多角度思考 全方位突破——2013年山东省数学高考压轴题的解法探究

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(滕州市第一中学新校 山东滕州 277500)

多角度思考全方位突破——2013年山东省数学高考压轴题的解法探究

●赵似花

(滕州市第一中学新校 山东滕州 277500)

2013年高考已经落下帷幕，部分考生认为山东省数学高考理科卷的压轴题难度很大，直呼“伤不起”.笔者认为这道题内涵丰富，入手较宽，解法灵活，可以从多个方面考查学生的基本知识和基本技能，有很好的区分作用，是值得研究的一道好题.

(1)求椭圆C的方程.

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任意一点，联结PF1，PF2,使∠F1PF2的平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围.

(2013年山东省数学高考理科试题第22题)

本题考查的内容很多,包括椭圆的方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、切线问题，甚至初中的内角平分线定理都有涉及.在圆锥曲线背景下，考查定值、范围问题也是高考的热点问题之一.下面笔者从多个角度思考，分析探究这一问题，揭示这一高考试题考查的内容与目的.

1 问题剖析

2.1 第(1)小题剖析

2.2 第(2)小题剖析

第(2)小题涉及到角的平分线，问题比较复杂，笔者着重分析.

思考角度1点P是椭圆C上除长轴端点外的任意一点，联结PF1,PF2，使∠F1PF2的平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围.点P变化引起∠F1PF2的平分线PM的变化，PM与C长轴的交点M(m,0)与点P的坐标有关.最自然的思路是：利用角分线性质，即点M到PF1,PF2的距离相等，寻求点M(m,0)与点P的坐标之间的关系.

解法1参见本刊第35页解法1.

图1

解法2如图1,在△F1PF2中，由三角形内角平分线定理可得

(1)

整理得

即

又因为-2

思考角度3解法2中求|PF1|,|PF2|时用到的是两点间的距离公式.考虑到|PF1|,|PF2|是椭圆上一点到2个焦点的距离，若考生了解焦半径公式，解法2可以进一步简化.

解法3在△F1PF2中，由三角形内角平分线定理可得

由焦半径公式可得

代入上式，可得

即

思考角度4解法2中用两点间的距离公式求|PF1|,|PF2|；解法3中用焦半径公式求|PF1|,|PF2|.还可以对解法2和解法3进一步优化,只要|PF1|,|PF2|中的一个就可以了.

解法4在△F1PF2中，由三角形内角平分线定理可得

由比例性质可得

(2)

由椭圆定义|PF2|+|PF1|=2a，|MF2|+|F1M|=2c,代入式(2)得

由焦半径公式可得

思考角度5解法4对解法2和解法3进行了优化，只要求|PF1|,|PF2|中的一个就可以解决问题.还可以进一步优化解法4，不用求|PF1|,|PF2|也可以解决问题.采取的方法是寻求点M(m,0)与|PF1|之间的关系.

解法5在△F1PF2中，由三角形内角平分线定理可得

由比例性质可得

由椭圆定义|PF2|+|PF1|=2a，|MF2|+|F1M|=2c,得

即

故

由椭圆性质可知：点P是椭圆C上除长轴端点外的任意一点，则点P到焦点F1的距离

|PF1|∈(a-c,a+c),

即

于是

得

如果仅仅想到利用角分线性质，即点M到PF1,PF2的距离相等，寻求点M(m,0)与点P的坐标之间的关系，即解法1中的方法，虽然可以解决这一问题，但是运算问题是解决这一问题的拦路虎.反之，如果了解一些数学中的结论,比如：三角形内角平分线定理、比例式的性质、焦半径公式、椭圆的定义等，那么这一问题的解决就十分容易，可以说是“秒杀”了.而要达到这一层次，就要求考生具有丰富的数学知识的积淀，具有运用所学知识分析问题、解决问题的能力.因而这道试题的区分作用还是很好的.

2.2 第(3)小题剖析

第(3)小题是椭圆中的一个定值问题，涉及椭圆的切线求法，下面剖析这一问题.

思考角度1直线PF1,PF2的斜率k1,k2和点P的坐标有关系，而过点P斜率为k的直线l，与椭圆C有且只有一个公共点，那么直线l就是椭圆的切线，切线斜率k显然也与点P的坐标有关系.我们可以用点P的坐标作为桥梁，找到k1,k2,k之间的关系，进而解决这一定值问题.

解法1设点P坐标为(x0,y0)，y0≠0,则直线l的方程为

y-y0=k(x-x0),

(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+

由题意知Δ=0,即

即

思考角度2解决曲线上某一点处的切线斜率问题，就是求函数在这一处的导数值，因而考虑用导数作工具解决这一问题.

故

即

从而

即

以下的处理同解法1.

曲线上某一点处的切线斜率问题，如果用解析几何的基本思路处理，少不了直线方程与曲线方程的联立和韦达定理，由于方程中存在多个字母，处理过程中还要用到代数式的代换，运算比较复杂，多数学生没能最终解决这一问题.而如果用导数来处理，则大大简化了这一运算过程.

2 背景分析

把第(2)小题和第(3)小题的分析稍加推广，可以得到椭圆的2个性质：

这一性质可以利用第(2)小题中的解法5进行简单的证明,此处略.

由性质1还可以得到一个推论：

利用解决第(3)小题的导数法，可以方便地求出过点P椭圆的切线斜率，本文不再赘述.由性质2也可以得到一个常用推论：

3 问题的延拓

该高考试题的命题背景是椭圆，而椭圆与双曲线与很多相似之处，因此也可以把椭圆中得到的这些性质延拓到双曲线中去.

由性质3还可以得到一个推论：

利用导数法，可以方便地求出过点P的双曲线的切线斜率，本文不再赘述.由性质4也可以得到一个常用推论：

4 结束语

2013年山东省数学高考理科卷压轴题以椭圆的光学性质为背景，考查直线与圆锥曲线的基本知识.学生在接受考试的同时，又能感悟到数学知识的内在联系，体会到数学结论的和谐，这也是这一试题的高明之处吧！