡序列时，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(h)=min1≤i≤nx(i)，

x(k)≥x(k)，…，x(n);x(h)≤x(h)，…，x(n)，

f2(x(k))≥f2(x(k))，…，f2(x(n))>0，

0

max1≤i≤nx(i)≤max1≤i≤nx(i)e1，

min1≤i≤nx(i)≥min1≤i≤nx(i)e1

故E1为强化缓冲算子。

定理4设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)>0，f>0，f为严格单调递增函数，g为其反函数。其中

(6)

令XE4=(x(1)e4，…x(n)e4)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，E4为强化缓冲算子。

证明：容易验证

即E4满足缓冲算子公理一。

至于缓冲算子公理二，公理三显然成立，因而E4为缓冲算子。

因为f为严格单调递增函数，

下证当：

(1)X为单调增长序列时，因为0

0

所以E4为强化缓冲算子。

(2)X为单调衰减序列时，因为00，

所以E4为强化缓冲算子。

(3)当X为振荡序列时，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(h)=min1≤i≤nx(i)，

x(k)≥x(k)，…，x(n);x(h)≤x(h)，…，x(n)，

f(x(k))≥f(x(k))，…，f(x(n))>0，

0

max1≤i≤nx(i)≤max1≤i≤nx(i)e4，

min1≤i≤nx(i)≥min1≤i≤nx(i)e4

故E4为强化缓冲算子。

定理5设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)>0，f>0，f为严格单调递增函数，g为其反函数。其中

(7)

令XE2=(x(1)e2，…x(n)e2)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，E2为强化缓冲算子。

证明： 见文献[8]。

定理6设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)>0，f>0，f为严格单调递增函数，g为其反函数。其中

(8)

令XE3=(x(1)e3，…，x(n)e3)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，E3为强化缓冲算子。

证明： 见文献[8]。

定理7X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，x(i)>0，f>0，f为严格单调递增函数，g为其反函数。则有

x(k)e1≤x(k)e2≤x(k)e3≤x(k)e4

当且仅当x(1)=x(2)=…=x(n)时，所有等号成立。

证明：由定理2及g的严格单调递增即得。

以上结果对权重向量w=(w1，…，wn)，wi>0一样成立，推导过程类似。

当f(x)=g(x)=x时，强化缓冲算E1，E2，E3，E4分别就是强化缓冲算子D1，D2，D3，D4。即强化缓冲算子D1，D2，D3，D4为我们的特例。当然由于只要求f为严格单调递增函数，这样的f太多了，随手可得。

4 结语

在缓冲算子的构造过程中，以前都是一个一个去构造。而我们是首次将缓冲算子的构造与函数联系起来，一次构造一大类缓冲算子，为解决扰动数据序列的建模提供了多种选择，并开辟了如何利用函数来构造缓冲算子的新方向，进一步研究正在进行中。

[1]刘思峰.冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子[J].华中理工大学学报，1997，25(1)：25-27.

[2]Liu Sifeng.The three axioms of buffer operator and their application[J].The Journal of Grey System，1991，3(1)： 39-48.

[3]刘思峰，党耀国，方志耕，灰色系统理论及其应用(第三版)[M].北京：科学出版社，2004.

[4]党耀国，刘思峰，刘斌，唐学文，关于弱化缓冲算子的研究[J].中国管理科学，2004，12(2)：108-111.

[5]党耀国，刘斌，关叶青，关于强化缓冲算子的研究[J].控制与决策，2005，20(12)：1332-1336.

[6]党耀国，刘思峰，米传民.强化缓冲算子性质的研究[J].控制与决策，2007，22(7)：730-734.

[7]关叶青，刘思峰.基于不动点的强化缓冲算子序列及其应用[J].控制与决策，2007，22(10)：1189-1192.

[8]Wu Zhengpeng ，Liu Si-feng ，Mi Chuan-min.Study on the strengthening buffer operators based on the strictly monotone function[J].Journal of Grey System，2008，11(2)：113-118.

StudyontheStrengtheningBufferOperatorBasedontheStrictlyMonotoneFunction

LIU Zhi-gang，ZHANG You-ping，WU Zheng-peng

( College of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

Based on the present theories of buffer operators，We propose in this paper several kinds of buffer operators based on the strictly monotone function，which all have the universality and practicability. we prove them to be strengthening buffer operators . The problem of some contradictions between qualitative analysis and quantiative forecast in pretreatment for vibration data sequences is resolved effectively.

strengthening buffer operator；grey system

2012-10-24

刘志刚(1989-)，男(汉族)，山东潍坊人，中国传媒大学硕士.E-mail：liuzhigang@cuc.edu.cn

F830

A

1673-4793(2013)01-0052-05

(责任编辑：王谦)