基于Backstepping的机器人有限时间跟踪控制研究

刘海涛，张铁

(1.广东海洋大学工程学院，广东湛江524088;2.华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州510640)

工业机器人的运动精度不仅依赖于零部件的制造和装配精度，以及运动学标定效果，而且与运动控制模型参数的精确程度和外部干扰密切相关。但在进行基于模型的控制器设计时，常常不得不忽略某些不确定性因素，如高频动态特性、运动部件间的摩擦、信号的检测噪声等，而这些因素往往成为影响轨迹跟踪精度的主要原因。因而一些现代的非线性鲁棒控制算法受到研究者的关注，如自适应控制、滑模变结构控制和鲁棒控制等。其中有限时间控制具有较好的瞬时响应特性和较高的跟踪精度，因而特别适合于工业机器人系统的高品质控制。有限时间控制［1－2］是指系统状态能在有限时间内收敛至平衡点，常见的有限时间控制方法有齐次系统方法［3］，有限时间Lyapunov函数构造法［4］、终端滑模控制［5－7］等。这些控制方法近年来的在机器人控制领域取得了许多研究成果，如文献［8］采用齐次系统方法结合PD和重力补偿策略提出了一种有限时间稳定的机器人控制方法，可获得局部的有限时间稳定。文献 ［9］提出的一种非线性PD+机器人控制器却是全局有限时间稳定的，仅把传统PD控制的线性位置误差项代换为误差的分数幂形式，却获得了更好的控制性能。文献 ［10］利用Backstepping方法构造了一种有限时间控制器，但只考虑了机器人的位置控制。最近，文献 ［11］提出了基于逆动力学方法的全局有限时间机器人跟踪控制方法，同样也是对机器人的传统逆动力学方法加以修正，通过Lyapunov直接稳定性理论和有限时间稳定理论证明了全局有限时间稳定性。但是文献 ［11］假设了机器人的动力学模型是完全精确已知的，并且未考虑各种不确定性因素的影响，如未建模动力学、模型误差、干扰力矩和摩擦力等，众所周知，六自由度工业机器人的动力学模型是相当复杂难以精确获得的，因而其鲁棒性难以保证。

结合工业机器人的实际应用，并考虑了常用交流伺服电机的动力学特性，利用Backstepping方法设计了一种具有强鲁棒性且有限时间稳定的机器人轨迹跟踪控制方法。

1 问题的描述

1.1 机器人的动力学方程

根据拉格朗日原理，对于一个多输入多输出的n自由度工业机器人系统，其动力学方程可表示为

为实现器人的高精度控制，必须同时考虑交流伺服电机的动力学特性，即机器人n个关节上交流伺服电机的动力学模型可表示为如下形式:

式中:τm∈Rn是电磁扭矩向量;qm∈Rn是电机转子的转角向量;τL∈Rn是电机的负载扭矩向量;Jm∈Rn×n为瞬时惯性矩阵;Dm∈Rn×n是电机阻尼系数矩阵;u∈Rn为电压输入向量。这里假设采用三菱交流伺服电机，在转矩模式下，输入电压与输出转矩成正比，因此得出式 (3)，实际上忽略了交流伺服电机矢量控制的动态特性。

另外，机器人关节角与电机转子转角的关系如下:

其中N∈Rn×n为机器人n个关节的减速比矩阵。

由式 (1)— (4)可得，机器人－电机的动力学模型可表示为

实际上，模型 (5)的相关参数是很难甚至不可能精确获得的，因此基于模型的控制方法不得不考虑参数不确定性的影响。为便于分析与设计，假设计实际的动力学参数可以表达为如下形式:

其中:

其中，a0，a1，a2，ε均为大于零的常数，通常利用试差法可以获得，对于旋转关节的工业机器人来说，关节位置及速度是有界的，因而上述假设是符合实际的。

1.2 相关定理

引理1.假设存在连续可微函数V(x):U→Rn，使其满足下列条件:

(1)V(x)正定;

(2)存在正实数c＞0和0＜α＜1，以及一个包含原点的开邻域U0⊂U，使得下列条件成立条件:

则系统 (7)为有限时间稳定的，若U=U0=Rn，则系统 (7)为全局有限时间稳定的。并且系统在初始状态x(0)=x0下的调整时间满足:

其中V(x0)是V(x)的初始值。

引理2.对于任意正实数a，b和0＜λ＜2，有以下不等式成立:

引理3.对于任意正实数a，b和0＜λ＜2，有以下不等式成立:

1.3 问题的描述

机器人有限时间轨迹跟踪控制的目的就是使机器人的关节变量q能有效地跟踪期望的关节量qd，并且使跟踪误差e能在有限时间内收敛至零，其中e(t)，∈Rn分别定义为e=q－qd，。

2 控制器设计

为了便于控制器的设计和分析，Sig(·)α向量定义如下:

其中 ξ= ［ξ1，…，ξn］T∈Rn，0 ＜ α ＜1，sgn(·)是标准的符号函数，定义如下:

令x1=e，x2=，则动力学系统(7)可表示为:

其中

为获得系统的有限时间稳定，引入辅助控制量φ (x1)∈Rn，并且φ (0)=0。令误差变量z=x2－φ(x1)，则式 (16)可表示为

通过Backstepping方法来设计控制器u，以获得系统的有限时间稳定。

第一步:定义Lyapunov函数

则其导数为

为实现系统的有限时间稳定，须保证式 (20)满足引理1的条件 (2)，因而设计辅助控制量φ (x1)= － K1Sig(x1)α，其中 K1=diag(k11，k12，…，k1n)，并代入式 (20)可得

如果z=0，则有

为此，需要进行下一步设计。

第二步:定义Lyapunov函数

对V2求导并将式 (18)代入得:

其中 K2=diag( k21，k22，…，k2n)，定义 μ=(1+α)/2，1/2＜μ＜1，将式 (25)代入式 (24)可得

显然，由引理1可知，该系统是有限时间稳定的。但是由于不确定性集合函数ρ(q，，)是未知的，因此控制器 (23)是无法实际应用的。基于此，引入变结构项以提高对不确定性的鲁棒性，即将控制器设计为:

其中 K3=diag(k31，k32，…，k3n)。

证明:将控制器式 (27)代入式 (24)，可得

如果选择k3i≥ε，则有

因此，由引理1可知，系统 (18)是全局有限时间稳定的，并且系统在初始状态下的调整时间为

说明1:由于变结构项的引入提高了系统的鲁棒性，但是系统的高频切换会产生“抖振”现象，容易激发高频未建模的动力学，重则会损坏物理器件。因此，为避免产生“抖振”，引入边界层的方法加以消除，但这会牺牲控制精度，实际应用时，需要加以权衡。

其中δ为较小的正常数，称为边界层厚度。

说明2:由于φ(x1)=－K1Sig(x1)α，当x1i=0时，φ(x1)的导数可能会产生奇异，因此对其修正如下:

说明3:幂指数α的选择会影响控制效果，α越小，误差收敛速度越快，但所需的控制量越大，重则也会产生“抖振”，因此通常选择0.6＜α＜0.8。

3 仿真

为验证文中控制算法的有效性，现对2自由度的工业机器人进行数值仿真，其动力学模型如下:

机器人的实际动力学参数和估计动力学参数见表1，交流伺服电机的动力学参数为Jm=diag(0.67×10－4，0.42 ×10－4)，Dm=diag(0.21，0.15)，N=diag(8，1)，Kτ=diag(19/40，19/80)。控制系统的输入参考信号为qd1=sin(2πt)，qd2=sin(2πt)，系统的初始状态为q1(0)=0.5，q2(0)=0.5，引入外界干扰信号τd=0.001+0.002q+0.005。控制器的相关参数设置如下:K1=diag(20，20)，K2=diag(30，30)，K3=diag(5，5)，α=0.7，δ=0.1，Δ=0.1。

为说明所提控制算法 (简记为BFTC)的优点，与Yusin SU等人［11］提出的有限时间逆动力学跟踪控制方法 (简记为FIDC)进行比较，该控制算法为:

其中 Kp=diag(50，40)，Kd=diag(20，20)，α1=0.5，α2=2α1/(α1+1)=2/3。

表1 机器人的物理参数

仿真结果如图1—3所示，由图1—2可以看出，所提控制方法 (BFTC)的轨迹跟踪位置误差、速度误差均远小于文献 ［11］的控制算法，具有较强的鲁棒性，即使存在较大参数不确定性和外界干扰的情况下，仍能获得满意的跟踪性能，并且在两种算法情况下所需的控制量相当。另外该算法的瞬时响应速度更快，但初始时刻需要稍大的控制量，保证了系统的有限时间稳定。而文献 ［11］的控制算法 (FIDC)假设了机器人的动力学模型精确已知，虽获得了系统的有限时间稳定性能，但鲁棒性难以保证，因而不适合用于工业机器人的实际控制。

图1 轨迹跟踪误差

图2 速度跟踪误差

图3 控制输入量

4 结论

结合工业机器人的实际情况，综合考虑了交流伺服电机的动力学特性，通过Backstepping的递推方法设计的有限时间稳定控制器，一方面保证了跟踪误差的有限时间收敛，瞬时特性好;另一方面引入了变结构项，增强了系统的鲁棒性。在机器人动力学参数未精确已知和存在外界干扰的情况下，仍能获得满意的控制效果。通过与其他有限时间控制算法的仿真比较，说明该算法是有效的、可行的。

【1】BHAT S P，BEMSTEIN D S．Finite-time Stability of Homogeneous systems［C］//Proceeding of the American Control Conference，Albuquerque，New Mexico，1997:2513 －2514．

【2】HAIMO V T．Finite Time Controllers［J］．SIAM Journal on Control and Optimization，1986，24(4):760 －770．

【3】BHAT S P，BEMSTEIN D S．Finite-time Stability of Continuous Autonomous Systems［J］．SIAM Journal on Control and Optimization，2000，38(3):751 －766．

【4】HONG Yiguang，WANG Jiankui，CHENG Daizhan．Adaptive Finite-time Control of Nonlinear Systems with Parametric Uncertainty［J］．IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51(5):858 －862．

【5】TANG Yu．Terminal Sliding Mode Control for Rigid Robots［J］．Automatica，1998，34(1):51 －56．

【6】FENG Yong，YU Xinghuo，MAN Zhihong．Non-singular Terminal Sliding Mode Control of Rigid Manipulators［J］．Automatica，2002，38(12):2159 －2167．

【7】NEILA Mezghani，DAMAK Tarak．Adaptive Terminal Sliding Mode Control for Rigid Robotic Manipulators［J］．International Journal of Automation and Computing，2011，8(2):215－220．

【8】HONG Yiguang，XU Yangsheng，HUANG Jie．Finite-time Control for Robot Manipulators［J］．Systems＆ Control Letters，2002，46(4):243 －253．

【9】SU Yuxin．Global Continuous Finite-time Tracking of Robot Manipulators［J］．International Journal of Robust and Nonlinear Control，2009，19(17):1871 －1885．

【10】ZHAO D，LI S，ZHU Q，et al．Robust Finite-time Control Approach for Robotic Manipulators［J］．Control Theory ＆Applications，IET，2010，4(1):1 －15．

【11】SU Yuxin，ZHENG Chunhong．Global Finite-time Inverse Tracking Control of Robot Manipulators［J］．Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2011，27(3):550 －557．