基于FRFT域空间分形特征差异的海面弱目标检测＊

田玉芳，姬光荣＊＊，尹志盈，郑海永

（1.中国海洋大学信息科学与工程学院，山东 青岛266100；2.电波环境特性及模化技术重点实验室，山东 青岛266071）

海杂波，即来自海洋表面的雷达反射回波，对海面弱目标检测具有严重的制约作用，因此对其建模及抑制技术的研究具有重要的军事和民用价值。自1990年代，国内外学者就致力于将分形理论应用于海杂波背景下的目标检测［1－2］。目前，其仍为该领域的研究热点。

基于分形理论的海面目标检测的局限性主要体现在2方面：（1）将分形特征作为目标检测的依据时，传统方法使用固定的分数维作为判决门限［1，3］，然而由于海面状态并不稳定，其分数维也会在长时间及大范围上呈不稳定性，因此仅利用一个固定的分数维作为检测门限将不可避免地造成虚警和漏警；（2）当信杂比较低时，海杂波和目标回波的时域分形特征差异变得很小，很难有效检测出海面弱小目标，且分形方法无法获取目标的运动信息。

鉴于上述问题，可分别从以下两方面进行改进：（1）优化检测统计量，如将海杂波相邻距离单元盒维数在时间上的变化量［4］、同一时刻不同距离单元的Hurst参数差异［5］、分形几何的相关系数［6］、多尺度 Hurst参数（扩展分形）［7］、多重分形特性［8－10］、Hurst指数和缝隙值（高阶分形特征）相结合［11］等作为检测统计量；（2）将分形理论与其它处理相结合，从而提高信号信杂比并获取更多的目标信息，如分形结合统计方法［12］、分数阶Fourier变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）结合分形［13］、分形结合模糊理论［14－15］、小波分解结合分形［16－17］等。其中，FRFT是一种广义时频分析方法，通过选择合适的变换阶数，可使信号在FRFT域聚集，提高信号的信杂比。

结合上述2种改进思路，本文将分形理论与时频分析相结合，分析了海杂波在FRFT域的分形特性，提出了基于FRFT域空间分形特征差异的海面弱目标检测方法。首先将海杂波时间序列转换到FRFT域，继而计算其在FRFT域的分形参数－Hurst指数，最后对Hurst指数作进一步处理，并提取其空间分形特征差异作为检测统计量。经IPIX雷达（X波段）实测海杂波数据验证，表明该算法可以有效提取低信杂比条件下海杂波与海面运动弱目标回波的特征差异，且文中提出的分形检测统计量可以有效避免虚警和漏警，提高了海事雷达的弱目标检测性能。

1 FRFT域海杂波分形特性

海杂波是雷达参数、气温、洋流、风向、风速等多个参数的函数，要在不同环境因素和雷达参数下建立一个普适性的、精确的海杂波模型几乎是不可能的。因此学者们在研究海杂波特性以及有效的目标检测方法时，一般都是针对特定海域、特定雷达进行的。本文采用的实验数据来自加拿大McMaster大学的IPIX雷达（见表1）数据库网站，包括HH和VV极化条件下的14个X波段数据文件，每个数据文件含14个距离门的回波信号，共计392组海杂波数据。实验中的待检测目标为1个直径1m的球形密封救生器，表面包了一层用来增强信号的铝箔。

表1 IPIX雷达性能参数Table 1 Performance parameters of IPIX radar

1.1 分数阶Fourier变换（FRFT）

基于分数阶Fourier变换（FRFT）的时频分析是对现有的传统时频变换的广义化拓展，因此又称为广义时频分析。

信号x（t）的a阶Fourier变换定义式如下：

其中，核函数Ka（t，u）为：

由于核函数Ka（t，u）是chirp类函数，FRFT实质上是将时域信号在chirp基上展开，通过选择合适的旋转角度，可使信号在FRFT域聚集，起到提高信号信杂比的作用。借助快速Fourier变换（FFT）的思想，可实现离散分数阶Fourier变换（DFRFT）的快速算法［18］，为雷达的实时性探测提供了保证。

1.2 基于小波的Hurst指数计算

与理想分形体不同，实测海杂波信号仅在一定的时间尺度内具有分形特性，目标的存在会改变海杂波的分形特征，因此可以基于这一点进行目标检测。

首先建立分形模型－分数布朗运动模型（FBM）。在FBM中，决定模型“粗糙”程度的参数为Hurst指数。对于一维时间信号，Hurst指数与分形维数D的关系为D＝2－H（H表示Hurst指数）。

在时间分形尺度分析、Hurst指数求解过程中，小波分析法具有适用范围广、避免Hurst指数饱和等优势［19］，因此本文采用小波分析法的方差法提取海杂波的分形特征。

将给定的海杂波时间序列 Xi（i＝1，2，…，n）减去序列均值μ，得到新时间序列xi＝Xi－μ（i＝1，2，…，n）。

定义小波函数为ψ0，尺度函数为Φ0，最大分解层数为J。对时间序列xi，（i＝1，2，…，n），进行小波变换：

其中：a＜J，K＞和d＜j，k＞分别为小波变换的尺度系数和小波系数，φi，k（i）和ψi，k（i）分别为小波尺度函数和母小波函数：

k为平移参数。因此分数布朗运动BH（t）可表示为：

由于BH（t）是自相似过程，则上式可由变量替换得：

对于分形高斯噪声，其均值E［dj，k］＝0，因此导出下式：

其中：nj是第j 层小波系数的个数；c0＝E［d20，0］为常数，对上式取对数处理：

不难看出Hurst指数可由j～log2Γ（j）曲线的斜率r表示，且H＝（r－1）／2。j～log2Γ（j）的线性部分对应的尺度即海杂波的分形无标度区间，在无标度区间上，Hurst指数是稳定的。大量实验表明IPIX雷达时域海杂波信号的无标度区间为4～12尺度［5］。

1.3 FRFT域海杂波分形特性

在将海杂波时域信号转换到FRFT域的操作中，核心工作是最佳变换阶数的选取。如何确定FRFT的最佳变换阶数，使目标回波的能量在最佳变换域得以最大程度的聚集、且分形特征与海杂波相比差异最大，是本节首先要介绍的问题。

以IPIX雷达HH极化方式下＃17（低信杂比）、＃54（高信杂比）数据文件的28组海杂波数据为例（见表2），对这2个数据文件在变换阶数分别取a1＝1.1，a2＝1.6时进行分数阶Fourier变换，进而由分形曲线得到海杂波数据在FRFT域的分形无标度区间（见图1）。由图1可以看出：（1）不同距离门的海杂波分形曲线基本重合，且线性部分（5～10尺度）的斜率差别不大，即变换阶数变化对FRFT域海杂波数据的分形曲线影响较小，经直线拟合得到的Hurst指数差别不大，经分析认为，出现上述情况的原因在于海杂波在一定程度上可视为多个单频信号的叠加，其能量在FRFT域中得不到较好的聚集，随旋转角度变化其分形参数改变不大；（2）目标回波的分形曲线在5～10尺度上也呈线性，即当FRFT的变换阶数取不同值时，不同数据文件的海杂波与目标回波的无标度区间都在5～10尺度上，随变换阶数变化，目标回波分形曲线的斜率发生明显改变，且总是大于海杂波的分形曲线斜率，即目标回波的Hurst指数大于海杂波的Hurst指数。不难证明，FRFT域最佳变换阶数对应的海杂波与目标回波的分形维数差别最大。参考文献［20］，采用分级计算迭代算法确定FRFT的最佳变换阶数。通过本实例可以初步得出海杂波在FRFT域的分形无标度区间为5～10尺度的结论。经大量实验验证，海杂波在FRFT域的分形无标度区间为5～10尺度，与时域信号相比尺度范围偏小，可见在时频联合域，海杂波的分形特性有所减弱。

表2 ＃17、＃54数据文件信息Table 2 Information of＃54and＃17data files

图1 ＃17、＃54数据的分形特征Fig.1 Fractal characters of＃17dataset and＃54dataset

随后，在FRFT最佳变换域上研究海杂波与目标回波的分形特性。在5～10尺度上分析FRFT域海杂波的Hurst指数分布特性，经大量实验发现：在FRFT的最佳变换域，由于目标回波的能量得到最大程度的聚集，对应的Hurst指数与时域相比明显变大，目标回波与海杂波的分形参数差异范围也变大，为海面弱目标检测提供了更有效的判决依据。

仍以IPIX雷达＃17、＃54数据文件为例，对海杂波在FRFT最佳变换域以及时域的分形特征进行分析（见图2）。由图2可以看出：（1）HH极化条件下，时域目标回波与海杂波的Hurst指数差异范围明显小于FRFT域的；（2）由于回波成分的差异，VV极化条件下的雷达回波信号的信杂比较HH极化更低，因此目标回波与海杂波的Hurst指数差异范围在时域显著降低，而在FRFT域仍能较好的区分海杂波和目标回波。然而，由于FRFT对海杂波也有一定程度的能量聚集作用，造成FRFT域海杂波的Hurst指数也普遍高于时域海杂波的。下一节将介绍降低FRFT对海杂波的能量聚集作用、使分形检测统计量得以优化的算法，最终进一步提高海事雷达的目标检测能力。

图2 时域、FRFT域雷达回波分形特征Fig.2 Fractal characters of radar echo in time and FRFT domain

2 FRFT域海杂波分形检测统计量

虽然海杂波的分形特征在时间和空间上不具有长期稳定性，但同一时刻同一海域的海杂波可认为是均匀的，因此同一时刻不同距离单元的海杂波分形特征差异不大，而弱小目标的存在会使该距离单元回波出现较大的分形特征差异。在空间范围上对FRFT域海杂波的分形参数作进一步处理，可以增大纯海杂波与目标回波的分形特征差异，改善低信杂比条件下海事雷达的目标检测性能。

首先，考虑到FRFT域海杂波的Hurst指数有一定程度的增大，而目标回波Hurst指数增大的幅度更大，因此先求出该海域当前时刻若干距离单元海杂波的Hurst指数，计算出它们的均值Hmean，进而对14个距离单元的所有Hurst指数进行差模处理：

由图3对＃17数据文件差模处理的效果可以看出：由于同一时刻同一海域海杂波的Hurst指数比较接近，在取与H＿mean差值的绝对值之后，Hurst指数分布更加集中，而目标回波的Hurst指数只略微减小。

图3 差模处理Fig.3 Absolute D－value processing

然后，将经过差模处理后的H′i作为该海域对应距离单元回波的分形参数，取一小块海域海杂波的分形参数作为标准特征量Hclutter。显然，经差模处理之后局部海域在同一时刻的海杂波分形特征更加接近，即海杂波和标准特征量Hchutter之间的Hurst指数差异会很小；若某处存在目标，则该距离单元雷达回波的分形特征将会明显区别于海杂波，目标回波和标准特征量Hclutter之间的Hurst指数差异较大。因此，可以将同一时刻不同距离单元的Hurst指数差异或其变形作为检测统计量，对海面弱目标进行检测。

定义检测统计量Htest为：

仍以＃17数据文件为例，分析其检测统计量Htest在不同距离单元的分布，并与时域海杂波空间Hurst指数差异［5］进行比较（见图4）。由图4可以看出：与时域相比，经改进的FRFT域空间分形参数差异范围更大。在低信杂比条件下，将FRFT域的Htest作为检测统计量，仍会有较高的弱目标检测概率。需要指出的是，FRFT可能会造成次目标单元的Hurst指数高于主目标单元，给主目标单元的确定带来一定难度。出现这种情况的可能原因有3种：（1）每组实验仅采用单极化方式的海杂波数据，未能综合其多极化信息，造成信息丢失；（2）在雷达采样过程中，目标随海面波动移动到主目标单元的附近（次目标单元处），造成能量的泄露；（3）最佳变换阶数的计算方法仍有欠缺，造成主目标单元信号的能量不能达到最大程度的聚集。因此，如何综合海杂波多极化信息、抑制FRFT域次目标单元的能量聚集，并进一步优化最佳变换阶数的提取算法，是下一阶段的工作目标。

图4 空间Hurst指数差异HtestFig.4 The difference of Htesthurst indexes

3 实验结果

在已知海杂波满足分形特性的无标度区间为5～10尺度的基础上，对IPIX雷达HH与VV极化方式下的392组海杂波数据按以下步骤进行操作：

（1）采用分级计算迭代算法计算FRFT的最佳变换阶数，将时域海杂波数据转化到FRFT域；

（2）基于小波分析法计算各海杂波序列的Hurst指数；

（3）计算FRFT域各海杂波序列的分形检测统计量Htest；

（4）通过分析Htest的统计分布设定阈值T，并按下式判决某距离单元是否存在目标：

由图5可以看出：（1）基于时域空间分形特性差异的目标检测方法［5］可以在较高信杂比条件下有效区分海杂波与目标回波，而当信杂比较低（VV极化）时，则难以克服门限效应的影响，海杂波与目标回波的分形特征出现重叠区域，在步骤（4）的分类判决中会带来虚警和漏警。文献［5］中，为了便于比较分析、避免低信杂比情况特别是门限效应的影响，只对10个数据文件合计280组数据进行了分析，实验的结果也实现了海杂波与目标回波的完全区分，但并没有从根本上改善在低擦地角、高分辨率条件下海杂波信号信杂比较低的制约；（2）本文方法在2种极化方式下都可实现海杂波与目标回波的完全区分，有效的避免了低信杂比情况特别是门限效应的影响，且可以获取运动目标的信息，为海面运动弱目标检测提供了更有效的判决依据。对HH、VV 2种极化方式，分别设置阈值T为0.02、0.01时，目标检测概率达到100%，且没有带来虚警和漏警。

需要指出的是，步骤（4）中采用硬门限判决只是为了验证分形检测量Htest的有效性，在实际分类过程中，一般采用基于机器学习的模式分类方法。

图5 本文方法与时域空间Hurst指数差异方法［5］比较Fig.5 Comparation of the present approach and the method of hurst indexes difference［5］

比较海杂波的时域Hurst指数H、时域空间Hurst指数差异Htest1、FRFT域改进型空间分形特征差异Htest2（见表3）。为保证实验的严谨性，采用全部392组数据，分别对每组统计量乘以一定的系数，以保证海杂波分形参数的均值在相同的数量级上，使比较结果更直观。由表3可以看出：（1）时域海杂波与目标回波的Hurst指数均值差值范围不大（HH极化：0.062，VV极化：0.025），而且有很大的重叠区域，单纯依靠设定分形参数阈值来进行目标检测将带来严重的漏警和虚警；（2）时域海杂波与目标回波空间Hurst指数差异的均值差值范围较大（HH极化：1.471，VV极化：0.456），但在低信杂比条件下出现重叠区域，没有从根本上消除信号信杂比较低的制约；（3）FRFT域海杂波与目标回波的分形参数均值差值范围最大（HH极化：3.466，VV极化：2.348），在低信杂比条件下仍能完全区分海杂波与目标回波，为海面运动弱目标的检测提供了更有效的判决依据。

表3 3种方法的分形检测统计量比较Table 3 Comparation of fractal test statistics of three methods

4 结论

（1）本文采用FRFT进行预处理，在其最佳变换域，信号的信杂比得以改善，有效避免了门限效应的影响，并且可以获得目标的运动信息，为进一步的目标检测提供了有利的条件。同时，通过提取改进的空间分形特征差异作为检测统计量，实现了海杂波与目标回波的有效区分。

（2）本文算法的不足之处：经分数阶Fourier变换后，次目标单元的Hurst指数可能会高于主目标单元，给主目标单元的确定带来一定难度。因此，如何综合海杂波多极化信息、抑制FRFT域次目标单元的能量聚集，并进一步优化最佳变换阶数的提取算法，是下一阶段的工作目标。

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