基于NURBS的涡轮叶片参数化设计

张为民，郝小忠，何 磊

(1．中国燃气涡轮研究院，四川江油 621703)

(2．南京航空航天大学机电学院，江苏 南京 210016)

叶片是航空发动机的核心零件。在实际的叶片设计中，设计师根据叶片截面关键几何尺寸，选用合适的翼型离散数据点，手工计算出叶片的型值点，使用常规CAD/CAM软件中需要大量交互建模的设计方式构造叶身模型，设计过程周期长，计算工作量大，难以满足设计过程中需要大量反复修改的要求，设计师在不断修改叶片的三维模型上花费了大量的时间［1］。

叶片的设计是一个不断迭代的过程，叶片的结构参数需要根据气动设计、强度设计的要求进行反复调整，这就对叶片的参数化设计提出了较高的要求。

1 翼型模板定义

叶片型面是由多个截面轮廓曲线按一定的规律积叠而成的空间曲面，因此叶片参数化设计的关键是进行各截面形状的设计。叶片的截面形状都类似于飞机机翼截面形状，一般称之为机翼形，叶片的翼型如图1所示。叶片设计中所用到的翼型资料一般是从航空翼型资料和试验研究中得来的。最常用的翼型有NACA翼型，它是20世纪30年代末美国航空咨询委员会(NACA)提出的［2］。

图1 叶片翼型图

翼型由前缘圆弧、叶背型线、后缘圆弧、叶盆型线4条曲线组成，曲线以离散型值数据点来表示。离散数据点很难参数化表示，前缘、后缘圆弧由两次规则曲线表示，叶背、叶盆型线由三次自由曲线表示，而一般非有理方法无法同时表示这两种曲线。NURBS曲线可以精确地表示二次规则曲线，从而能用统一的数学形式表示规则曲线与自由曲线。另外NURBS曲线具有影响曲线形状的权因子，使调整和控制叶片的形状变得更加方便。因此，将NURBS曲线用于叶片翼型的设计，可为实现参数化设计叶片提供技术保障。

1.1 NURBS曲线的数学表示

一条k次NURBS曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数［3］：

式中：di为控制顶点;ωi称为权因子，分别与控制顶点di相联系;Ni，k(u)为k次B样条基函数，由递推公式得到

式中：k为幂次;ui(i=0，1，…，n+k+1) 为节点，

由其形成节点矢量 U，U=［u0，u1，…，un+k+1］。

1.2 反算控制顶点

公式(1)是通过带权的控制顶点进行NURBS曲线的求解，而翼型模板数据给出了通过曲线的离散型值点，因此首先要根据给出的型值点反求出NURBS曲线的控制顶点，再进行翼型模板的参数化设计。NACA翼型模板共有34个型值点，三次NURBS曲线反求控制顶点过程如下：

a．确定曲线的节点矢量。

采用积累弦长参数化法求节点矢量U公式为：

式中：Δpi-1为向前差分矢量，Δpi-1=pi-pi-1。

b．确定曲线两端的边界条件。

在确定了节点矢量U之后，就可以给出36个控制点为未知量的、由34个矢量方程组成的线性方程组：

因为方程组数小于未知顶点数，故必须补充两个合适的边界条件给出的附加方程，才能求出所有未知控制顶点。三次闭曲线是指曲线首末端点重合且保证C2连续的，得出：

c．反求曲线控制顶点。

根据曲线边界条件，公式(5)的线性方程组可改写成如下矩阵形式：

其中，

式中：i=1，2，…，34。

1.3 翼型模板定义

将NACA翼型数据换算成坐标点的格式，取l=100，则 4406 型翼型叶背坐标 X=(0，1．25，2．5，5，7．5，10，…，100)，Y=A，Z=0; 叶盆坐标X1=X，Y1=B，Z1=0。将标准化后的34个型值点p坐标值存放于4406．txt文件中，每行存放一个点，X，Y和Z坐标之间用空格分开。将方程(3)求得的节点矢量U，及存放在4406．txt文件中的翼型型值点p坐标值，代入公式(5)、(6)、(7)中，即可求出全部36个NURBS曲线控制顶点d。将权因子等于1的控制顶点 d代入公式(1)，即可求出NURBS曲线。以同样的方法即可定义其他类型的翼型模板，NACA(4406-4415)翼型用NURBS曲线表示如图2所示。

图2 NACA(4406-4415)翼型模板定义

2 叶片参数化设计

2.1 叶片设计过程

定义了翼型模板以后，还要解决翼型曲线控制顶点自动计算问题，最终完成叶片参数化设计，过程如下：

a．选择翼型模板。

根据空气动力学等方法计算出叶片各截面翼型安放角β和弦长l等参数，选择相应的翼型模板，翼型模板确定以后，根据弦长l及最大相对厚度的百分数求出翼型厚度δ。

b．确定叶片旋转轴线位置。

叶片旋转轴线通常取在翼型最大厚度处，且旋转轴线一般通过翼型中线，根据翼型的分析，叶片旋转轴线的Y坐标为Ymax/2=max(A+B)/2，X坐标为翼型取得最大厚度时的X坐标即XYmax。

c．各翼型曲线控制顶点自动计算［4］。

翼型模板是定义在XY平面上的弦长为100mm的平面曲线，实际应用中要根据旋转轴线、截面位置、弦长等设计参数进行截面曲线控制顶点的自动计算。自动计算的实质是对组成图形的各控制顶点进行矩阵的移动、放缩、旋转等坐标变换，运用齐次坐标的方法，可将三维空间点的几何变换表示为：

［X＇，Y＇，Z＇，1］ = ［X，Y，Z，1］T。

其中T是一个4×4阶的变换矩阵。

首先，把翼型模板的旋转轴线移动到XY平面的原点位置，再把翼型移动到所在的截面Z=r，得到：

其次，根据翼型实际弦长l与翼型模板弦长100mm的比值l/100进行X方向的缩放，根据翼型厚度δ与标准翼型的最大厚度ymax=max(A-B)的比值δ/ymax确定Y方向的缩放比例，得到：

最后，根据翼型安放角β，将曲线绕叶片旋转轴线(原点O)旋转角度β，得到：

通过 ［X＇，Y＇，Z＇，1］ = ［X，Y，Z，1］T1T2T3，即可求得实际翼型曲线控制顶点空间坐标。

d．绘制叶片。

将求得的各翼型实际曲线控制顶点代入公式(1)，求得各截面翼形的NURBS曲线，最后利用蒙皮曲面生成法绘制出叶片的曲面形状。

2.2 设计系统的实现

在UG/open API功能模块下进行系统的开发，系统界面设计直观简单，如图3所示，具有翼型数量输入、翼型模板选择、基本参数输入等功能。为了使系统有继承性和可扩展性，在系统开发过程中开发了叶片翼型模板定义、叶片设计、叶片编辑3个模块。在使用时只需要将基本参数输入到相应的输入框中，系统自动地根据叶片长度、不同半径下的弦长、安放角等参数计算出叶片各截面翼型的控制顶点，最后点击设计按钮就可以得到叶片三维模型。系统菜单中，可以设定叶片的一些系统变量，如翼型的选择、弦长、安放角等，通过不同的设定便可以得到不同的叶片三维模型。设计系统流程图如图4所示。

图3 系统输入界面

图4 叶片设计系统流程图

2.3 设计结果

在叶片设计系统中输入设计参数并选择对应翼型模板，如图3所示，系统自动设计出该参数下叶片的曲面特征，修改输入的参数值可以快速地改变叶片曲面形状。在UG软件中造型出叶片的其他特征，完成涡轮叶片三维造型。如图5所示。

图5 涡轮叶片参数化模型

3 结束语

本文系统地给出基于翼型模板的叶片参数化设计的方法，运用UG/open API模块开发了叶片设计系统，实现了叶片设计的参数化，突破了CAD/CAM软件中常规的叶片设计方法的限制。应用本文提出的方法使叶片设计过程简单快速，能够根据设计者提供的参数去确定叶片的曲面形状，提高了设计的灵活性。实例证明，在开发的专用设计系统中，只需花费3～5min即可完成设计师3～5h的工作量。

［1］ 余伟巍，宋玉旺，席平．基于离散数据点的变壁厚叶身参数化设计［J］．北京航空航天大学学报，2008，34(11)：1319-1322．

［2］ 闫国军．叶片式泵风机原理及设计［M］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009．

［3］ 施法中．计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条［M］．北京：高等教育出版社，2001．

［4］ 郭文有．发动机叶片工艺［M］．北京：航空工业出版社，1997．