一类时滞不确定随机Markovian跳变系统的滑模控制＊

孟 波，高存臣，2，考永贵，刘云龙

（1.中国海洋大学信息科学与工程学院，山东 青岛266100；2.中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛266100；3.哈尔滨工业大学（威海）数学系，山东 威海264209；4.潍坊学院信息与控制工程学院，山东 潍坊261061）

近几十年，带有Markovian切换的随机微分方程（SDE）所描述的控制系统的稳定性问题引起了众多学者的广泛关注。文献［1］研究了线性跳变系统的稳定性；文献［2］讨论了带有Markovian切换的一般非线性微分方程的指数稳定性；文献［3］研究了带有 Markovian切换的随机时滞区间系统的稳定性；文献［4］进一步研究了时滞相关稳定性。上述文献的研究方法均为Lyapunov函数法。但是，大量的实际问题，有的系数是不确定的，有的是随机的，这种由不确定性与随机性所描述的混合型随机控制系统的分析与设计问题是客观实际向研究工作者提出的亟待解决的问题，该问题已有一些相关研究［5－8］，这些研究还不够广泛，因此，关于该问题的研究是本文要深入研究的问题之一。

滑模控制（SMC）是一种广泛使用在不确定系统和非线性系统中的鲁棒控制方法［9－11］，SMC系统的主要优点是它对系统参数变化和外部扰动具有不灵敏性。在过去的几十年间，不确定系统［12］、时滞系统［13］、分布参数 系 统［14］、切 换 系 统［15－16］以 及 Markovian 跳 变 系统［17－18］的SMC问题已经看到一些报道。最近，不确定随机时滞系统的SMC问题受到越来越多的重视，因为SMC是一种对不确定系统有效的鲁棒控制方法。例如，文献［19］针对带有时变时滞的不确定随机系统，通过等效控制方法提出了一种鲁棒积分SMC方法；文献［20］通过滑模变结构控制方法对非线性随机系统的鲁棒H∞控制问题进行了研究。然而，已有结果对随机扰动的结构进行了假设，使得当使用等效控制方法进行控制器设计时不需处理随机摄动，这样的假设可能对许多随机系统受限制的条件非常苛刻。文献［21］针对不确定随机时滞系统的鲁棒H∞控制问题提出了一种SMC设计方案，在一定程度上消除了现有结果中的随机摄动的制约。文献［22－23］给出了不同于等效控制方法的其他方法，用来设计不确定性随机系统的SMC律。然而，到目前为止，对于带有Markovian切换的随机系统SMC的文献很少；文献［24］设计了一种积分切换面，其中切换面中的一些参数矩阵需要预先给出；文献［25］针对广义随机混合系统提出了一种鲁棒积分SMC方法。采用文献［24－25］中的研究方法，对随机摄动结构的假设，许多随机Markovian跳变系统会受到很大限制，而且上述文献均未考虑系统状态中出现时滞的情形。本文将给出一种处理时滞不确定随机Markovian跳变系统的SMC问题的新方法，获得一类时滞不确定随机Markovian跳变系统的滑模控制器的设计方案与系统状态的次可达性与滑动性的结果。

本文考虑时滞不确定Ito型随机Markovian跳变系统的SMC问题。该动态系统［2］包含时变系统参数不确定性和随机扰动。此外，它可能涉及到一种非线性未知函数。针对每一个模态设计了对应的切换面。利用数学期望、方差等概念，给出了切换面的次可达性的定义，并设计了保证切换面次可达的SMC律。最后，给出了上述系统的闭环系统为均方渐近稳定性的充分条件。

1 系统描述与主要引理

令｛rt｝t≥0是完全概率空间（Ξ，F，｛Ft｝t≥0，P）上的连续时间Markovian过程，它在一个有限集合S＝｛1，2，…，N｝上取值，并且

本文考虑如下的时滞不确定随机Markovian跳变系统

其中：x（t）∈Rn是状态向量；u（t）∈Rm是控制输入向量；w（t）是一维布朗运动，满足 E｛dw（t）｝＝0和E｛dw2（t）｝＝dt；A（rt），Ad（rt），B（rt），C（rt），Cd（rt）是相应维数的已知矩阵。不失一般性，这里假设（A（rt），B（rt））可控，rankB（rt）＝m；ΔA（rt），ΔAd（rt），ΔC（rt），ΔCd（rt）是不确定矩阵，τ≡Const.≥0，Φ（t）∈CbFo（［－τ，0］；Rn）是初始函数（CbFo（［－τ，0］；Rn）表示所有有界、F0－可测、C（［－τ，0］；Rn）－值随机变量的全体；C（［－τ，0］；Rn）表示从［－τ，0］到 Rn连续函数的全体），f（x，rt）∈Rm是未知非线性向量函数，且满足下面不等式

这里，η（rt）是适当选取的正常数。

对每一个可能值rt＝i∈S，与模态i有关的系统矩阵可表示A（rt）＝Ai，Ad（rt）＝Adi，B（rt）＝Bi，C（rt）＝Ci，C（ri）＝Ci，Cd（rt）＝Cdi，ΔA（rt）＝ΔAi（t），ΔAd（rt）＝ΔAdi（t），ΔC（rt）＝ΔCi（t），ΔCd（rt）＝ΔCdi（t），f（x，rt）＝fi（x），那么系统（2）可描述为

假设1 若输入矩阵Bi满足Span（B1）＝Span（B2）＝…＝Span（BN），则存在列满秩矩阵B∈Rn×m与非线性矩阵Li∈Rm×m，使得对所有的i∈S，有Bi＝BLi。

注1 在系统（4）中，若τ＝0，则得到文献［14］中的系统；若N＝1，则系统（4）是文［19，21，23］中的随机时滞系统；文献［24］中扩散项没有时滞。因而本文中的系统较之上述文献更具一般性。

结构

这里，i∈S，Eij，Hij（j＝1，2，3，4）是常数矩阵，Fii（t）∈Rqij1×qij2满足FTii（t）Fii（t）≤I，t≥0，j＝1，2，3，4，I为相应维数的单位矩阵，rank（Hii）＝maxt≥0｛rank（ΔA1i（t））｝。Eij，Fij（t）不能有零行向量或零列向量。

下文证明中用到如下不等式，令X，Y∈Rn。若FT（t）F（t）≤I，则

引理1［11］令ρ，q和γ是常数，且满足0＜ρ＜γ。若

则，

这里V（t）∈C（［t0－τ，β），R＋），｜Vt｜＝supV（t＋θ），λ是方程λ＝γ－ρeλτ唯一的正解。

2 主要结果

2.1 滑模控制律的设计

作为SMC设计的第一步，构造线性滑模面函数

在设计滑模面函数系数矩阵Ki∈Rm×n之前，矩阵Ki需首先满足如下2个条件：1）矩阵K2i∈Rm×m是可逆的；2）存在矩阵Hij∈Rqij2×m（j＝1，2，3，4）

从（13）和条件1）可得

对时滞不确定随机Markovian跳变系统（4）来说，系统的滑模面仍是S（t，i）＝0，发生在滑模面S（t，i）＝0上的运动被称为滑动运动。现在引入一个滑模面次可达性的概念。

定义1 考虑SMC系统（4），对于满足初始条件x（t0）＝x0，（t0，x0，rt0）∈R＋×Rn×S 的运动轨迹x（t，t0，x0，rt0），在控制u（t）的作用下，如果存在时间T＞0，使得对所有成立，那么系统（4）的滑模面被称为可达的。如果存在时间T＞0，使得对所有成立，那么系统（4）的滑模面被称为次可达的。

滑模面次可达性是使用期望，均方等概念来定义闭环系统运动到滑模面S（t，i）＝0上的程度。与其它传统方法相比，滑模面的次可达性能够更清楚地反映出随机Markovian切换系统的特征。

定理1 对满足条件（7）～（9）的随机 Markovian跳变系统（4），线性滑模面函数由（13）给出，则在下面SMC律（17）的作用下，滑模面S（t，i）＝0是次可达的。系统（4）的SMC律由下式给出

注2 文献［24－25］对随机扰动的结构进行了假设，使得当使用等效控制方法进行控制器设计时不需处理随机摄动，这样对许多随机系统限制太多［21］。本文通过引入滑模面次可达这个概念，易于设计处理随机扰动的SMC器，并且可去掉对随机扰动结构的保守假设。

2.2 滑动运动的稳定性

将SMC律（16）～（17）代入系统（4），可得系统（4）的闭环系统，如下

ⅰ）对于从任意初始位置（t0，x0，rt0）∈R＋×Rn×S出发的运动轨迹x（t），则存在有限时间T＞0，使得当t＞T＋t0时，有

定义2 时滞随机Markovian跳变系统（21）是均方稳定的，如果对任意的ε＞0，存在δ（ε）＞0，使得当任意φ时，系统（21）的运动轨迹x（t，Φ，r0）满足E｛‖x（t，Φ，r0）‖｝＜ε，这里r0∈S。更进一步，若系统（21）是均方，则系统（21）的运→ ∞动轨迹是均方渐近稳定的。

下面研究系统（21）在条件（22），（23）成立的情况下的稳定性，称此问题为滑动运动的稳定性。下面给出系统（21）均方渐近稳定的定义。

定理2 若条件ⅰ和ⅱ成立，且0＜μmax＜γmin，则系统（21）的运动轨迹是均方渐近稳定的。

由（9）和（14）可得

τ，i）‖2。因此，可得

3 数值例子仿真

考虑具有2个模态的时滞不确定随机Markovian跳变系统，其转移率矩阵为

图1 切换信号Fig.1 Switching signal

通过计算可得，μmax＝7，γ＝min＝11.2741，0＜μmax＜γmin，则定理2的条件是满足的。选择η1＝0.5，η2＝0.4，ξ2＝0.4，ε1＝0.5，ε2＝0.6可得定理1所需要的模1、模2的SMC律u1（t），u2（t）如下，

本文通过近似离散化方法模拟标准布朗运动，但是不得不处理时滞。仿真时间t∈［0 T］，T＝2；改变量δt＝T／N，N＝103；步长Δt＝R·Δt，R＝1；初始状态x（θ）＝［0 0.8］T，θ∈［－0.002 0］。应用上述数据，设计MATLAB仿真程序。图1是模态的切换；图2、图3分别是开环、闭环系统的运动轨迹x1（t），x2（t）。结果表明开环系统是不稳定的，但在SMC律作用下闭环系统是均方渐近稳定的。

4 结语

本文研究了时滞不确定随机Markovian切换系统的SMC，不同于等效控制方法，改进的SMC律使得滑模面具有次可达性。并且在次可达的条件下，给出了滑动运动均方渐近稳定的充分条件。由于SMC律不包含随机噪音，有利于应用到工程实际中。

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