数列中蕴含的“数列思想”的挖掘与运用

● (元济高级中学 浙江海盐 314300)

数列中蕴含的“数列思想”的挖掘与运用

●张艳宗卢明(元济高级中学 浙江海盐 314300)

所谓“数列思想”,是指人们在研究、解决数列问题时的思维方式以及对数列内容的本质认识．数列问题中蕴含着丰富的数列思想，在处理数列问题时，若能灵活运用这些思想，则会取得事半功倍的效果．笔者在高三数学第一轮复习教学中发现，有许多学生对数列还没有入门，缺乏主动运用数列思想来解决数列问题的意识，做题费时费力．笔者认为教学中只有重视“数列思想”的挖掘与运用，让学生站到思想的高度去认识数列的本质，才有利于学生学好数列知识．

1 通项思想

通项思想是从通项入手研究数列特性的一种思维方式．

于是，求Sn可以转化为裂项求和法来求之．

点评数列的通项是对数列中各项的统一描述，通项所具有的特性就是数列中每一项所具有的特性，这是数列的本质特征．为此，通项思想是研究数列问题的一种重要思想方法．

2 性质思想

等差数列和等比数列是2种特殊的数列，它们有许多典型的性质．对这2种数列的项的研究，既可以从定义出发，也可以从性质出发．由于性质是对数列所蕴含特性的一种本质揭示，因此，从性质出发去研究常常可以使问题更加简化．

分析由{an}是等差数列，得

a4+a12=a6+a10=2a8，

所以

a4+a6+a8+a10+a12=5a8=120，

解得

a8=24,

3 列举思想

数列是按照一定顺序排列的一列数．在研究数列问题时，把握数列的内在规律并用好规律，有利于问题的解决．有的数列问题其规律比较隐秘，不易发现，此时，扩大列举项目，有助于发现数列中隐含的规律．

分析数列通项可拆成

从而

(1)

若只凭以上算式，很难发现消项规律．为了寻找消项规律，不妨将裂项后的项再多列举一些，并按以下形式进行排列．在式(1)中，奇数项和偶数项分别是：

评注不少学生在求解本题时由于列举的项数不够多，导致找不到消项的规律，或找错消项的规律．可见，列举有助于发现规律，在数列学习过程中自觉养成“列举”的意识非常重要．需要指出的是通过列举揭示规律，运用到的逻辑是不完全归纳法，因此，列举数量的多少会影响猜想的正确性．

4 补白思想

“补白”是指在求解数列问题时，通过适当补上一些项，使得表达式的意义更加完整，有利于发现规律，达到问题简化之目的．

分析条件给出的是数列的和的比值，要求的是数列项的比值，如何进行和与项的转换呢？

我们知道，在等差数列{an}中，a6前面有5项，如果在a6后面再补上5项，使a6处在正中间的位置，由等差数列的性质知

A11=a1+…+a5+a6+a7+…+a11=11a6,

同理

B11=11b6,

故

5 还原思想

评注当然，若将通项按奇数项、偶数项写成分段函数的形式，可以不作“还原”处理，但这样的通项不漂亮．数列题目在编题时为了考查学生思维的灵活性，常常会通过一些特殊处理来隐匿规律，而“还原法”则能让隐匿的规律显现出来．

6 子数列思想

从原数列项中取出一些项构成一个新的数列，称此新数列是原数列的子数列．所谓“子数列思想”，就是能够自觉地意识到子数列的项具有“双重身份”，它们既是原数列的项，又是子数列的项．这是解决子数列问题的关键．

例6已知数列{an}是等差数列(d≠0)，从数列{an}中抽取部分项ak1，ak2，…，akn成等比数列，且k1=1，k2=5，k3=17，求数列{kn}的通项．

分析ak1，ak2，…，akn这个数列有双重身份：是原数列(也称母数列){an}中的项，{an}是等差数列；又是子数列{akn}中的项，{akn}是等比数列．

(a1+4d)2=a1(a1+16d)，

解得

a1=2d，

即

ak1=2d,ak2=6d，ak3=18d，

于是

从而子数列{akn}的通项是

akn=ak1qn-1=2d·3n-1．

又在母数列{an}中,

akn=a1+(kn-1)d=(kn+1)d，

从而

(kn+1)d=2d·3n-1，

解得

kn=2·3n-1-1．

评注由于子数列的每一项都拥有“双重身份”，因而它们同时满足原数列的相关条件，又满足子数列的相关条件，如可以分别用原数列和子数列的通项公式来表示子数列的项等．解子数列问题时，学生思维受阻的原因是未能用好子数列项的“双重身份”，即缺乏“子数列思想”．

7 函数思想

从映射的角度看，数列本质上是一个定义在正整数集的子集上的函数．因此，用函数的观点理解数列，用研究函数的相关方法来研究数列，是解决数列问题的有效方法．

例7在等差数列{an}中，已知a1=15，S4=S12，当n为何值时Sn有最大值？

图1

分析为什么这个等差数列的前n项和Sn有最大项？其首项a1=15>0，故它的前几项为正，从某项起开始变号.常规的做法是通过找到变号的项来求解,这是纯数列解法．等差数列前n项和Sn是关于n的二次型函数，该函数解析式的常数项为0，其图像是过原点的抛物线上横坐标为正整数的点(为便于分析，将这些散点用虚线连接，如图1所示)．由题意可知该数列公差d<0，抛物线图像开口向下，S4=S12说明此抛物线有对称轴n=8，故当n=8时，Sn最大．

评注把数列看作一种特殊的函数，利用函数思想，通过数形结合来求解，既直观又简洁．如果将此题进行变式，将条件中的“S4=S12”改成“S4=S11”，其他不变．用“函数思想”求解，其优越性会更加凸显．

8 整体思想

整体思想就是从整体着眼，通过对问题的整体形式、整体结构进行处理，以达到简化求解过程之目的．

( )

A.x>yB.x=y

C.x

分析由Sn=a1+a2+…+an，

S2n=a1+…+an+an+1+…+a2n=

Sn+qnSn=Sn(1+qn)，

S3n=Sn(1+qn+q2n)，

Sn(Sn-S3n)+S2n(S2n-Sn)=

Sn(1+qn)·Snqn-Sn·Sn(q2n+qn)=0.

评注将a1+a2+…+an，an+1+an+1+…+a2n，a2n+1+a2n+2…+a3n分别看成一个整体，从而建立S2n,S3n与Sn的关系，简化计算．

9 递推思想

所谓递推思想，就是利用给定的递推关系逐步递推，直到得出期望的结果的思维方法．

例9平面内有n个圆，其中每2个圆都相交于2个点，且每3个圆都不相交于同一点，则n个圆把平面分成______个区域．

分析记n个圆将平面平分f(n)个部分，n个圆中的n-1个圆将平面分成f(n-1)个部分，第n个圆被前n-1个圆分成2(n-1)条弧，每条弧把它所在的区域分成2块，增加了2(n-1)个部分，即

f(n)-f(n-1)=2(n-1).

根据这一递推关系得到

f(n-1)-f(n-2)=2(n-2)，

f(n-2)-f(n-3)=2(n-3)，

…

f(2)-f(1)=2.

而f(1)=2，累加得到

f(n)=n2-n+2.

评注在求解n个圆把平面分成多少个区域时，先分清n-1个圆到n个圆将平面划分区域的变化规律，建立起f(n)与f(n-1)之间的递推关系，从而解决问题．

10 差分思想

假设数列{an}的通项an=f(n)，则函数h(n)=f(n+1)-f(n)称为函数f(n)的一阶差分，r(n)=h(n+1)-h(n)为函数f(n)的二阶差分．如等差数列{an}的通项an是前n项和Sn的一阶差分，公差是通项an的一阶差分，是前n项和Sn的二阶差分．差分是微分的离散形式，是研究数列{an}与前n项和Sn有关问题的重要方法．

例10设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且满足(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B(n=1,2,3…)，其中A,B是常数．

(1)求A与B的值；

(2)证明：数列{an}为等差数列．

分析(1)令n=1，则

令n=2，则

式(2)-式(3),得

A= 2(S3-S2)-7(S2-S1)=

2a3-7a2=-20,

从而

B= -3S2-7S1-A=

-3×7-7×1+20=-8.

(2)由第(1)小题知

(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8.

(4)

当n≥2时,

[5(n-1)-8]Sn- [5(n-1)+2]Sn-1=

-20(n-1)-8.

(5)

式(4)-式(5)，并整理得

(5n-8)(Sn+1-Sn)-(5n-3)(Sn-Sn-1)=-20,

即 (5n-8)an+1-(5n-3)an=-20(n≥2).

(6)

当n≥3时,

式(6)-式(7)，并整理得

(5n-8)(an+1-an)=(5n-8)(an-an-1),

从而

an+1-an=an-an-1(n≥3).

又a3-a2=11-6=5,a2-a1=6-1=5，于是

an+1-an=an-an-1=5(n≥2)，

即{an}是公差为5的等差数列．

总之，特定的数学内容，如函数、三角、数列、概率等，都有其特有的研究方法和手段．虽然有的方法可以互通，但更多的是个性化的思维和研究手段．只有掌握了这种个性化的技能，才算是对这块内容学习的“入门”．前面提及的“数列思想”就是研究数列问题的一种个性化的技能，它是学习数列的“灵魂”．它不是完全抽象、空洞的技能，而是以数列知识为载体，是客观存在的内容，是对数列知识和解决问题策略的一种概括和提炼，具有应用性和指导性．实践证明，重视“数列思想”的挖掘与运用，是帮助学生数列“入门”的重要环节．

[1] 徐章韬.差分思想在数列中的应用[J].数学教学，2012(2):22-23.