基于思维能力的2013年数学高考试题研究

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(福建师范大学数学与计算机科学学院 福建福州 350007)

基于思维能力的2013年数学高考试题研究

●余莉肖雪李祎

(福建师范大学数学与计算机科学学院 福建福州 350007)

众所周知，数学是一门思维的学科．因此，高考对于数学学科的考查必须以数学思维能力为核心．数学思维能力是指学生在分析和解决数学问题时所表现出来的思维能力．《普通高中课程标准(实验稿)》明确指出：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、求解运算、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．这些思维过程不仅是数学思维能力的具体体现，而且有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和作出判断．由于篇幅有限，笔者选取2013年高考试卷中的典型试题，着重分析考题中观察发现、类比归纳、抽象概括、符号表示、直观感知能力的考查情况．至于其他能力的考查研究，笔者将另文阐述.

1 基于观察发现能力的考查研究

观察发现能力是以已有的知识背景、学习能力为基础，在求同存异的前提下，依靠个人独特的视角，挖掘已知条件,从而解决相关问题的一种思维能力．达尔文在总结自己的成就时说：“我既没有突出的理解力，也没有过人的机智，只是在观察那些稍纵即逝的事物并对其进行精确观察的能力上，我可能在普通人之上．”可见，观察发现能力对于一个人的成就来说是多么重要！

例1已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=

( )

A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2}

C.{-1,0,1,2,3} D.{0,1,2,3}

(2013年全国新课标卷理科试题)

评析解选择题不仅需要观察题目提供的条件信息，还要观察选项的特点，通常选项也会提供解题信息．本题直接解不等式(x-1)2<4求出集合M，进而根据交集的定义求出M∩N并非难事，但需要花一些时间．如果学生仔细观察选项可以发现0,1,2是4个选项集合中的共同元素，因此我们只要将-1代入集合M，不满足集合M的条件即可排除选项B和C，将元素3代入集合M，同样也不满足即可排除选项D．面对此类试题，学生若能仔细观察题目和选项，发现快速解决问题的途径，即可在高考这样没有硝烟的战场上争分夺秒．

2 基于归纳类比能力的考查研究

归纳是指从一些比较特殊的结论推导出一般性结论的思维方法，而类比是指从2个(或2类)不同的对象在某一属性上相同(或相似)而推出其他属性上也相同(或相似)的思维方法．归纳类比能力包括在学习新知识时，结合已有知识，总结已有经验，类比学习未知知识；还包括在解决问题时，类比发现已有知识与未知问题的联系，如面对创新题型、新的问题情境、新的提问方式，将未知转化为已知，从而分析问题、解决问题．

例2当x∈R,|x|<1时，有如下表达式：

2边同时积分得

从而得到如下等式

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

(2013年福建省数学高考理科试题第15题)

评析本题以二项式定理与积分知识为载体，主要考查学生归纳类比的能力.学生初见此题时难免会因其题目较长、信息量较大又是填空压轴题而产生抵触情绪．学生认真审题会发现题目中有句很人文的话——根据以上材料所蕴含的数学思想方法计算，再根据提示进一步观察所给材料与问题式子，可以发现未知式子与已知的第3个等式最为相似，而第3个式子又是由前2个式子递推而来．面对此类问题，学生需要归纳总结已知等式递推过程中蕴含的思想方法和活动经验，类比到未知问题中从而解决新问题．

3 基于抽象概括能力的考查研究

抽象是从大量复杂的、具体的事物中排除事物表面的、非本质的特征，揭示出其本质特征的思维过程；而概括则是把事物的本质特征综合起来进行推广的思维过程．数学抽象概括能力是指在数学学习活动中所具有的摆脱具体内容及其表面现象，从各种对象、关系、运算等结构中排除非本质特征，抽取其本质特征的思维能力．抽象和概括是相互紧密联系的，没有抽象就没有概括，而概括又必须建立在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论．

正方形数N(n,4)=n2,

六边形数N(n,6)=2n2-n,

…

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=______.

(2013年湖北省数学高考理科试题第14题)

评析本题通过给出4个具体的多边形数第n个数的表达式，要求学生推测一般表达式从而解决问题．学生通过观察可以发现4个具体表达式中哪些量是不变的，哪些量是变化的，变化的规律又是什么，这种变化规律与k之间存在怎样的关系，接着努力找寻变化量与k之间的关系，再根据变化规律，总结概括出N(n,k)的表达式．学生在解决此类试题时首先应从具体实例入手，研究发现问题的本质，然后在变与不变的规律中运用抽象思维总结概括出一般结论，从而达到解决问题的目的．

4 基于符号表示能力的考查研究

符号表示能力就是把各种具体的事物及其关系用抽象的数字符号表示出来的能力．它包括能够准确地辨别数学符号，还包括正确地使用数学符号分析问题、解决问题，尽可能简化问题解决的过程．数学符号看似抽象，其实它的来源是具体的、实际的．若能把数学符号化的思想渗透到学生的学习和实践活动中，便能更好地促进学生思维能力的发展．

例4设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：

若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则

( )

A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2

C.a∨b≥2,c∧d≤2 D.a∨b≥2,c∨d≥2

(2013年浙江省数学高考文科试题第10题)

评析本题通过定义新运算符号“∧”和“∨”侧重考查学生的符号表示能力．学生阅读、观察、分析新定义运算式子可以发现“a∧b”运算实际是取两者之间较小值，“a∨b”运算则是取两者之间较大值．学生在充分理解新定义运算所表示的数学含义的基础上，再根据题目中给出的限制条件，采用特殊值法即可选出正确答案．数学符号的意义就是将复杂的事物用简洁、抽象的符号语言来表示，从而在分析、解决问题时达到简约思维、提高效率的作用．因此，学生能否解决此类试题的关键在于是否理解看似简单的新定义运算符号所表示的抽象数学含义．

5 基于直观感知能力的考查研究

心理学提出由于感觉和知觉紧密联系、不可分割，故称为感知．感觉是人脑对直接作用于感觉器官的事物的个别属性的反映.知觉是人脑对直接作用于感觉器官的事物的整体的反映．直观感知能力可理解为结合生活实际，通过观察实物、数学符号、数学语言直接得出解决问题的可能方案或得出问题的可能结果的思维能力．直观感知能力与学生自身的数学知识密不可分，是学生数学素养不可或缺的组成部分．因而，对学生数学素养的检测可以借助对直观感知能力的考查来实施．

图1

例5如图1，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC,AA1=3k,AD=3k,BC=5k,DC=6k(k>0).

(1)略.

(2)略.

(3)现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的2个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式(直接写出答案，不必说明理由).

(2013年福建省数学高考理科试题第19题)

评析本题第(3)小题是典型的考查直观感知能力的提问方式．这种方式较为新颖，但是新并不意味着难．解题的关键在于能否在已有知识的基础上分析问题、解决问题．既然题目的要求为：直接写出答案，不必说明理由，就是提示学生从已有的条件(包括题意、前面已得出的结论)中去观察、分析，从而得到最终结果．高考对直观感知能力的考查，也提示了广大一线教师在平时教学中要注重培养学生的数学思维能力，而不是提倡一成不变的“题海战术”．

纵观2013年全国各省市以及新课标卷的数学试题，可谓特色各异、精彩纷呈．很多试题内容丰富多彩、形式新颖独特，给人耳目一新之感．笔者仔细研读试题发现高考试题的命制越来越强调对数学思维能力的考查．数学高考试题以数学思维能力为考查重点，以此来检测学生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能，将会更好地发挥其区分和选拔人才的功能．不仅如此，高考侧重对数学思维能力的考查对中学数学教学具有积极正确的导向作用，使其不再沉溺于题海战术，而是更注重于学生数学思维能力的培养和发展，促进基础教育向素质教育方向的转变．