全等三角形性质才艺展示

黄细把

学习了“与三角形有关的角”的知识后，经常遇到一类探索角的关系问题. 解答它们，要注意灵活利用如下两个性质：

1. 三角形的内角和等于180°；

2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

例1 如图1-1所示，△ABC中，点P是∠ABC和∠ACB平分线的交点.

（1）请探索∠P与∠A之间的数量关系；

（2）如图1-2所示，若点P是∠ABC的外角和∠ACB的外角平分线的交点，判断你在（1）中探索的结论是否还成立.如果不成立，∠P和∠A又有怎样的关系，说明理由.

分析：无论是图1-1，还是图1-2，都有∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°. 要探索∠P与∠A之间的数量关系，应考虑将∠PBC+∠PCB转化，看看能否用∠A的代数式表示.

解：（1）∠P=90°+■∠A，理由如下：

∵ 点P是∠ABC和∠ACB平分线的交点，

∴∠PBC=■∠ABC，∠PCB=■∠ACB.

∴ ∠PBC+∠PCB=■（∠ABC+∠ACB）.

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴ ∠PBC+∠PCB=90°-■∠A.

∵ ∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°，

∴ ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°+■∠A.

（2）不成立.∠P=90°-■∠A，理由如下：

∵ 点P是∠DBC和∠ECB平分线的交点，

∴ ∠PBC=■（180°-∠ABC），∠PCB=■（180°-∠ACB）.

∴ ∠PBC+∠PCB=180°-■（∠ABC+∠ACB）.

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴ ∠PBC+∠PCB=90°+■∠A.

∵ ∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°，

∴ ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°-■∠A.

例2 如图2-1中，AB∥CD，点P在直线BD上运动.

（1）当点P在点B的上方运动时，∠APC、∠PAB、∠PCD有