函数中的“两域四性”

● (龙湾中学 浙江温州 325024)

函数中的“两域四性”

●刘建永徐登群(龙湾中学 浙江温州 325024)

1 考查要求

会求一些简单的函数定义域和值域;理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性，理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性;了解三角函数的周期性；会运用函数图像理解和讨论函数的性质.

2 考点回顾

函数在高中数学中的地位毋庸置疑，高考对于函数的考查是多方位的，但考查的基石却是明确的，即函数的“两域四性”：定义域、值域；单调性、奇偶性、周期性、对称性.近几年高考关于“两域四性”的考查主要表现在：

(1)与函数“两域四性”有关的选择题、填空题，这类题型主要考查函数“两域四性”的基础知识；

(2)与函数的图像相结合，运用数形结合、函数与方程等数学思想解决有关函数“四性”的问题；

(3)与解析几何、导数、方程、不等式等知识交汇在一起，解决有关恒成立、最值等问题.

3 典例剖析

类型1回归基础，求函数的定义域

(2012年江苏省数学高考试题)

评注本题的突破口是为寻找使函数解析式有意义的限制条件．

分析f(x)的定义域是[-1,2]，意思是凡被f作用的对象都在[-1,2]中，由此可得

从而

即

评析这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数f(φ(x))的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键.这类问题实质上相当于已知φ(x)的值域A，据此求x的取值范围.

类型2转换角度，求函数的值域

例3已知t为常数，函数y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2,则t=______.

(2008年浙江省数学高考理科试题)

分析由于x∈[0,3],从而

x2-2x=(x-1)2-1∈[-1,3].

又因为函数y=|x2-2x-t|的最大值为2，所以t=1.

评注本题主要考查二次函数和绝对值函数的值域问题，可从绝对值的几何意义考虑.

( )

(2008年重庆市数学高考理科试题)

分析方法1回归至二次函数

图1

已知u≥0,v≥0且u2+v2=4,求u+v的取值范围.

评注本题告诉我们求函数的值域方法多样，除上述方法外，本题还可采用基本不等式和柯西不等式、导数、向量等方法求函数的值域.

类型3构造函数，利用函数单调性解题

例5设a>0，b>0.

( )

A.若2a+2a=2b+3b，则a>b

B.若2a+2a=2b+3b，则a>b

C.若2a-2a=2b-3b，则a>b

D.若2a-2a=2b-3b，则a

(2012年浙江省数学高考理科试题)

分析若2a+2a=2b+3b,则必有

2a+2a>2b+2b.

构造函数f(x)=2x+2x,则

f′(x)=2x·ln2+2>0

恒成立,故有函数f(x)=2x+2x在x>0上单调递增,即a>b成立.用同样的方法可排除其余选项.

例6如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ)，θ∈[0,2π)，那么θ的取值范围是______．

(2011年全国高中数学联合竞赛一试试题)

分析题设不等式等价于

7sin3θ+sin5θ>7cos3θ+cos5θ.

因为f(x)=7x3+x5是(-∞,+∞)上的增函数，所以sinθ>cosθ,故

例7不等式log2(x2-x)<-x2+x+3的解集为______.

分析题设不等式等价于

log2(x2-x)+(x2-x)<3.

设函数f(x)=log2x+x，则f(2)=3,函数f(x)=log2x+x在(0,+∞)为增函数，即

f(x2-x)

亦即

0

解得

x∈(-1,0)∪(1,2).

评注解决此类问题的关键是从不等关系中抽象出具体的函数关系，即构造适当的函数，通过判断函数的单调性达到比较2个数大小的目的.其本质是函数单调性的定义逆用，比如函数f(x)在区间[a,b]为增函数，若对于任意的x1,x2∈[a,b],有f(x1)>f(x2)，则x1>x2.

类型4相互迁移，函数奇偶性、周期性和对称性的求解方略

( )

A．5 B．6 C．7 D．8

(2012年辽宁省数学高考试题)

图2

评注某些函数在有2条对称轴、2个对称中心或1个对称中心和1条对称轴的前提下，利用它们的抽象式可以推导出函数的周期性，如本题由题设可以得出x=0,x=1是函数的2条对称轴，之后得出了该函数的周期为2.解决此类问题的突破口是根据函数的性质得到f(x)的解析式，结合函数图像可求解.

分析方法1令t=x-1，则

f(-t+1)-2=-f(t+1)+2,

亦即

f(-t+1)+f(t+1)=4，

故

f(lg20)=-1.

方法2直接判断f(1-x)+f(1+x)=4，即函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称.

( )

(2008年四川省延考区数学高考试题)

评注函数的奇偶性是函数对称性的一种特殊情况.在某些特定情况下，两者可以相互转化，这也是解决函数对称性问题的一种数学思想.在高考复习中，也应该掌握常见函数对称性的抽象特征，如：

(1)设a,b均为常数，函数y=f(x)对一切实数x都满足f(a+x)+f(a-x)=2b⟺函数y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称图形；

(4)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期；

(5)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图像关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期;

(6)若函数图像关于2条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.

另外，利用函数图像理解和研究函数的性质是应该重视的考查点之一，函数图像比函数解析式更直观，比抽象函数更具体，其包含的信息量大，对考生的数学能力要求也较高．

从近几年的数学高考试题来看，函数的“两域四性”往往与导数、数列、不等式、三角函数、解析几何等知识交汇而命制成综合问题，以体现运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题、解决问题的能力，凸显“函数与方程思想”这一最重要、最基本的数学思想方法.

4 精题集萃

( )

A.[0,1] B.[0,1)

C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

2．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数．下列命题错误的是

( )

A.函数f(x)=x2(x∈R)是单函数

B.指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数

C.若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)

D.在定义域上具有单调性的函数一定是单函数

3．定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)．当-3≤x<-1时，f(x)=-(x+2)2；当-1≤x<3时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=

( )

A．335 B．338 C．1 678 D．2 012

4．已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=______.

6．定义在R上的函数f(x)在(-∞，a]上是增函数，函数y=f(x+a)是偶函数.当x1a且x1+x2>2a时，则f(2a-x1)与f(x2)的大小关系为______．

参考答案

1.B 2.A 3．B

4．-1

6.f(2a-x1)>f(x2) 7.2