离散数学中的数学思维培养

王新春，肖继先，米翠兰

(河北联合大学理学院，河北唐山063009)

当前我国独特的应试教育体制，极大地束缚了学生数学思维的独特性。针对当今社会和科技发展的需求，有目的地培养具有创新精神的人才是我国数学教育的发展重点。培养创新型人才首要的任务是培养学生的创新思维，而良好的数学思维是培养创新思维的重要手段。大力培养学生独立的数学思维，对开拓学生思维中的创造性具有深远的影响和现实意义。

离散数学是数学的一个重要分支，主要研究离散量的结构及其相互间的关系。其课程目标主要是培养学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力，数学思维的应用普遍存在于离散数学的教学中。

一、数学思维的内涵与特征

数学思维是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式和过程，达到对现实世界的空间形式和数量关系的本质的认识的思维过程［1］。数学思维方法可通过思维训练而逐步形成。数学思维的目的在于提高学生掌握数学知识、运用数学思维策略和方法来分析和研究各种数学现象。

二、离散数学中的数学思维形式及其培养策略

人的主体思维活动分为逻辑思维、形象思维和灵感思维三种。学习数学同样要用到这三种思维。科学研究表明，人类先有形象思维，而后经过长期的实践训练才逐步形成逻辑思维［2］。而灵感思维常常在特定的环境下突然产生，它以主体的直觉为媒介来获得新知识。逻辑思维有多种形式，包括归纳思维、类比思维、逆向思维、分析思维、抽象思维等，下面介绍常见的数学思维形式。

(一)归纳思维

归纳是从观察一类事物中的一部分具有某种属性，经分析判断得出该类事物都具有这种属性的思维方法。它是一种从特殊到一般的抽象化过程［3］。在离散数学的数理逻辑中，会介绍命题公式的定义，我们可以先举出一些常见的简单的命题公式的样例，给学生一个初始的印象，然后再给出命题公式的递归定义。而得出命题公式的递归定义就是利用的归纳思维。这样学生很容易就掌握了命题公式的概念。在离散数学的教学中，我们可有意识地强调这种归纳思维的应用。

(二)类比思维

类比是借助于两类不同本质事物之间的相似性，通过比较来把一种熟知的对象的知识平移到另一种不熟知的对象上去的推理方法。类比是人们常用的一种掌握知识的手段，能否广泛而又恰当地运用类比，是衡量一个人创造性思维能力的标志之一。善于利用类比思维有助于举一反三，触类旁通。常用类比思维是锻炼独立分析和解决问题能力的有效方式之一。

在离散数学的代数结构这部分知识里，会介绍到半群、含幺半群、群、环和域的概念。前一个概念总是后一个概念的基础，在学习中我们只要注意到每个概念的区别和联系就可对学习产生事半功倍的效果。

(三)逆向思维

由此及彼和由彼及此是思维的两个相反方向。它的特点是从思维定势的反方

向去思考问题。当顺向解决问题时遇到瓶颈时，就可考虑使用逆向思维。逆向思维常常能够突破思维定势，具有一定的创造性。逆向思维对解放思想、开阔思路、解决某些难题往往能起到积极作用。

离散数学会介绍推理方法。推理有直接推理和间接推理，间接推理中的反正法就是一种典型的逆向思维方法。当直接证明遇到瓶颈时，常常换一种思维方式，即采用逆向思维，利即用反证法来进行推理或得出问题的结论。

(四)发散思维

发散思维是一种从不同角度、不同方向和不同途径来考虑问题的展开型思维方式。它能够从已有信息出发，在创造和解决问题的思维过程中，得到各种新型的、变异的问题的各种解决方法。发散思维一般不是在定好的轨道中产生［4］，而是依据所获得的最低限度的信息而产生，它是具有创造性的思维方式。

离散数学中有逻辑推理，推理一般是从若干个已知条件出发，得到某个有效的结论。我们在引用前提条件的时候，按照构造性推理方法，在推理的任何过程中都可以引入前提，那些前提条件被引入的时候与次序无关。按照任何一种引入前提的次序来进行推理均可得到相同的有效结论，这其中体现的就是一种发散思维的应用。

(五)抽象思维

抽象思维是思维的高级形式，思维的基本对象是概念，利用概念、判断和推理的形式，借助语言符号来进行思维的方法。在数理逻辑中，我们要对已知的命题进行推理，第一步就是要把已知命题用符号表示，即符号化的过程。这个过程是把具体的问题或事实转化为抽象的关系，然后透过符号之间的关系借助一定的推理规则来得到问题的结论。通过这种抽象思维方式，能够简化复杂的问题，从而迅速掌握事情的本质。

(六)形象思维

形象思维是以具体的图形或图像为思维内容的思维形式，基本对象是表象，它借组表象来进行分析、综合、抽象和概括的过程。一项对中美学生的数学思维的差异性的比较中显示，中国学生偏向于使用抽象的策略和符号表征，而美国学生则偏向于使用视觉的策略和表征［5］。这里，视觉的思维策略和表征就是一种形象思维的体现。在离散数学中，我们要表示偏序的二元关系，如果用集合或关系矩阵来表示，当关系复杂时，我们很难迅速分辨出元素之间的关系，但如果引入偏序关系的关系图即哈斯图，那么元素之间的关系将一目了然，而且很容易在我们的脑海里留下深刻的印记，有益于加强知识的理解和记忆。

(七)直觉思维与灵感思维

直觉思维是指不受固定的逻辑规则的约束，通过人脑调动一切已有的知识经验，对客观事物的本质作出的一种迅速的识别、敏锐而深入的洞察、直接的本质理解和综合的整体判断，它是一种直接领悟的思维［4］。灵感思维是指凭借直觉而进行的快速、顿悟性的思维。它不是一种简单逻辑或非逻辑的单向思维运动，而是逻辑性与非逻辑性相统一的理性思维整体过程。在离散数学里研究地图的着色问题时，我们要首先通过直觉来判断至少需要几种颜色才能将不同的区域区分开来，使得相邻国家为不同颜色。最初有学者判断是五色，然后以严格的数学证明的形式证明五种颜色是可以做到的，即得到五色定理。后来有学者质疑，目前得到四色定理。可见，直觉思维为最初的创造性结论起到了非常重要的作用。

三、结束语

离散数学中的数学思维体现在离散数学知识的方方面面，所以我们要把培养学生的数学思维能力贯穿于整个数学教学中，渗透到每个教学环节［6］。在《离散数学》的教学中，既要讲授离散数学教学内容本身的规律，还要以整体观念为指导，不断地挖掘培养数学思维的素材，寻找培养数学思维的动力，探索培养数学思维的方法［7］，最后对学生进行潜移默化的训练，才能使学生能够科学合理的考虑问题。在未来的数学教育教学过程中，教育工作者不该满足于学生学到了多少知识，而更应关注学生的思维能力是否得到了锻炼和提高［8］。着重培养学生的数学思维能力，进而培养学生的创新能力，必将有利于我国创新人才的培养，从而对我国国民素质的整体提高产生深远影响。

［1］ 曾宪根，王敏．简论培养学生数学思维能力［J］．中国成人教育，2007，(10):174-175．

［2］ 钟建林．浅谈数学教学中的数学思维．［J］．教学与管理，2006，(7):90-91．

［3］ 罗志斌．高等数学中数学思维培养的教学对策［J］．中国成人教育，2007，(8):154-155．

［4］ 汤红娟，论数学思维及思想方法在英语句型教学中的辩证作用［J］．外国语文，2010，26(2):122-126．

［5］ 夏小刚，吕传汉．跨文化视野下中美学生数学思维差异的比较［J］．比较教育研究，2006，(8):63-67．

［6］ 韩志刚．简论重视数学思维过程教学［J］．中国成人教育，2007，(8):30．．

［7］ 廖家奇．数学思维训练的特点及应用［J］．教学与管理，2006，(10):85-86．

［8］ 尚玉伟，李公立．应试教育对学生数学思维培养的约束及其突破［J］．教学管理，2010，(8):118-119．